Desigualdades – Um Apanhado de Técnicas – Parte I

Hoje falaremos de desigualdades, enunciando e demonstrando as mais úteis e conhecidas, mas não deixaremos de lado as desigualdades pouco conhecidas; muitas desigualdades pouco faladas matam mais problema que a mais famosa de todas. Porém, quando falamos de desigualdade, temos que ter em meta principalmente o que se quer provar. Quando se conhece um número grande de desigualdades, fica fácil provar qualquer desigualdade, desde que você tenha um olhar esperto. 

As desigualdades se dividem em dois principais ramos: desigualdades mais sintéticas, e as desigualdades mais brutais, por assim dizer. Vamos explicar de que tipo é cada, mas com certeza todas são úteis na hora de resolver os problemas. Todos os problemas daqui serão de algum tipo de olimpíada, como vocês verão. Alguns mais imediatos que outros, mas todos são fazíveis.

Portanto, comecemos com algumas desigualdades óbvias:

Desigualdade Fundamental: Para todo x real, vale que

Ora, é um tanto quanto óbvia essa desigualdade, mas é mais que útil! Muitos problemas morrem sem utilizar nada além disso, problemas inclusive da IMO! Porém, outros necessitam de teoremas mais sofisticados. 

Vamos ver alguns deles agora:

Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica: Sejam reais positivos. Então

Com igualdade se, e somente se, .

A demonstração para esta desigualdade pode ser vista clicando aqui. Para o post não ficar grande demais, não a repetiremos.

Esta é a desigualdade mestra pra todo mundo que começa a estudar desigualdades. Com ela, você consegue fazer mil e uma coisas. Darei exemplo bastante interessante, que, a primeira vista, parece complicado, mas ao utilizar esta desigualdade tudo se torna simples:

Exemplo 1: (USAMO) Sejam a,b,c reais positivos. Prove que

Demonstração: Sabemos que

Utilizando a desigualdade entre as médias em a² + b², esta expressão se torna

Logo,

Que nos dá

Como não há nada de especial com a,b, podendo combinar c também com cada um dos dois da dupla, obtemos desigualdades análogas para os outros termos da soma. Ao final, obtém-se o resultado desejado. ■

Este exemplo mostra a utilidade desta poderosa ferramenta. Ela também nos dá o importantíssimo

Corolário 1: Para reais positivos, temos

Demonstração: Por MA-MG, temos que

Multiplicando as duas desigualdades, obtemos o desejado. ■

Pode não parecer, mas este Corolário é utilíssimo. Quando estivermos falando de Chebyshev seu poder será evidenciado. Depois daremos exemplos. Agora, vamos prosseguir:

Desigualdade de Cauchy-Shwarz: Sejam e reais dados. Então, sempre é válido que

Demonstração: Seja

Este polinômio é uma soma de quadrados, portanto, ele é maior ou igual que zero. Logo, ao analisar o determinante, este deve ser menor ou igual a zero. Mas isso significa

De onde segue a desigualdade. Reparem que para obter igualdade, temos que ter cada quadrado igual a zero, isto é,

E isto termina a prova. ■

Agora, vamos a um exemplo da utilidade desta desigualdade:

Exemplo 2: Ache todos os reais positivos tais que

Solução: Multiplicando as duas igualdades,

Mas, por Cauchy-Shwarz,

Com igualdade só ocorrendo se

Ou seja,

E a solução segue. ■

Exemplo 3: (IMO-1995) Sejam abc = 1 três reais positivos. Prove que

Demonstração: Resolveremos este problema de outra maneira depois. Porém, agora vamos efetuar uma substituição interessante. Seja a = 1/x, b = 1/y e c = 1/z. Logo, o produto dos três continua sendo 1, e a desigualdade se torna

Mas, por Cauchy-Shwarz,

Mas

De onde segue a desigualdade proposta. ■

Essas desigualdades até agora mostradas são bem óbvias, porém as próximas não são tão óbvias. Contudo, são as que mais ajudam na hora do aperto. Enunciaremo-nas, então:

Desigualdade de Chebyshev: Sejam e reais com

Então vale que

Com igualdade se, e somente se, os a’s ou os b’s forem iguais.

Demonstração: Queremos mostrar, na verdade, que

Mas (verifique), o lado esquerdo é igual a

Que é verdadeiro, pois, se i < j, então b_i < b_j e a_i < a_j,, e vice e versa. Logo, o produto é sempre positivo, fazendo com que as somas sejam sempre positivas. Reparem que a condição de igualdade é obviamente verificada. ■

Essa, ao meu ver, é uma desigualdade essencial no arsenal de quem quer resolver problemas de desigualdade. Muitos problemas morrem facilmente utilizando-a. Por isso, vamos dar exemplos:

Exemplo 4: (Polônia) Sejam reais positivos com soma s. Prove que

Demonstração: Podemos supor que os a’s estejam bem ordenados. Logo, temos que

Assim, usaremos Chebyshev nesta sequência. Logo,

Agora que vem o nosso Corolário! Por ele, temos que

A desigualdade do enunciado segue da multiplicação destas duas últimas. ■

Exemplo 5: Sejam a,b,c reais positivos dados e n natural. Então, prove que

Demonstração: Suponhamos

Então , e

Então, utilizaremos Chebyshev, que nos dá

Utilizando Chebyshev novamente, só que nas sequências e , temos

Por sua vez, do nosso Corolário,

Multiplicando,

Que é o resultado que queremos. ■

Acho que já ficou bem evidente a utilidade da desigualdade de Chebyshev aliada ao nosso corolário. Agora, algo que talvez não tenha ficado muito óbvio é a consequência da desigualdade de Chebyshev, expressada no seguinte

Corolário 2: Sejam reais positivos. Então

Demonstração: A cargo do leitor. Porém é apenas utilização direta de indução e da desigualdade de Chebyshev. ■

Temos, ainda, uma desigualdade ligada à de Chebyshev: a desigualdade das permutações.

Desigualdade das Permutações: Sejam a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a_n e b₁ ≤ b₂ ≤ b₃ ≤ ... ≤ b_n duas sequências de reais positivos. Então, se a_i1, a_i2,..., a_in e b_i1, b_i2,..., b_in são duas permutações, respectivamente, das sequências, então

Demonstração: Deixada a cargo do leitor. (Dica: Tente fatorar as expressões, e provar que elas são, definitivamente, maiores ou menores que zero).