Equações Polinomiais nos Inteiros

É bastante interessante pensarmos em problemas do tipo: "Ache todos os pares de inteiros que satisfaçam...". A grande questão é que muitos dos problemas são aparentemente difíceis, mas se resolvem com uma ideia bastante simples para alunos do oitavo ano em diante: equação do segundo grau!

Vejamos um exemplo:

Problema 1

(OBM) Ache todos os pares de inteiros (x, y) tais que .

Solução:

Veja que x = y é solução. Portanto, vejamos o caso x ≠ y.
 Sabemos que . Então, cancelando o x - y resta a seguinte equação:

                                                                   

Agora, aplicamos a técnica: equação do segundo grau!

Observe que tanto faz ser em x ou em y já que o problema é simétrico. Façamos em x:

                                                             

O delta é .

Agora que aplicaremos o passo mais importante: analisar o delta!

A condição necessária e suficiente para que x seja inteiro é que o delta seja maior ou igual que 0 e um quadrado perfeito. Então, basta analisarmos a desigualdade -3(y + 2)(y - 2) ≥ 0 que nos dará um intervalo para o y e analisarmos os inteiros nesse intervalo que nos dá o delta como um quadrado perfeito. Veja que:

Daí, temos que . Portanto, y = -2, -1, 0, 1 ou 2. Resta analisarmos o delta e ver para quais valores de y o delta é quadrado perfeito. Deixamos o desenvolvimento a cargo do leitor.

Vejamos outros tipos de problemas. Perceba que o problema seguinte pede o contrário, ou seja, pede para mostrar que não existe solução inteira:

Problema 2

Prove que não existem soluções inteiras para a equação .

Solução

Agora vem a seguinte pergunta: como resolver um problema desse tipo. A dica aqui é: resíduos quadráticos módulo 3! Quando vemos um quadrado perfeito, é sempre interessante procurarmos utilizar módulo três pelo fato de que um quadrado perfeito sempre deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3. Um outro modulo bastante usado para quadrados é o módulo 4 (os quadrados também deixam restos 0 ou 1 mod 4). Mas agora surgem outras perguntas: Como usar? Quando usar? Vamos ás respostas:

Quando usar?

A resposta está bem evidente. Analisar alguns módulos é bastante útil quando se pede para provar que não existe solução inteira, mas também existem outras maneiras, porém deixaremos aqui uma delas. Mas lembre-se que nem sempre funciona. A criatividade é uma arma muito importante para qualquer problema, ou seja, quando não dá certo, invente, mas procure nunca deixar uma ideia escapar.

Como usar?

Quadrados deixam resto 0 ou 1 na divisão por 3 (verifique!). Então, uma ideia é verificar se y² deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3. Temos um número 3 no problema e isso facilita um pouco. 
Agora, vamos analisar se y² deixa resto 0 ou 1. Temos que , ou seja, deixa resto 2 na divisão por 3. Que bonito! Resolvemos o problema. De fato, um quadrado deixa resto 0 ou 1 na divisão por três, mas nunca 2!

Mas e se não estiver tão evidente assim, ou seja, e se não tiver o 3? Vejamos mais um problema:

Problema 3

Solução

Prove que não existem soluções inteiras para .

A dica aqui é módulo 7. É bem interessante. Analisando módulo 7, os cubos deixam resto 0, 1 e - 1. Agora basta analisar os casos e verificar que não é possível que a diferença de dois cubos deixe resto 3 na divisão por 7.

Resíduos quadráticos são ferramentas muito importantes para solução de problemas desse tipo. Eles possuem muitas outras utilidades e existem teoremas muito forte sobre eles, mas não enunciaremos aqui (quem sabe publicamos um artigo sobre Resíduos Quadráticos?).

Agora, vamos resolver o problema acima de outra maneira que também é útil: fatorando.

Sabemos que  e como 3 é primo temos dois casos a analisar:

x - y = 1 e x² + xy + y² = 3 e o outro que é x - y = 3 e x² + xy + y² = 1. Agora basta resolver o sistema e verficar que não há solução inteira. De fato,

O delta é 33 o que nos dá x irracional. Daí não temos solução nesse caso. O outro caso é parecido, deixamos a cargo do leitor.

Deixamos aqui três ideias importantes para a solução de problemas envolvendo equações de inteiros. Agora, divirta-se!

Problemas

1. Ache todos os pares de inteiros (x, y) tais que

2. Existe solução para a equação ?

3. Determine todos os pares de inteiros (x, y) tais que x³ + y³ = 4(x + y)