Explorando equações exponencias através de Lambert

Hoje vamos aprender a resolver tipos específicos de equações: as da forma , nos reais positivos*

Primeiro, vamos trabalhar com a equação:

Extraindo raíz a-ésima, 

A partir deste momento, precisamos de uma nova definição: 

Definição: A função W de Lambert é a relação inversa de . Reparem que, para certos valores de f(W), W não é uma função, mas sim uma relação - associa um elemento a dois distintos. 

Foi provado ser impossível escrevê-la em termos de funções matemáticas elementares. Porém, ela ainda é útil: na equação acima, podemos notar, chamando nosso expoente de y , que 

Substituindo de volta, obtemos que todas as nossas soluções para a equação dada são dadas por

É muito interessante trabalhar também com a função  para descobrir quantas soluções tem certa equação em expoentes. Por exemplo, 

Exemplo 1: Ache todas as soluções de . 

Resolução: Extraindo logarítmo na base e dos dois lados, 

 

Onde utilizamos, por vezes, as propriedades da definição da função W de Lambert. 

Agora, vamos a um exemplo mais concreto: resolver  nos reais.

Primeiro, aplicando nosso "teorema", obtemos que todas as soluções são dadas por 

Donde temos apenas que trabalhar com . Sabemos, porém, que

Para a derivada ser igual a zero, e, portanto, termos um ponto crítico da função, temos de ter x = -1. Logo, toda equação tem 0,1 ou 2 soluções positivas. Como sabemos que 

Então - ln 2 é um valor de W. Porém, 

Logo, -2 ln 2 também é um valor possível de W. Como há no máximo duas positivas, há exatamente duas. Substituindo, obtemos x = 2 e x = 4, que são todas as soluções positivas da equação. 

Exemplo 2: (Revista Eureka!, número 35) Ache todas as soluções reais de  . 

Resolução: Primeiro, tomemos ln em ambos os lados: 

Aplicando a aplicação W, 

 

Porém, sabemos que  é igual a - ln 2 ou a - 2 ln 2. 

Lema: A função , quando analisamos sua intersecção com uma reta paralela ao eixo horizontal, pode no máximo gerar dois pontos. 

Demonstração: Calculemos a derivada de f: 

Derivando implicitamente, 

Como a função é definida apenas em reais positivos, é suficiente achar o x que zere ln x + 2. Isto é óbvio, a única solução é . Portanto, como temos apenas um ponto de inflexão, há, no máximo, dois pontos de intersecção. 

Agora, usando o Lema, as nossas duas soluções formam todo nosso conjunto solução, pois x é real positivo. Portanto,