Teoria Elementar dos Números

Quando se fala em Teoria dos Números, não podemos deixar de falar de divisibilidade. Por isso, devemos ter em mente alguns teoremas simples sobre divisibilidade: 

Teorema Básico: Sempre podemos escrever . Chamamos de quociente da divisão e de resto da divisão euclidiana, onde 0< r < q ou r=0. 

Teorema da Divisibilidade de Inteiros: Dados inteiros , então 

(a) Se , então para quaisquer valores de nos inteiros

(b) Se , então 

(c) Se e , então  

Como a demonstração de ambos os teoremas é muito intuitiva, esta será deixada a cargo do leitor interessado. Esta é a nossa primeira parte, que nos permite resolver alguns problemas interessantes: 

Exemplo 1: Determine todos os inteiros não negativos tais que   é também inteiro. 

Resolução: Utilizando o nosso item (a), Reduzimos a expressão para achar todos os tais que   é inteiro. Utilizando, agora, o item (b), temos que  . Portanto, temos que . Verificando, todos estes números são realmente soluções. 

Exemplo 2: (Bielorrussia 1996) Sejam inteiros tais que 

 

a) Prove que   é um quadrado perfeito. 

b) Ache todos os inteiros que satisfazem esta relação. 

Resolução:  

a)  

  ou  

b) Se ,então (segundo caso), e nossos pares são   que são realmente soluções da equação. 

Agora, analisemos o exemplo a seguir:

Exemplo 3: (IMO-2007) Se são inteiros positivos tais que , prove que

Bom, comecemos utilizando nosso item (a), parece ser o mais correto a se fazer:

 

 

 

Ao tentar reduzir o grau do lado direito, entretanto, falhamos. Agora, o que fazer? A resposta é simples: usar o root-flipping. O nome parece estranho, mas é uma ideia natural: vejamos o que faremos: 

Pela condição de divisão, temos que

Agora, você já deve ter percebido o que fizemos! Vamos, é claro, considerar como uma equação do segundo grau em ! Seja, agora, uma solução minimal da equação dada. Logo, pelas relações de Girard, 

Como são positivos, então é também solução. Se , então é menor que , contradizendo sua minimalidade. Logo, . Portanto,  (considerando, aqui, , sem perda de generalidade). Porém, sabemos que  

Porém,  isto é, por si só, uma contradição, pois o denominador é sempre maior ou igual a 3. A única maneira de não haver contradição é com , e isto termina o problema. 

Vamos esclarecer ao leitor o processo acima. O root-flipping consiste em um caso particular do descenso infinito de fermat: buscamos uma equação dada, e, considerando uma solução mínima, encontramos uma menor, e isso contradiz a minimalidade da solução e, portanto, a existência de uma (pois o conjunto dos números naturais é bem ordenado, ou seja, todo subconjunto deste possui um elemento mínimo).

Basicamente, o root-flipping é achar uma equação do segundo (ou qualquer outro) grau em uma das variáveis, considerá-la mínima ou considerar algum aspecto possivelmente contraditório e, com ajuda das relações de Girard, contradizer essa minimalidade ou a propriedade contraditória, provando algo sobre a equação dada. Lendo esta definição, pode parecer um pouco vago, mas o exemplo acima mostra bem a utilidade desta ferramenta. Vejamos mais dois exemplos da descida de Fermat aliada ao root flipping:

Exemplo 4: Sejam inteiros tais que  é também inteiro. Prove que este inteiro é 3.

Resolução: Usando a técnica que acabamos de aprender, então temos que

Logo, vamos procurar uma solução com soma minimal, e mostrar que . De fato, neste caso. Caso  , nossa procura por uma solução com (sem perda de generalidade) se abrevia ao notarmos que  . Porém, pela relação de Girard,  , que contradiz claramente as desigualdades acima. Logo,   não pode acontecer, e terminamos. C.Q.D. 

Exemplo 5: Sejam  inteiros positivos tais que e . Ache todos tais inteiros. 

Resolução: Notemos que esta equação implica em , que é exatamente a equação do exemplo acima. Portanto, , que implica . Ou seja, se é solução, então também é. Portanto, sempre podemos transformar um par em um par . Achamos, assim, uma cadeia ascendente de soluções, ou descendente, dependendo do ponto de vista, que para na solução mínima. Como vimos, esta é . Portanto, as soluções são todas as geradas a partir desta satisfazendo a relação acima. C.Q.D.

Agora, que tal alguns exercícios para praticar o que aprendeu? 

P.1 - (IMO) Ache todos os pares de inteiros positivos tais que é divisível por . 

P.2 - (IMO) Ache todos os inteiros tais que  é um inteiro. 

P.3 - (IMO) Sejam inteiros tais que divide . Prove que  é um quadrado perfeito. 

P.4 - Prove que, além de haver infinitos satisfazendo que  seja inteiro, esse quociente vale 5. 

P.5 - (IMO) Encontre todos os inteiros positivos tais que

Também é um inteiro.

Referências Bibliográficas: 

[1] - TENGAN, Eduardo; SALDANHA, Nicolau; MOREIRA, Carlos Gustavo, B. MARTINEZ, Fabio. Teoria dos Números: Um passeio com números primos e outros números familiares pelo mundo inteiro. Rio de Janeiro, RJ, Projeto Euclides, IMPA, 2010. 

[2] - http://cyshine.webs.com/tres-vip.pdf. - Treinamento Para as Olimpíadas Iberoamericana e IMO.