Erdős e O Livro.

Muitos por aí já ouviram falar n'O Livro', o livro sagrado das melhores demonstrações já existentes e melhores soluções para problemas. Porém, o que poucos sabem é a história deste mito que é 'O Livro'. 

Tudo se deve a um dos melhores e mais famosos matemáticos do século passado, o nosso querido Paul Erdös (na verdade, seu nome se escreve "Erdős", porém, para simplificar na digitação, usaremos o "ö"). Erdös dizia que, tamanha era a beleza de algumas demonstrações de um problema, que estas eram arte verdadeira, e por isso Deus tinha ficado encarregado de reunir a melhor demonstração possível para um problema, e criar um livro. Então, todos os problemas que admitem uma solução suficientemente elegante são incluídos n'O Livro', juntamente com esta solução. 

Embora esta história que Erdös contava pudesse ser fantasiosa e parecer até, de certo modo, parcial em relação à religião, o matemático húngaro defendia isto ser apenas uma metáfora para uma moral bem maior: achar, sempre que possível, a melhor solução para um problema. A matemática seria tão bela que a existência de Deus não seria o importante na história, mas sim O Livro e suas demonstrações 'divinas'. Parafraseando, "Você não precisa acreditar em Deus, mas você deveria acreditar n'O Livro'"

Na verdade,  para quem ainda duvida, Erdös era ateu-agnóstico. Ele, embora duvidasse da existência de Deus (a quem chamava de "Fascista Supremo"), fez a analogia ao livro justamente para ilustrar o quão lindas e divinas são as melhores provas de problemas. 

Um pouco sobre o matemático

O Fantástico (e excêntrico) Matemático, que falava que dar aula de matemática era "pregar".

Paul Erdös (em húngaro, Erdös Pál), nasceu em Budapeste. Seus pais eram ambos matemáticos, o que garantiu a Paul um prematuro gosto pela matemática: conta-se que, aos quatro anos, quem dissesse a Erdös seus anos de vida recebia, em poucos instantes, o total de segundos que já havia vivido, de cabeça. 

O crescimento produtivo de Erdös continuou e, aos 21 anos, conseguiu seu doutorado em matemática. 

Erdös era um grande andarilho: vagava pelo mundo e por muitas universidades de inúmeros países, onde cultivava amigos e artigos. Por isso Erdös é conhecido como um dos maiores colaboradores em termos de artigos em toda a história, só sendo comparável a Euler. A diferença entre ambos é que Euler publicava seus artigos, em maioria, sozinho, e Erdös publicou quase todos os seus em conjunto com algum dos amigos. 

O Matemático não era conhecido por ser um desenvolvedor de teoria, mas sim um resolvedor de problemas. Isto colaborou nos seus inúmeros artigos, pois, a cada desafio que surgia, Erdös conseguia enxergar rapidamente uma saída, contribuindo para vários artigos serem produzidos em menos de uma semana: Como ele não tinha um endereço fixo, ficava vagando por conferências matemáticas, e, como o tempo de estadia devia ser curto, a maioria de seus artigos eram produzidos rapidamente, e aquele que havia produzido e recebido Erdös em sua casa, muitas das vezes, era incumbido de indicar um novo parceiro de trabalho para o vagante matemático. 

Dentre as muitas curiosidades do "Legendário excêntrico matemático", podemos citar o fato de que ele oferecia dinheiro por problemas - os chamados Problemas de Erdös - que achasse interessante. Os prêmios variavam de 25 dólares por um problema que exigia um olhar diferente do normal e milhares de dólares para um que fosse realmente difícil e, ao mesmo tempo, de alguma utilidade. Na verdade, os Problemas de Erdös existem até hoje - seu administrador é Ronald Graham. 

Erdös morreu, de ataque cardíaco, durante uma conferência em Varsóvia, em 1996. Não deixou mulher ou filhos, apenas suas inúmeras contribuições que nos fascinam até hoje em dia. 

O Livro na vida real

Embora tenha sido uma metáfora, O Livro existe! - ou, pelo menos, chega perto de existir. Há dois títulos interessantes que envolvem o nome "O Livro" (ou, em inglês, The Book). Um é o livro "Proofs from THE BOOK", de Martin Aigner e Günter M. Ziegler, dedicado ao próprio Paul Erdös, com colaboração do próprio, porém publicado após sua morte. 

O outro é o livro "Problems from THE BOOK", de Titu Andreescu e Gabriel Dospinescu, dois autores romenos, o primeiro dos quais é treinador do time dos EUA na IMO. O livro contém, além de inúmeros problemas interessantíssimos e engenhosos, material teórico, para permitir que seus leitores alcancem as tais "Resoluções Perfeitas". 

A seguir, trazemos um exemplo de problema contido no livro "Proofs from THE BOOK". Este é uma prova relativamente simples da irracionalidade de e - base dos logaritmos naturais. 

Problema: Prove que e é irracional 

Demonstração: Suponha, por absurdo, que e é racional. Assim, e = a/b, ambos inteiros primos entre si. Sabemos, da Série de Taylor da função exponencial, que . Assim, definamos 

Provemos que x é inteiro. Isto é fácil, já que supomos a racionalidade de e:

O outro passo é provar que 0 < x < 1, gerando uma contradição. Da expansão de e, então 

Agora, temos que

A  desigualdade é restrita para n >  b+1. Assim, 

Por outro lado, como x é soma de racionais positivos, logo, x é inteiro e pertence a (0,1). Absurdo! Logo, e é irracional. 

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Referências:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational

http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s