Análise Funcional - Parte II: O Teorema de Baire e o princípio da limitação uniforme

Vamos falar hoje de uma ferramenta muito poderosa quando trabalhamos com espaços métricos, que vai originar um teorema muito importante e utilizado na Análise Funcional: o Princípio da Limitação Uniforme, ou o Teorema de Banach-Steinhaus. Estamos falando do teorema de Baire, um teorema, de certo modo, surpreendente, mas por outro lado, intuitivo. De maneira informal, ele diz que, se você tem conjuntos quase vazios, então fazer uma união enumerável destes ainda dá um conjunto com muito poucos elementos, ou, mais precisamente, se você tem conjuntos com muitos elementos, a interseção de todos eles ainda tem muitos elementos. 

[Atenção: Esse artigo pode requerer alguns conhecimentos em análise real, espaços métricos e rudimentos de álgebra linear. Encorajamos o leitor interessado a consultar o necessário a fim de melhor compreender a postagem] 

Teorema 1: (Baire, 1899) Seja X um espaço métrico completo (ou seja, no qual toda sequência de Cauchy é convergente) e  uma sucessão enumerável de conjuntos fechados com interior vazio (isto é, tal que nenhuma bola aberta está contida em nenhum conjunto da sucessão). Então 

(Equivalentemente, a interseção enumerável de abertos densos continua densa) 

Como curiosidade, notamos que este teorema tão importante foi demonstrado por Baire em sua tese de doutorado, no ano de 1899. 

Prova: A demonstração desse fato segue linhas essencialmente elementares. Demonstraremos a versão equivalente enunciada. Seja x um ponto de X. Dada uma bola B(x,r) com centro em x, como  é um aberto denso, existe  que está nessa bola e pertence a . Tome uma bola  contida na bola original. Como  é outro aberto denso, existe . Tomando  contida na bola anterior, repita o processo indutivamente. No n-ésimo passo, teremos um ponto  na interseção dos (n-1) primeiros conjuntos abertos que está na bola, e com uma bola . Como  é um outro aberto denso, existe . Tome agora  contida na bola anterior. 

Assim, obtemos uma sequência   de termos tal que o n-ésimo termo está nos n primeiros conjuntos. Veja que esta sequência é de Cauchy: 

Logo, como X é completo, existe y limite da sequência assim construída. Pela construção, y está em todos os B's, logo, está na interseção. Por outro lado, como tomamos todos os pontos dentro da bola original, y também está. Isto nos diz que, dado um ponto x de X e uma bola aberta em seu redor, existe  y da interseção dos  nesta vizinhança. Isto implica que esta interseção é densa.  

Exercício 1: Prove que de fato a versão demonstrada é equivalente à versão enunciada. 

Exercício 2: Prove a versão (usual) desse teorema: Dados uma sequência de fechados 

,

Prove que existe ao menos um cujo interior não é vazio. 

Acabamos de demonstrar uma ferramenta extremamente útil para a Análise e, mais especificamente, utilíssima para a Análise Funcional. Vejamos uma aplicação rápida e fácil desse teorema para demonstrar um princípio poderosíssimo: 

Teorema 2: (Princípio da Limitação Uniforme; Banach-Steinhaus, 1927) Dada uma família  de operadores contínuos de E em F (ambos espaços de Banach, ou seja, espaços vetoriais normados e completos)  tais que, fixado x em E, 

Então 

Prova: Defina os conjuntos . Claramente, se uma sequência de pontos está em um desses conjuntos e converge, então o limite também está (pois todos os operadores em questão são contínuos). Como os sups são pontualmente finitos,  

Pelo exercício 2, Existe n natural tal que o interior do  não é vazio. Isto quer dizer que existe 

 

E isto demonstra o teorema. 

Vejamos algumas consequências do teorema: 

Proposição 1: Seja  uma sequência de operadores lineares contínuos tais que temos a convergência pontual em x para um limite finito (que chamaremos de Tx). Então:

(i) O operador linear definido como o limite pontual é contínuo.

(ii) 

(iii) 

Prova: Veja que (ii) é uma consequência imediata do teorema que acabamos de provar (convergência pontual implica limitação pontual). (i) Obviamente, o limite pontual é um operador linear. Para ver que é contínuo, note que 

Pela Parte I, T é contínuo. A parte (iii) vem de ver que   e tomar uma subsequência  tal que  e passar o limite dos dois lados.  

Proposição 2: Se um subconjunto B de um espaço de Banach E é tal que, para todas as funções ,  é limitado, então B é limitado. 

Prova: Utilizaremos o Princípio da Limitação Uniforme. Olhe para os elementos de B como elementos no bidual : . Isso define um funcional  obviamente linear e contínuo. Assim, se indexarmos esta família por , vemos que, como é pontualmente limitado, por Banach-Steinhaus, é globalmente limitado. Mas a norma de cada  é a mesma norma que tem . Logo, B é limitado, como desejado.  

Para finalizar, deixamos alguns exercícios adicionais interessantes: 

Problema 1: Prove que, se D é um subconjunto do dual de um espaço de Banach E tal que, para qualquer x em E,  é limitado, então D em si é limitado. 

Problema 2: Dado um funcional bilinear T em ExF tal que 

(i) Sempre que y está fixo,  é contínua e linear. 

(ii) Sempre que x está fixo,  é contínua e linear. 

Prove que T em si é contínua e bilinear. 

Problema 3: Sejam E,F espaços de Banach. Dada uma sequência de operadores contínuos  pontualmente convergentes e uma sequência  de elementos de E, mostre que . 

Problema 4: Seja E um espaço de Banach. 

(a) Prove que E admite uma base, ou seja, um subconjunto , com i variando num conjunto de índices I, tal que qualquer elemento de E é uma soma finita de múltiplos de elementos da base. (Dica: Use o Lema de Zorn) 

(b) Prove que a base acima construída é não-enumerável (Dica: Use o teorema de Baire. Lembre-se que o conjunto dos subconjuntos finitos dos naturais é enumerável).