Transformações Lineares em Espaços de Dimensão Infinita - Parte I

Hoje vamos falar de Transformações Lineares, com um foco específico nas transformações onde o espaço domínio (aqui sempre tratado como E) tem dimensão infinita. Um espaço vetorial nada mais é que um conjunto fechado por somas e por multiplicação por escalares (reais ou complexos, dependendo do caso), e a dimensão do espaço vetorial é definida como a cardinalidade da base deste espaço. 

(Aviso: ao leitor sem familiaridade com um pouco de álgebra linear ou análise em nível elementar, recomendamos que espere um pouco e leia o artigo depois de ter mais segurança nesses conceitos) 

Uma transformação linear T entre espaços vetoriais E e F é definida como um mapa entre esses espaços satisfazendo 

Quando o espaço E=F, dizemos que T é um operador linear, e quando F é o conjunto dos reais, dizemos que T é um funcional linear. 

Comecemos com alguns teoremas básicos da teoria mais elementar das transformações lineares: 

Proposição 1: Sejam E,F espaços vetoriais normados (isto é, cada um admite uma norma). Então são equivalentes: 

(i) é contínua

(ii)  é contínua em um ponto. 

(iii)  é limitada (isto é, leva conjuntos limitados em conjuntos limitados) 

Demonstração: : Se (i) vale, obviamente vale (ii). Se T é contínua em um ponto y de E, então, dada , temos que . Suponhamos que temos um outro x em E e uma sequência . Como a sequência , então . Mas isto equivale a , e assim T é contínua em todo o E. 

: Se (ii) vale, então, dado , existe  tal que . Mas, como T é linear, dado y = Ax, |x| < r, então |Ty| < C. Ou seja, leva uma bola B(0;A) em uma outra bola B(0;C). 

: Se T é limitada, então T(B(0;1)) está contido em B(0;A), para alguma A > 0. Mas isto equivale, pela linearidade de T, que, se |x| < r, então temos que |Tx| < rA. Daí vemos claramente que T deve ser contínua no zero. 

Corolário 1: Se E tem dimensão finita, então toda transformação linear de E em F é contínua. 

Demonstração: Basta mostrar que T como acima é limitada, pela Prop. 1. Mas isto é fácil: Seja  uma base de E com cada um dos elementos tendo norma 1. Como um espaço de dimensão finita k é isomorfo ao , podemos considerar a norma do máximo em  como a norma de E. Assim, se |x| é menor ou igual a 1 em E, . Logo, T é limitada, e, então, contínua. 

Vamos construir um exemplo onde E tem dimensão infinita, para obter um funcional T não contínuo em E. 

Seja E o espaço vetorial das sequências onde todos menos um número finito de termos é zero. Se 

o conjunto desses elementos forma uma base de E. Além disso, se definirmos um funcional nos elementos de uma base, definimo-no em todo o espaço. Logo, defina T como . Considerando no espaço E a norma dada pela soma dos módulos dos termos da sequência, então todos os termos acima definidos têm norma 1, e, portanto, T não é limitada neste conjunto, que obviamente é limitado. Logo, T não pode ser contínua. 

Para finalizar esta primeira parte, vejamos um resultado importante: 

Definição 1: Um espaço vetorial normado é dito um espaço de Banach se, dada uma sequência  de Cauchy, então esta sequência é convergente, ou seja, existe . 

Definição 2: Dados E,F espaços vetoriais normados, defina L(E;F) como o espaço dos mapas lineares limitados (contínuos) de E em F. 

Proposição 2: Se F é um espaço de Banach, L(E;F) também o é. 

Demonstração: Exercício. (Dica: Use que F é Banach para achar a T desejada como limite pontual, e aí use a limitação para provar que T é contínua e que a sequência de fato converge a T)