Polinômios - Divisão e o algoritmo de Briot-Ruffini

Olá pessoal, hoje vou falar sobre divisão de polinômios.

Assim como na divisão Euclidiana, ao dividir "a" por "p" temos a = p.q + r onde r é menor que p.

ao dividirmos um polinômio p(x) por outro g(x) temos: $\frac{p(x)}{g(x)}= h(x) + \frac{r(x)}{g(x)}$ onde $r(x)$ tem grau menor que o de $g(x)$ . Escrevendo de outra forma, temos: $p(x)= h(x).g(x) + r(x)$ .

Observe que dados p(x) e h(x) só há 1 par de polinômios h(x) e r(x) que satisfazem $p(x)= h(x).g(x) + r(x)$ com o grau de r(x) menor que o de g(x)- tente demonstrar isso - (a dica é demonstrar por absurdo). Onde p(x) é o dividendo, g(x) é o divisor, h(x) é o coeficiente e r(x) é o resto.

Assim, é conveniente desenvolver um método para achar esses dois polinômios.

O método que todos aprendem na escola é a divisão polinomial. Mostrarei como funciona através de um exemplo.

Suponha que queiramos dividir $p(x) = x^4 + 4 x^3 + 0 x^2 - 3 x - 2$ por $g(x)=x^2 + x + 1$

Primeiramente coloque-os dispostos da seguinte forma:

Depois, vamos achar o primeiro termo do quociente (h(x)). Ele deve ser tal que ele multiplicado pelo termo de maior grau do divisor resulte no termo de maior grau do dividendo. Nesse caso, é $x^2$ . Então, multiplicamos todo o divisor por esse termo encontrado e subtraímos do dividendo.

Segue as 3 operações feitas na sequência.

Agora, o próximo termo do quociente é tal que ao ser multiplicado pelo termo de maior grau do divisor dê $3x^3$ .

Nesse caso, o termo é $3x$ . Depois, multiplicamos o termo encontrado ( $3x$ ) pelo divisor e subtraímos novamente.

Segue os passos descritos.

Agindo da mesma forma que fizemos pra achar os 2 primeiros termos vemos que o próximo é $-4$ . Segue os passos finais.

Assim, $x^4 + 4x^3 -3x - 4 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 3x - 4) - 2x$

Observe que, somando 2x dos dois lados temos: $x^4 + 4x^3 -x - 4 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 3x - 4)$

Então, as raízes de $x^4 + 4x^3 -x - 4$ são as raízes de $(x^2 + x + 1)$ e $(x^2 + 3x - 4)$ .

Há uma forma prática de dividir um polinômio por outro da forma g(x)=(x-b). Esse é o método de Briot-Ruffini, muito usado para testar se "b" é raiz de uma equação.

Primeiramente, vamos dividir um polinômio $p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0$ por um da forma $g(x)=(x-b)$ e ver o que ocorre em cada passo.

Abaixo encontrando os 2 primeiros termos teremos

Logo, após encontrar o i-ésimo termo teremos:

Deixo a demostração disso com o leitor senão o post fica muito extenso. A dica é usar indução (clique aqui para ler sobre o princípio da indução finita) verifique que pra i=1 é verdade e mostre que se vale para i=k então vale para i=k+1 (é só continuar efetuando a divisão).

Então, o resto será $b^n a_n + b^{n-1}a_{n-1} + b^{n-2}a_{n-2} + ... + b a_1 + a_0$ .

Observe que se $b^n a_n + b^{n-1}a_{n-1} + b^{n-2}a_{n-2} + ... + b a_1 + a_0$ = 0

então b é raiz de $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_1x + a_0$

O quociente será: $a_n x^{n-1}+(a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} +...+ (a_2 + ba_3 + ... + b^{n-2}a_n) x + a_1 + ba_2 + ... +$ $+ b^{n-2}a_{n-1} + b^{n-1}a_n$

Observe que o resto dessa divisão é um número e o quociente é um polinômio de grau n-1. Logo, para fazer essa divisão precisamos só obter os coeficientes do quociente e o resto (o que pode ser feito decorando essa fórmula geral que eu mostrei logo acima). Para isso que serve o algoritmo de Briot-Ruffini. É um jeito fácil de obter esses números sem decorar nada.

Funciona assim:

Se quiser dividir $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_1x + a_0$ por (x-b), comece da seguinte disposição.

Observe que se quisermos dividir por (x-b) colocamos b. E do lado os coeficientes do dividendo. Caso algum coeficiente seja nulo, coloque 0.

Repita o primeiro coeficiente do dividendo ( $a_n$ ) multiplique por b e some com $a_{n-1}$ . Depois, coloque o resultado dessa soma abaixo de $a_{n-1}$ . Multiplique esse resultado por b, some com $a_{n-2}$ e repita logo abaixo de $a_{n-2}$ . Seguem os passos descritos.

Observe que esses já são os 3 primeiros termos da divisão. Após encontrar o i-ésimo termo teremos:

A demostração disso é por indução e é idêntica à anterior.

Observe que o último termo a ser escrito (abaixo de $a_0$ ) será o resto da divisão. Se este termo for 0, então b é raiz do polinômio original.

Assim, com esse método obteremos os coeficientes do quociente e o resto da divisão de forma mais rápida.

Ex: Suponha que queiramos dividir $x^3 -2x + 1$ por $x-1$ . Nesse caso temos:

Assim, $x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1)$ .

Suponha que quiséssemos dividir $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ por $x^2 -1$ . Observe que $x^2 -1 = (x+1)(x-1)$ e -1 e 1 são raízes de $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ . Assim, podemos dividir $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ por (x+1) e depois dividir por (x-1)

Temos:

Logo, $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8 = (x-1)(x+1)(x^2 - 6x + 8)$ .

Observe que só pudemos fazer isso por que são ambas raízes de $x^4 -6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$ .

Bem, por hoje é só. Para fixar o conteúdo vale a pena fazer algumas divisões com polinômios aleatórios.

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