terça-feira, 19 de agosto de 2014

Polinômios - Divisão e o algoritmo de Briot-Ruffini

Olá pessoal, hoje vou falar sobre divisão de polinômios.

Assim como na divisão Euclidiana, ao dividir "a" por "p" temos a = p.q + r onde r é menor que p

ao dividirmos um polinômio p(x) por outro g(x) temos:  onde  tem grau menor que o de . Escrevendo de outra forma, temos: .

Observe que dados p(x) e h(x) só há 1 par de polinômios h(x) e r(x) que satisfazem com o grau de r(x) menor que o de g(x)- tente demonstrar isso - (a dica é demonstrar por absurdo). Onde p(x) é o dividendo, g(x) é o divisor, h(x) é o coeficiente e r(x) é o resto.

Assim, é conveniente desenvolver um método para achar esses dois polinômios.

O método que todos aprendem na escola é a divisão polinomial. Mostrarei como funciona através de um exemplo.

Suponha que queiramos dividir  por 

Primeiramente coloque-os dispostos da seguinte forma:
Depois, vamos achar o primeiro termo do quociente (h(x)). Ele deve ser tal que ele multiplicado pelo termo de maior grau do divisor resulte no termo de maior grau do dividendo. Nesse caso, é . Então, multiplicamos todo o divisor por esse termo encontrado e subtraímos do dividendo.

Segue as 3 operações feitas na sequência. 

Agora, o próximo termo do quociente é tal que ao ser multiplicado pelo termo de maior grau do divisor dê .
Nesse caso, o termo é . Depois, multiplicamos o termo encontrado () pelo divisor e subtraímos novamente.

Segue os passos descritos.
Agindo da mesma forma que fizemos pra achar os 2 primeiros termos vemos que o próximo é . Segue os passos finais.

Assim, 

Observe que, somando 2x dos dois lados temos: 
Então, as raízes de  são as raízes de  e .

Há uma forma prática de dividir um polinômio por outro da forma g(x)=(x-b).  Esse é o método de Briot-Ruffini, muito usado para testar se "b" é raiz de uma equação.

Primeiramente, vamos dividir um polinômio  por um da forma  e ver o que ocorre em cada passo. 

Abaixo encontrando os 2 primeiros termos teremos

Logo, após encontrar o i-ésimo termo teremos: 


Deixo a demostração disso com o leitor senão o post fica muito extenso. A dica é usar indução (clique aqui para ler sobre o princípio da indução finita) verifique que pra i=1 é verdade e mostre que se vale para i=k então vale para i=k+1 (é só continuar efetuando a divisão).

Então, o resto será .
Observe que se  = 0
então b é raiz de 


O quociente será:  

Observe que o resto dessa divisão é um número e o quociente é um polinômio de grau n-1. Logo, para fazer essa divisão precisamos só obter os coeficientes do quociente e o resto (o que pode ser feito decorando essa fórmula geral que eu mostrei logo acima).  Para isso que serve o algoritmo de Briot-Ruffini. É um jeito fácil de obter esses números sem decorar nada. 

Funciona assim: 
Se quiser dividir  por (x-b), comece da seguinte disposição. 



Observe que se quisermos dividir por (x-b) colocamos b. E do lado os coeficientes do dividendo. Caso algum coeficiente seja nulo, coloque 0.

Repita o primeiro coeficiente do dividendo () multiplique por b e some com . Depois, coloque o resultado dessa soma abaixo de . Multiplique esse resultado por b, some com  e repita logo abaixo de . Seguem os passos descritos.

Observe que esses já são os 3 primeiros termos da divisão. Após encontrar o i-ésimo termo teremos: 


A demostração disso é por indução e é idêntica à anterior. 

Observe que o último termo a ser escrito (abaixo de ) será o resto da divisão. Se este termo for 0, então b é raiz do polinômio original.

Assim, com esse método obteremos os coeficientes do quociente e o resto da divisão de forma mais rápida. 

Ex: Suponha que queiramos dividir  por . Nesse caso temos:

Assim, .

Suponha que quiséssemos dividir   por . Observe que  e -1 e 1 são raízes de . Assim, podemos dividir  por (x+1) e depois dividir por (x-1) 

Temos: 

Logo, 

Observe que só pudemos fazer isso por que são ambas raízes de .

Bem, por hoje é só. Para fixar o conteúdo vale a pena fazer algumas divisões com polinômios aleatórios.

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Até mais.
















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