Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZwb3ROyxNG7VDZC1-O7jBGxhRyL_3Z96zjlyvFsNql1zFTeUFoGpOJI36GVeKJ6m8Swxg4OIuhtjEfatVKLdiybt6mowAiiB5kWD5MzsLxb6TFPPuv-F25n1ZX8oVVd3phriHisSadC1NjQApBCpW2IUxO_fdeTKQl6AQhyMAYM20HXwYnqJ5AddesTaFYjEXEYaYIzRYZ96VHM8f9b6z359p8u7khWK2iCZv0DoK-alt9jg=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYRqAlNV-cH68GHvR0a6qGNNUFc5NrVzS71T7XUEPX-zbbMoDPfWOCLs5t0jqWQ5Z9-os9A_9xws7_e_DLqEZmYdd32CpEhU3L_6x-fvoNIwDBG4YZxEMifyPs2Nf3PiKWxI0RjyyJPY3PKTaXxHqCbYV_jg5-6WkJ7tNECqUkl7GZnK2hALAbtnZeEtHX5ogOWNkxI0Djg8KGUh_dCtz4ts8sguoWPsm10IvP11TV9OZCEiGyoVudKW-oBkda8eam=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukL_F0XdH2pCNFwQ0zZEAnaAZkIxiaQhESmml0STqbV40x0Jv8SOscTBjcK6cFrlgdRNdRIqkx9xOofDLn5tl5Vdi0_jgqc-KwdYt6nle4ZSwglCqUmCWZ_g0vNUXzv0f5seqnjt8rXV1tUC1K83gc-zGtNcYnk7QIX_aXCY8ZCcX2q7w5aG86hsOc8_suX7tUioys=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tO4cXiK-Sy8bYW8ClZdPELc_MeiYV8W_gZPYq4Vm8lEFn4iY-o5mYgoZij49zTElS-aNfFf3GOKEwd5ABBHw4ReWrJRRp1AdUiBO6M7XlFYjsK0E3sRLEbP_NNukNH0QHFp-UN5a27ACASDF4CFv1H2swLod1RA3fVJd01u4suogBb2gLzL44JwgCb6q7a0ZJxH1YARoo0Xw_TbDThjaprG-x5MQZ4oPdsY0eJspiYLspNTvUq-B0SB84m9km67Ns_VUd-mVys1vKXGCjKQqrCHy2e3AzU436LRQT4x7mjWnOakcDSKAYk8vQ2HRCSLBYdWtNUf_CCg438i4FvMDsvSEhJIJCuIpgHotHxuUB6P8XnGgHTxTYHgwlW9eQ=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tPzX2JeRX_pmCki4ujUyDQekczTqfH5gcQIlTvGhhl6tMGP70_Dg7H0w2zNTw_PZ6OaE4qTJk4j2CjHBPwX_PJRNhEeuH14queZk1_OLLXUL7wGgWbBiBCuX7Jo3-iQ0Nm47I8URA53qHlK4dRjo0fiinTh_NNLQDSnyhRNm6MKk3fkwuPTIFU9eL4NFzhTUtRBlN4rwKVmtZMqUP0nXnmg8dJkEIIj4LpjP6ALvBnLg=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s993LOC2wyal5fkbyXrxtDAKOdyPsMll94FNsguWbvGp8v90EltYbfA9qUlGn418s4JpaocbPXUuQjme3ljt8F7X0pyguqJBFjJfOUaet3t62mV_RMKkhf15FFFH7F0Y06Xoa0rPMFf8iwSr_b_BLwPfo8sAsoP5cMOYaXKlz7e8Uq3zfRevICu3mPPg=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5NIpZIxL6eyp7ZBaYlZD5Sp9-3OkHy7Z1gyieGotAE8chfaZWQELFgWl9jFZARoG6ybbE2tiLbrR86ZVn-VSMMgn6TAP-JI1zUaQXjoUWeZaAKWRRfnOmgIv_UFbF5mSyUe4_k7kqz7QakSbU=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9hK7uAql6pugrhYrdxR7Q33FHI8bhnzZc4ANz45cN9gxuDRn7NIquG2gM2WxuNcjPG0gLaBzj4orEQ7GiP1W055aMOL_LE7ilKAYHjgliYmCNYA=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfhtvwVBpoET2k6o4deeczopM6xEuYiuIFiL8x5wdHNinfv3CQAhStj3w_q3iEsc4XN9z0GFE9m3kEAE6vULDe_4s6qmp9wKovx490vPwuHv6hyOp4woBZ12UIMZT3VBIXn2ChASPXjSgTa-ssjk4JhxdqgrfuLlstHs3PB6ZFuMqAahM6=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s4fiYGHx3k32nKT7nT4pFmScCs1GkG9pGMboFT61Dvk0xLmhxgM4quWjnIzmZEdNXlrA5rMH9Y3xFWPdEoI2AkW8i-lebuz1VEwtdXJJIiG6WNdBQ0ghy6RueRr7-OZsz8ZAr4vjsjPPte-xhVHYlLowxzoNDxrti3mJ9NSM7sQmK-Qa-RJHXQFcZrk6XxmjQXLOiFa7f_ODdLcZTwdO0hCOYLuM9AZHetUdOpQ6Hezrccvw=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uHaF62YH2DIpHNMTNWuFoQSPR6mCAOTRMnCunPyorYRalnYnKpa-1LiWeypnOih6UKNTkYs-diNAMpAv1gG9rQqo-uGN4HPg=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tPGuZGCZLumNag-_-5BmZRQl6WtbqJ3cNejjibytoFLJfd_coUOEiLAbHigZM7OsKXjhGF6oq1eKQqlFka7EKHrlpu9Z73-Us8Vhx_9w=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u8ZlCV5lrHqc6gPSMvWspXMmBDnIbuNYE26dWyAEj2XmX2GtkyXflcnyvPZNLscl_xrXh2WArnHiPFQrWDOAU-2UJOuwJ1x2mlyDvjAcYBrgdrXAuAvkyM_GRl4fKSzdchmE00xuhO6ckvtgM=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2TAcantZIOnbTPYVTgR7vb_1Zw_A8cPTVSH0aqtZdNto0MKlwhyrctZDAK2M9nwx6aPCr6lZXoQkmQfFKj7mUQtAyCP6dJsL2XP-6QWg-8bc0m-h0YiKMLmKQY5d5HtPRufVfgNyWfod-bC7pJJC9ykmfzRnEkCZ2GAusDNjLxCXp6nQkRG_ye7m-qeZ6s-Q3cBipWgpS4b2fXWXm9yIIN56aCXVoDVPbMxdsIR6V4QrvCB3Q2bZ8cQzFQALQXFZ4NXqOz_msr-mXwQwaUUBWCp0HiUtoZA=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uoIIgha3yi4eWLEP6GqV983ASsO60nKJrz4vzaVvKLRNFn7iz8W5NKTux-v5iEEi1-QHslcoSC8IW2bpcnNvcX-GPs2v4WiSNyHNadn9UMN6aOn8GSPEJBUX7vzrrx5igSOhsDuElVaGOl7Q=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uSsy6KBMSV2AwEu2_piwhVsjBQCNEnAQ2wf4BXdVU7w__g3A6yoD_b64E5EcIHirY6X6Lb8mVHjtwsAgxqemPovnapnssWsZB5UGd6uaYzych_EPs=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vNdt1lwTyzf6FgPoPUB3XuUBWtEyU4BgLf7UvFh4eHQ7Nb9eI7FpzNMrv-sIy-fHyOOmJlP7KTU1jMVsLZ-MF-f85_xtxHulQfWIwbFGhYs1L3vmgezsFpy_dpNNU=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vlDuO47hva8BTF3yE4-FdaR7ZQJC7JUBdD0qA6hccSpcZp2_CTWWngSivtx7e71dEReQ5A5YCfBoCljd1UCcEnpjJ5VsOU1Z5EUksvAmUq=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vgidEwTgfaf1XuVSf6LOtTArIbA6cYlPJ7cU2vcpOkg5Nfu6tbEQN9I4-IK3WEZR_mThR3cJSw1X_KvelCHY93qEtd2YdJ8E5SUVB-Wzs05uembYp-7I4EagvgfDsnS72NtG5KWRsFUEoBEl9kBh9y9i13YC_SXN9C=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vG0-3HI4tWufY8IOIV9ExUZeED32ys7nq4AQb8_iVW-v_vXuaz83kE1AUBazdk_xrezpxjjBEuIwXoQR4=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPUHjRrO0NlPBz6HbihMRcOkLwj9Fq92YnykdxcqccYPEGag-Vg2jorKLyCMokxN6e4znwG2KBAdtcDj3UWI0rrDpj6wgo563taBY8YEFloyGegqBHNpqM5ooB9Sx40iI9eDh30UnXTSmFPRYf=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uIwqb22Bb9kTiTk_ixesSKHqhwh590bratLheISc1udMHbu-hHcEo3Ky7NrYeub8PGU_Jk0GRB5fKzZZv_=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZUWmubEGuqgdFGcEwaK5bee8kddK9pI7AJI4NwziwY8ZfC6P7UoJQnm5QjeOacB3cN96NdbaWGx1YZiz__LwKAqU6brFsSPi3Gxy1NHHKirIPPYUq5Ab765cNj1OlEhNuPgPrJrIrS5q6cmTi6XQ=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skM28lWHVDLoaoWclNnTB1AyhNk7PmQtMWRF_-9SHZ3GjCBIpOG6JMSGGZ7EKfZtcsBJozOL8t1erVaV9kaNu3iBxc-6Au8t_cgC9ij9CoMLTb22MRP5Q1hQ4SPRBueY48BP-cCIpRx99-K5S_owBJGfbXs0lbI3uben2F3AnP9Q=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ssv-scCmqbZKc7fAY74OatB98YAcXrfVW1vDDf6hsl7zt5xwKZ6NPcMFY_m1uFI3u4709wLbqPgObG97djEQK5TcQmxvXE5vgJ-E9458Gew-5YxEjNXaMgV7Kzbk32qPsPbGlOmrcP5TG-zcJr2bzi7yDnoW5CektapeNtt7RJJXT_IkuNPtdVn_7nGWguAV6LG_wtyNgNLKMWMyzkY-7MLUSmqA=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uaQl7BuhWVzcKrttR3g_Uog2GvxV9iZSAofAJv34Oq2A2rkouwfeCktyOb_TDb8w174cPwtqn3b29f_LV3YYlzfhaAHKi6JjlKymbmZTM75KEy2gkztBc3qiF0hrJUsfn90oQ5CGW2_L86CQQhoP1-EEyn03dYQcD6MXuY5bJq1YgmbSfRNFzSEa5dOJ5R5ZVLLwy4qqD35p6wIZqeWfWyV6g7ZQaPqVTTGuTvgO6RhtzFotofiFa9Kv6z-sH4o4Wmcdf5TiQsrthDSexrIwJ_EQ=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tW8lAB7OdIyabF6xRZxwqY8m20r9VHDxTxlt62TT2HEuE7VZBNdrFQKOUq8Ro5OeBy9HvZRd2rvyWdSw=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDfCDncByPa64LFW_T1d17p1Ca9-qEo2FjstJDUTueNWMHQPTC8AezKqViu1N6nJMcZ_Z0oZBPhOB7F4UQe6z_Qj0aFLToaQ0g5PZTl8SxQNyxFKDzYdvXi-vXXqKI0FvZMqway81Jl6shk6ltzCJYSxHY3F27hkKseCU_yySOUwvuJoWhL5cNhHW_f_eX9DrkalJeTREHIYF5YLi66E79T4pswjvFJ_J_ltfvYKcvaoQR_k35S3e9n7yUw1_mh00K6xinOBENuCi_rAE=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vwtdpnLMqsARAsagjaO-_I2AgEPNqbLkQqBXy6IAKVQt_DvvE-NwCUhu5zQ4RIHGs0B6gvbhx14NwYr9H-g1PRYgGNXJFO2L0CNhO0w6f303GGJ484DJ4jKZyZbJAsrQ=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_OEC5euzP0LuVn3ukG21tzJqhppC-PxRxtXjF9P4u1fvZ2BeZKa-CiZmbsKvciibQhSU784fj2R6BO0f0JZ7ZWg2KlxCOcQWP44z4lNO_eoTvD5SH8_C03w2tNlg=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u81cW6Ti28hD_xhZe_xJz5AmHOVOfx8AJYADswJW55K4ACyL-ho8U_FgYlqHP8XEUyWRYte2hIQJRmIwxBuSvHVKxVcAbsCD0gVgNQYXQ5TVDQF_6VgWEEnZieUF8fd48G7W9_8_yQ1NezLautM-oC3p5dMiSZTJaDX5GCDLCDVscRjE3XKqn9ddNxWERbxO7CR2KdP85GxN8Q6gn6uo1IFrlVvImMEDg9=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twArAu5Aq0g26HU6ExIzo1xNZ1-9w9DTtJs7TYImKrH0nq4Ci07OzEpg-S_Q4ggnYmov-OOJmLH_bNwj2r=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !