Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSx1vk92eRPhtpxCYRVUkXxPwU0lCgBeO0edFVt7LlIuG1QJCB4SnYXgIjG2Xf3uu-eDjYvAJiH_tqy0JzZisWYKItjQbp7rzereA541qunZWkwHTnusxMDb-I65ylOQwvBhwE1mQ69uzTh9oV-bFXdFo1X9gU2ajQJLysJjxjrU1L9e88_hbP79Mh0i9vXqdR4mKPNc5jpo60kO2PhmB4DXSuKkrOoAg9clNb3sm4JaJ4uU8=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s0ckZWdF8E92QRmIhsNsW2yA4WbBvp2SJQLV48Sl-wfsabuyK2ZKp3xbdoe8yHw2ok1MyD5hlvHdmgIMkg7jtG3XiKAUEM6P7QvsYqMZAsl4uwCDvFvNgLuSMWM6YkKa2DtyuWG5Qnh-F370_nRaGOR7RXgMGyGTCqLwhZ0H9kj2TTJ5w7WYMRuI2TgkP71vmYe_EwH1AsxmiDIFe3X4jRHFMCuaKMTBzFqkBdCDfefrz9qGFVz2xJEzOfuQ_jOeTk=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_taymDA9zQltsBhBGYtR8FfEg_VopaiDUEjuZ9KyhQV5NiiJONNnRTmrPGYuPA1GoILSGsaOjfqvY-IDJFMvWSCYqAxPZ9p63ULxlwx78JPM8TcPVyTdNsbXOxbEyZZbIW6UwTV5Q3K5l00dA2Fc1qyeFqsjNAAYftgtdc14TdDqJLBu4BnNV3FnAslZNNx9ueyJrCU=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhAwkTbkbaQp4kXvjMf6KdsdVgeWSeGcF3WoSJo72J8f2cingR3ljczJwcWkIKBJFkYELtJHDItEx7zU6g10GnREkedmfRQ89oYrcl7w8mW-l0VxUIycCgaHbLLcUYAbGwsYsj7QEUvGbkwFEzFByug5Z_YP9A91K8bccLcgJlAQXhlRuGnINmx-62YIg8hsxRogxMAhwXkXwsIWe6YtwlIX1Lg8jtd_RT1O2BEyQUPxGrTlVcXRwNvQVvzEwpaIMYYhPkY83CFtVObyCjcY_0yuqV4WGvz_eoMMdDPKCcAEfI5C0u19cg2FU3qevxSB0-49-4SUpg4JzpI-xqD7YV3aztmgeF-KiLK6CQvWaIP3-VAI-GL6CY4YPIBtY=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfzvf7FenXeai_MGnQG4xBudgFg1HgvuJxev9t_7uV-r-sSZSMX6OCamLMiF7m3JZCGREDv6PZuD5b5_Olwp2usRmaNxqsT26oUwSCRnns9zsG0Jz4g5D2cgyVjl-ZR7VIHal_mOC5f8keNJ--g8p_aSe4IjZ6uWM_NgSoj0tkNCFTuiBRA68YIgXExumdSSHl5A0n8B9Eb5mQinwLm6Lrx7-1Wks2eogKe8xfUcZFlQ=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSW-nPQuzWGh8RCuJ7o32oMqf1QFLbuDArzuZcNHORZP8hZCJ0OJiiWGHzNwJLfQsEWxShoyXLt2IV3QCeUX5NDF1_Vk4lILYzkAF9H2Om6ZYZNcVgmYl5Wp4p93Ial4nBDUHzD_qznKKGNxgsqF109Ln6rLQ2wzolzaYp5EK8QuGyg3PboKOtrN1ZDw=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sQzI6eJZw5bpWB8smd83r4IjMdiMAE8jesSKA8xujrX7N3CT0RPwM432vm4sLpqAhkkcQLAS_I3ltSSJczYR_1M3NjOF1JbDV7i_kH67Uemy7WZZ-F5p8Sb6JLyiXrNkhalOkfERfX3Wpo3smm=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vvOCOsaQmc_lhPosQcGudUWyoQGyicYSyj0oYn24obv-2NjuyZIJWKQJ9EqP9Yb7pKQeBrCF_MMYo34siR0Cg78x9vBuPkz-oKgXs-wMyldmvKlw=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vNl_xvuzllb4_-RJHRJDK8kTOYhdYnvFp8LspbnJd0SJArgpZ1NtvOO-MGWiyV5qycG-00Qk2fizdO3zZgSOKUdU1r0d_AAgRfGxy6bJ4mHocgmBHTwD06FOyWJM9JVSqb8QMwm2pds7bZXLUayj0sbcxeVD4_OKA2WNOFtimHXEcs7YCn=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uiZRMp9CC8zxI9OtiRxZI18PeGcf04Aw8A7nubgUhk-pmfDraiEzfQ_17_zZHP5wruJbcLkMYVoBSkCbJiK39D4AFj8MobwD1n9Ey_RAVl9Ts9XIGAetr6RwbgAxgbDk6jNS93iCdZf8hBwXQkwVFWi743y0ffqGICSl-Ve8oR0YII4HcSZrtRRoAeQJg_rnz4RqWsyxfFveLHaY9eKRIZv7tg_2HQHWjJHCmc_Ff2N9V5nw=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vxUcBTB6Uw8KM9tgdRvhooySTOiFPki7OSV8pIcFAbRxZjEyB7gykZcGEqDLJ6c1eZcDl-tzhPVEo9B4sj8Jj_z59vhGFY5g=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLzmvdPz3uIhRhDQjSYCsvp3CSEuHReIZmXDnhCuwU1rLF9LSpKEocMzPWNgciY-18hvROZBq0V2qUl-vnZJNDx_zPGbkCPrrNZHc_tQ=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u_FKp07JvPze6utsuGlAcVjUbmqqKwexk7H_7qguluqCLpmQIlYa73uDoEDhsCfiVue2WLXXNwPjMqjJ2GYzyORuXDMSRj2zFjBQDhWEI8uDMRvnz9t3tgAHaHEbaIeHFpN8zFdzkNZijRs_8=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJKtb1I3XL_49iIJ1WhAZExUlqlLQ0RGnnXRGQ_8n_h2-Eu0csZ2xXDdUH5_aszvKBizTT8W-j3OyAxKuUazH-63sEf_bPvyr5avlF66_9PYBzZpeQvjPp_OQMaX7PZRHB8A5p19qoA88EiJv6_Hx5agzAWQdgSktxNZdZwhEQf4wP51vtWWQUVWR_tswqkJYvce74Lfo6ibsAE_gw7xazFKauzsNxKN70UQZozUGE-0QE0zwYboPX38IowVYf-eJKZiVOUlS268wlT8KQSKRfA9LkKMyQJw=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tWZ0N335HrX5xsqAh-jT9Ud9Jhh5Vv41kjKd34baRwS3ffpWaGVpAB0SOClTWFs2eJBSHGYXNwtAmKGBcuOv5dXGVZLfC9b06j9QJnobJ4bjO0bp1tHaASYM41W0ABufPhm7LoKKQXMuUJ0g=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukxnoq1mXey8ekmED2Nsy9ldzMjx85mZctgQlUl8dhkFanKI6-IDDobyyAo957o3nnXjVuxyPTwfPcgANJFOyPySJyh6FQxh2WbZhOwEaazT7lIYo=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJSooYnkstjzVtAsd2hsON2GJGnNgh6NT_9cFUadfaQQgIozLKlcnu76ncMfTRm0O6YymcVdt5pve1GvHQSwa6uZVZBhKlgu9zN38pZ4L3WMqva0hbMBZPOZ4tHXU=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRuz2cOSKxIiCQgMYXpaXrWPNjzkc_a2tr306A3OEwlqdSoljflMV5Joyy4REDGH-qOq6OGoQY8CTKgG7utULkvEEXFC9YDgnNnx3Hivpq=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uHOjB7a8HqH37lvDGJViHeA2ssgUNVRwVvB6UbeUIgEsEmvmcLTUbn2HHKKmPvYj9KvNE5vQgI-upgS4aI3X_5o9j8aGI4j-al-TN09wsY8sLNhyv381asIwvLex46DMBJAL_AH2gYaQAfXPOCxYoSlNEu8aKTH3PK=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uBsrBNSaCbg0xnaUBgAxFRW5Lsskne5Kb6n9lAMw_1afhe-xEavcCNyeVKdIjAIM0JNUZDIx8EYzlS03M=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXmsyr1OkCZkjmGPLsF4o5EmDtC1eWGsRMmk6412ZpOf7RDJgflWWGfg1HSJ6c9P1M9TghDnoudFqi3x4C-HIpz5dpr1WcFeeP4m7YxkKJfIDNAIMLxSeSInMII8pu5KZkxaVZ7Cc7PWaF57Sb=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tDs_4yVfuKFogGWQdcVXBG10pnhhKaz8zUbx2ShtB2ZAN1LLt3wMLrK0NqE7Eczc8WPyuZvcgg_Kxzj7oU=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uvANQfTLuUy2G4Kf-y4tizbUfiLSo5IV002L6E6wYYFv8jrXL6mve5OL8ix2Jr6kGCl6A_IFcMoNC9yEkaT58iVzlFXvZyMXMyGMxra0PpTfD8tCJs6tFf2A9w7D2Jb4ODfEeZywIOu0WXhhSvtJo=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tb8O2wh_P4Fa3rTHMxd8Zojdn63AuLt95Xe5iTSmNjQ65m6nBFEwOay6nG7hcLfVF4Pr26TnUrtUYng85DFnvasDJN8kiQ32O1MlDrYmW25HHXJKMCeMOOAHTsYHz87t2YwMpwqc0dtRgNq4wien0uvfKE6C5NInuWIRAdlw7jlQ=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tLHqmtkeV9k-Ip_4pl8HY4LA24rakm5VSi90ZYtkh5VIoyI0szdvZjWpl6HmI8vAFoSPH0Y_atPHAX2m71cU2L9lfTlC1ovQfLnKGrvIS3QVJ8627W7pVy9QZc8rcm7Cb-q4-coZBfelPjVXXIGfV4Ie_DAZjqGsl6Mzl8jBfs06wYxXzjDZS4B1K-tObQz3mOEUmaNRLG6_EgH69O4ifyq2K92g=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vh9zRUjTFRBsMsph6LeQ-m4kQM4OQ5JqmMgqln_W_wqxwt6MnB6b3PW4bmMk77VymaQFK8QDIjNBlOHstC3qQ-NRLaQQZj1dIe4NKWWvn4dp_3Wjp_mJ-v84EzWD1VECs0lJBS4SXV739h2QzGXUd1S3ZspII8kprdldFwUPxcD88eFJq5lduwYZT1Xb0rk739s37ENSd3JoR1BBxR_7mIV9nlrObBzOArbPrpSsl8DOv8wPNhu-YsVqSMR-MCblQctkBUYIAZSWx8-kriRIKOLw=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOw3NkvnHYYGHCYCffxpe0TPcVPCoW8WdjHcBjd_8qluWiE6RFadUkO_M3l6sfF8CdOqgI7ivxIjz-zw=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrUAGR-XykIZtUUzOucEFN4KN7B6h9vjMkMoSw1SDvvhlVK9fB9kYqti7nOGJuaqbLSrKkPZWJSFpXczrmmuKWbvKAlkJ0cMw2oi80bMUstzaNBosW1i0GWe87Wx4LW-9iTCnmF5ZvgKbn1C0bpdwt1D4oXwRABcbDPMygsiUvTgPL4NSw7IOJ2idfFe6iFBHVlJPIZlDmOULi-lLNklm5jsEegURErD-c_NmvQvHENDJ5SiiToXuiZLgZxMFBFdngrksWtfrVnqreI8M=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugsFmCIPNZFt5CmK-1Hm4ZbGvOw2fTB-L5HRdU9AbehlEX2sGY3M1uDRqTpDYYpKQUYL3wbsqSMZFEzeMZTm7qLGYB0LFyxy7agRBpe1mjd01E_TEmw5fez8PtCBkMow=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tcIaBD46RY3B8F_rT7ro2Ty594NIlgKBHkDuvl5lPSNQ42LOx-M0FAUW-nJhu_EqyrlyCzjW2vr0fyDCCPbAcgPeTc7zLcI8zLOfcsSCF2Aik6dXF0udiOK_AD1vw=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t-PQKbil-CM-X-6nr4cVsq9YkqsEPUThjYQDU9oJkBCYewFNuPp_wuZ5VkYwEtXkyEY6DY4cARjYG2rUCPJanPCf3BSXKAG26Y-1nkbA-nJDLBL-I-klURxIcIDQkQZRQCaDbxhzUz7YCruvKi1vLtnVH4zKhuAwswGVqLhIcGeDsatYpU15Pu2VfCIX093rNUTgCuKHUvpcbPPoUG4M99KrN0LqDOYeKa=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_saQ_0OJOxqgKiCHdkcHs_lyz3PJSc1ThZNRWV3tsZwfs8-j-aGWXSe-pgQNJ-QPxaw6GBYwp5RQrxb7fty=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !