Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHHNooFWCEG_Mnzg2y6JcKTeDaZ9aAS8fKlRR88D4Ymhy5mPv1D7se6YiU5mjF3ari_5BeCJ9hAOPuFa7misDSrpvsEjAowWkSK9llsu0m6f9y_wTniDkLFO6Edcsmzznzr57SHKGgq7BN1BF_3bpJFxYRea9FmLEhPrYf5Z9BAdjTke9SUclyiSxkaa9yN3L12hC2jRNOY5N6EWyYYMULAmP_hb9soYsReu9_UJk_5_cgQd0=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vp9npM37qBFUKGrmcGZyBfK9Pq644et6YcZAkKSEcvzDwQjFxvyQEZ6hzaoDdzLt_ShpNf4GGqwBYD5qXTcPxA0ixLup4Al5p598fIADdbMpHL7N5Vdx6yoVU0oLwJV0xs4sjnauCSIBZNUosafK1h4MPW3gHmclvj6vDq4N9u1pcAUPvNKH4CugbolSJxKsvkJ_0xaNJt21H6Q4qTGrq5mpr1_CNrXQ4aV8TiqeOmWS23tMc96bIpV3YYDpesjIg_=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfqli7T3K49gbfp5C9wPNrDwV1e6XJ4ChSF-EwEuzyWsa4UztgRGBm1P_1O5ku4at_9iHlSA68W3DAikJSjq7YjqFBAxU3Murer9cmpJzwPvdBs0phhk0ueN6So9ptG6PU6UKn9MmGI9f1uDnCC2VvoatKsg24l6L8ie4h2TRXkjoPn3d1z525EzFlgjLhu_TEbyWn=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sI3CcJnhdubKhQwkR9O01NzPB9oC9FvnIwvQHp6-t-kj8lEuFZ4zwTbxZsacxfcdn8HFkxCzBqkRvKXR4gWWP7J2LHLkh25JGKRv8sD9x1dwV_gX9mLcpL-W_HUIESzGMGBvUIfaZa5eCv7WMSxLMIrYjsGba92Ho7ANHrLhKZIP8HuKgxItwHcUwIXxQh2AgenBn23-c8WD8agji8Ak_1IeBXZufLp2x1Lp5JLUETwpg1KyequxGX8IQGtiM7unzaVNGFw-xdsO2whHpvYow776G6ZDFf3Wm3XnDUB-hKaOUELyBipdQLmuuazD61rhLUG-q10bZAQ9VWd2aOz-d9zZPKp1bwpbayBeUT8JIFm9XHpx_KVAI7Go0dSps=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ur7BJkKJPtcPwqEO9Wel7R5UPtjJNzevfRCtnY59QhEdn-KtNgs1xmpoNtYtoQroi04Skl14L1gb7TWR6oRyT5JSIk8lDL42dyqK0Qlfb1yFTmtiJIXXN4GhhJ-f6d03IVKgBlrZSwn18Baeo9IyNX5tZtdrNCm6g7XpQcD4UTI2Qmgw1XMc6RsYiypUtdMYeIP62LRcqSNMr1Kq3y28YopKEyUvMvEOBXSrLYglOnZg=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u8dwucKNaCqsCmZCt1yRhvuXrcHPqR7iHoGW_vML6bhQLeMy4Mu_aN4kniPG8AjtHHSWPFW8DRqHX4JzOUroNeUMX-mzxD16RD1wSOLWigmgQ9whHBzCP15KYzipTZ296kPFe_8cKBGgonhQhgwkMMXaKNGnPf55CFjJdN0VTkSm1jtrRvqABJJIhVvQ=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vODM5UB2RnJQLqNKJCqDMttPffliB3r5-K7SZZqRmtldsZf3qjxmzJx8eW4mxL_Khv0MbkTWsBLUd0VolBVck_xukNIS_uDHON2tBESnLCUJAuACq8LlRwDQ-IuecTPXgD7HFphaI09eDAVQDp=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uqSWhpAVgJ32BrFIRzqg5fqeHZjLPyQ66EN1pZaXlhznIqrhRODwrvzKPAjqQrGqLt2eXLHdurVgKT5motAl1ZQ1L5gTCCSSdHkoRQ2RVVG0VyXg=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQGw-fGYNFr9ONEiFmf_rRQGIUbclUQrxCBQLW-sZHPyYKpHFUa_7pds9MrHYcYW36YBwhEpXoeud_zM46ttQHF6wvVq6pL_4ux2qlLJoh5t_HUr70fGZEPdzg09wp2lqvEj628mOLHCW75VGDKT7Zog7AylkkghxVuG92oZiCU8So4S7u=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTvaZxSvGC1MkYxtg325Hdt5y69qYFtLb2-FmwZmGO6F_--OxeIfUjnQ5wk3B4jmNa2_fEoSYxERuGuLC8BPuc9ejXa49F41cX9lOLx1qiQmFcwmMA5BF2ggLJx4kgFtjxIIq6JDsGaBG51MV0mgDN5GDeCMn6cOyH-3MKQSKpOgSWxRFaJRa-AoYpVs7EHxA9o7exy4_Vva6UH0OED_5navhQTkHSsz1Kxjp3TufLp7A60A=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uiaNymeyDwJO9tYDm4Y5y5nnRvE63K1hx0WMTeOQe3ai5a5BmijS72EldJ0bE2Ps2L8fiBNv6S8dHhj4MRkuVxmdwHGcE9YA=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tnbEIrgqA4W9tlDTIOkQtmpBvMFEpIvzv8yPAymBW87_O9w4ObozMNj8kIfGXBcWoYLaZuFtnVUmIEqJUn4vQbuTgJphGt-zQg45Sgew=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vqW5dtvXbZ5FxRr4R_Nl8loKp5DsNTwnCIaLYPB7cmgaKBlNGs4t3AQRM7jEonZhEpv0hrlU3Ycjl0wseI9jFnnmQKM0fY3jLoOcrMGj-7oi0X1UAigpLG90-6CgBdug9HW2Zcfk7HBRiuSH8=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPZmPg9IcuIj0GMOhgyOeaONaguQSw7m9_bk6SjUPjC0Tml_vY2rQdIuHpO0UwvCsjtEaHLkGpJVVHIJxSt-QZOyS_5PuH80gB4kOSxI7s5gT2TR-bDqA3-KWj7trSONVgFLBiN37EYselyVUmdsGDYp00TXcJZiqpdMBsHZ1757Gui1AXFrYWcRxiQl-qpTnZQ47jsp8PTHtjqE5CMVLMnMGNfE9ZrKu--tP9qBKhLlD8EI2TtfEabGd1YEk72Xpr78kk0OM8zK6gx05vnJNgtu83HQh4BQ=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shXRozhkc1cQBiTO9TkFbJ-JaZhg2rFrVa2yzyfIL7jRQ4rKJvRORmrOZrkYSL7r1qrxn_t46ZwxOtm4ckKh9NoyIo8A2jGcK5Yv81YpPkVaRDJenbxvuUIbneZm-nYYNAZW3t3Vz-vp4RUA=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0mg9gKmpKDgRKbkMnPsn7GjU0FTYQ6qGxltFVEgPyGAnseMFzZtFhzt1IGM7nEw06eD9K383ZKGarWViyFCOWrc7igjB-CajsGWCk93VhzHN75QY=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s6ZrTNHvawpbOux7lVcr9sEaVkOvyNAPG_Yqb5MRaFg2dgwlGYadrRFk2IrSAhMkTEyqefydJl5UOyEgn4gaiD6GSb6Y9O3R4jVVnh46zLXduziDXU3zgjwrS5MpY=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uuearfowN21dzO0npR_HZlw7aiZ6W5D_nQfnKH8Xl0fUB16xmROCjq4EDp1ZEAYqi1uKU0spUiDuiCyPnNggw2wAcMHAqdZI5ZkpSnNQM3=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v6R7uN9-pLAHysO-2kwuP-ZY33na7Ym1OPE7Nnyu_BXFzWCdrqv7wkoYfFNbTVcipWBXXTB6-o2KwHEg0VP7snPxxOkie3xjC2aqdwjGNko82LJkz9ZTbPLEGamtiSwFidThMI3hPxiF_ZIZbte6vve8JafGgBDyMW=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4nRKvJ0WWuHVTuJwyExrxhfEuZYzKGsm9TT12h5aJiEPsfAE8NIoHiho088PygboGhYSY_pfmfBsGZWw=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQAkOBj9ahQRduiPqfwxpZTC_nVzgklkKMzU5VB9xUcqH4Gl9ijGmHP9FZkYL3cs6Bqy3T4pVymFLXi74jZgwVGkHvj1wU0L7HcS2AprECbjEfWRAF_iVYx899qBjnv2b_-IahX-SXfA736-Zo=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMTXamoCB3XFbWqFhCN7OW6vemfJIymPWtC6GrHTK2jMOMdeZq4JffcE_JEhpDCIAwSFzmJtsBcDEo_d36=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzeH4ubj8LReATTtvUZFmZsbGyezhhViMNtOBkbHanI2I8ch2lzp1IQjz9iVThphF41d89FTK8KKO4IOzIQ7P9uNNOJytO3riruJPEvKfXigBXnY3k34ayqzM4-uUX_hOdKu6dBBogGYwmQPsOazQ=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uznJbIQoWSmgFbfPzMHo92GLvsP4HwAnlq8j9ExwOcU0Kz8vZz1pHn8rBPMLuM18J9Xg1n3TaQs60ca-E-N4hsgCmk2_K7PcYEZ3eMqItC8cUvXSjYKZgRZan22kSGsw42LGbakrIrnZc_GhNijHU-su24r10fEMkbutx198APOA=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJfTkQhQ-fkxIcylz04ml3WcT8siaoTrrD4YlPFOezFL1eZ2CSaQh6PWjidnsZWBaM8MtTwcQTtr8-a2_0LfW4s9DN--sD8_jFjhXxiZHuCyHFUpNyZuXEIFW2iCJaZvhvD75Apj_rq2Ym73A7Yp6S_9drg2c4darUPTdufewI_hWpYux5u_UuVFYdcapVkE6TlnJFC0ZSejT4JozxS4zH6fizaw=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smr6ihlHr4vSgq2DthDLmsz19ojYjbZm_LgQIS8waCEBicX0IB5vpGRuJMlnP9lyhVFFLf_eqscxvY7TbtrglUKTr82nvXGkvPjyoAlce8Tw09wTeLJ2L3ulIOnMhccCvM355hLvZgTTnycw-tpAX1kjdqFHAW1ShYxQ4IhKreNDyW30aoEUKCo1VeE88a0PXx7LIdFtzLSUK__wVwz4fqbbS99CinBfRD-rCUKxF0GUuDXNZiJL9ObgAja4N0zJG-uHS2NrclXvkAZT9pmzHZiw=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uM-JkPcnQ1YtVw-7Jxy-1TbauzRaMfIRQyqdlW57_vX_HA5sEwsuRwG08y3jKkz632nfZyowg_xr-x5Q=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tC5fpojxIJ9x5VF1KujNaFW6ccPtSa4UHMPatSRZChwbS2ME8TqlRaazGBKOLE8hbAmzaKnLyN_1F5dfiie-dupvg306PUM9k0Ot1dt2CRX5ODJv98iAw8MrvIAfj91AS2tjytjP7ZWfvFTURertbXLNViRbzU2PDJKHNYvio-dsyEvQA9wMLoq4brZPCgaPebButSoiRquC_ZO0zqvSeJNk6wQvNKnKUmzyFP8BnEiTy-fMuiE7orst0fmgoQlAeiVdi9OG8rqQjLm48=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v0ZxG6O7F4Ldz02jNhliM1NDm68C5KQWbBCfgoiOJ_YF25Y4XXM7zTKad7oGXhGbTim1AfTBGEHFInl1RUxJ9D8B0-m6HaLghWSmA1RESTiHAlG6MK6kP_PexlwXYaWg=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tvBhecBpHouhhs1JXH7fuy4y4CeWXcMZci3nR9w7BNz4GlIU1LuN2taFrcoCmzLKg2OSsHUl8zzya0cqDJnWKKR_7udqAzgY7voYQRhzXPjLNEh0oqsaGn6G7zllc=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trpb01KG1_XKWw3UrNCAwIprCWfsCeDEOf6ZLm2eC75eAaXNLlYDAZluXMofklzmNLPMq3oT6dFP4aKMbZ3F_u1coqq3hWx3cww6c4sQawKcF9cskqD2Scnz2VOejiC6XEdtXa47iyATjSxLwN3cxBQwgtLSosZmq3HMfw1jsfqY9jXW_jM8n74f3iXe20Aju-hwfsWgIdrayHnqZ1Khhg2gLsUA-2Sop9=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t01qfeHqdyPp3fcybMVjN1zrkpa9fvyfEY3G4gtWk1_0ykzerJj4R9q6BFFlffO6fif-jMAL3er0zqaOQQ=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !