Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vq8BJt9KvpJ-x7qligOshtYfPdX_8xkFu9UFLVtcDqGbIX-ViEOq7Xq_eq2ZGu150yzUK8ym7HEB6auEJjTg9irVwHjeisnh7FXePBfksL_BoQ04S6530iWU-nyQKy69bCAFp2ry_r0lCpqRw5kV-MoHmZ6F3fkcGBkUx7XuL_UFzgUmk1v3Lp0F8cZyNaVXtwO8n5n4wihIZGl-rGgJkafb9_oNZqhA6qe0MPcrRd0-dMCR0=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tuRcURk1y8KtLbvQy2-KzTm1zjUnD7ShCgyDq9dW1gbPJWFWD5LJf4clHskrgflmCiq-5SHbOuXzSCpckqDWvsl7MDRcbp1cF7GlgzslT685yw-jOZIwfiDuGBN10jauqjXwZy30qLgrAkjbTt-anqNz3iJgaqgFtSYg3PqaTVcko3YEtNQRP2gEUzP4rPUIHO7kD6HwI6qH5Z9z-fl3FUHggUrjKGX4Hh4k1L06EU2zIMJfJTJuoHyoJFsP3ktpGs=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snusah5pk_05vzNW1smO2vysd5PQ0JUlOrEAoQ_GA-SSLjd1RfamFxvxGm0_bIjbjrjNLJ3PxCDyxvORRri7kSssEw2oi9Tx3ch8OHt0kHZx8dNDXlbIDA0YaUQt3WWx5tdpnWuFjxkZaobKWrTYdxuOEdZTwe_aey3mhrMhqeapGYWUNmyYmMQiZt01aDt_0Vydah=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTurwK4uuqaWr6UuAja_AFXNrZ9mYLbpKv1j_0Az219A4E9-ty9E5a0tajTV2jTUE_Qr2LBhuftooWqh5Vxa3sLyYY-YXtR3k8rvmFiazU0hrliW5B2hcymT5Lt7nW6Y_zF1_HfQPLrH24iTS8Fk03kBUPNUAaaPgPqEEZOIBGlXgNkYaDzOLnFrTNcUUL-blv-pvmkqtqgF-kWt697W1TdNhJ59dM_56AR_je-Fymq8XU75kpQw4EiUwchlxCT7INWahWoHi8epmcB_sqVdgiJ_D30E3BjX72ILu8sK5OhYqfTOKOhNsCik7NCeNtTWJteY_B0FU6fnT1Ky5ityzna5Tz6BEMmVsUHbA0TEI52MSeFI6axbb3GGM6e2M=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sKhcXrGC4FtfENVOrE2fx380mikXoxN2A6EpC6j1T4zxKzPs_SkPrz4-qfDv0k6SxnlFUiEx8CUXuNB1-oiUMf8XcVB__8M-ukdgoOVTOLH-gncdiR1Z18A6zSTW087_QZFf82Eh2lCpjEsYW_f_YwsnB3sW4BpJkdSAzp4hnmMjEzYiWOTnSjKbmiqnP2TiDMpjO2v-h29NT4_8LZ5_-dC9hIMjgftbL2UYn3zT9TXA=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v586HZUnLrhoh_wAst-NhHa-e3vp7bB3dtVIkTTVjJqoWqk-7EkbWG2t1ClG-jP7r3A9wv-0i0cziWtawnBDYDpVlamAAi6CuigHNcSzzS5k56GIFD_jmH9zgPVHK-gBR1AKBBwaZcxgdb0kC3qwoF-BNXQ4Po9eHMkF_0ww3HySl_gD7D01-Z7OmyiA=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vckucoGrrKBLRw5ix76oEKpOkW6UVJaTVEA_jI-LWUHds1gT0MkobgSbnO7wbw0NPmKeTstF-Uj7dtxzfZzMnicKUxE0Xm0mgg5c2U5wd-CVKdNMryKdFsV8D4NZkUbe_h6gEI3gZ5b9rbZo6w=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_timmjmMW8VRipp-rzqq2mWOCWWeKgdnnh1M6S4QFu-0TDLwFHaC77tDU28gXJiuSxsXDwt5EjKWJLlXsf5NVXJ7bG7CgO4F9PR2s1RJX2EXx8izw=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaWKt8Ogad6lKiFfwijykS-gZwgdKISW8fKXeA56pKzThnqZT6XaChzU84LuVT83szqHt8Eyt6P34L2djtOE474j-O6OMhu-4l9olKwUCkyCRPCxRSVo4cuYoJYjPx5RHRV2M4CQlE_myWWDZwlBNhu3pbw_gD5KKPjsC15wX4mb631pO4=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uk1JnHhYJhvIHNbRIZgWnUH3tPNQpeHiVFoki0MYcZ4iiaIG0B2N7steWhiScsPgWgL8M1DIiJS6EkbSfZGaByJuk0VQ0rZzbjRt8GsHfkOANwW9-bOPjK7bfDMMK97GSD4H2h-svNXkGTOWSavPpQ4oGzOvN0ADoPf4k7gmO833nF8kkePDralZrxjf1RycPjpYyfZ5lCUqoxFnFc8kUvZP-56EsOQ54g8dEFgeOeFRHmxA=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vC9jFCq0HveZux-K3bvW6J_-a2lwqrwcsnUXpZ_3Qcgo2RBc36rwODJgiJh4-ojewjQnpma7G3BDrjbbvX792tCKzu--tLWA=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tmYHfqRiZt4zcsMHjX2F3vHftg33BDoLpefiu7e1kkcv1ct8wz3vyLBQl3m1e3aeM_mvUIiUlb-1tFfpUoM00k_N1Jtf2LfPekvlqJtg=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0NvwEV4rsPXfg9TAu7m0DZt2G-2RPV8H07BeM8rLMkULbScPVs5cP0drSKrkVSmSopG8aNmOW70RUiTgK8DofEs-X6wLETs_JJt1kNDf6sQLlF1gtQKK4AhiS6JdjRNQn3Bwli3WojPCjHDY=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uFZLuLyxCClZuMf6djqWe-MnS5oWSwOZ3OL54oZGwu3WCo_as2voiDzJ2qudEZcWp1VQbGUEmpmytz2ss-k_kAzOq3uSpQXGW6-BBTCAvJxWtV1j8lVJ20q98CMoUaJLcAhPfgEd7PzK5YBDugBDL6oAY-i9w0RrfQLj4_hfjqti08oJp7nDd4FGiPkF-5nISBHU2SuPIJPotxwHI2MQoNCSisB-1uzfgOQSYYuroVrdm_cZxxvFmXc5BmjUDs4E6fSJ0FljwMsTtBkcHWZeYVqBYLa9Dhgg=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vVHT6y8_ukxd48Oh4qNRKjbzzb3IAhTJfdl57CIxcE2_ShTdK2gq-oIZjgymaPEQBtIOxT-1DjL8yy0Bk-WlowuuxTC-9ogGpys49AE0jUwYID3WSrc3hUf2VBo5M9OiF1ADohRo_WMZVL5w=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tP3_Y1tTryqE5qdCnEnBAPcLFO4pofG0_yI5rmpi-sazm_3ilKbv0sPLDam5-idDGR1ZqWeRp4n4AHl0i7c49ocRWn8N0SLykdLHKBWmoFtYmWkRQ=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uiAmZDetnS-o6J2TK-LbYLCpD3yUr4E8rsCFqAqWDJtKHgHCM5V8n9YaiNG7zJBT4iS1YzesoaAJMnYBxR-n4MMkuykyghJO-kFCZLlBZrnhmOqfY2IIy9R-Xp4NQ=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbKgqURDZs34oY1Pn89NgClensaaa-9yLf2DSs1JD0UCkQR99riPJFEkH4NOtnRQMaDoaS46Lc0vwdzHIzKiuBEmIh87O3qPa2muAxvcFs=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sTVrBrYkGL-f4p3LRgy_Fihe41XIAgqnXf-hU9Y63hVKgsRJ1bumshPOoYOnsaJ7sQDJcyMzX1tKBORvM6oFXUAQ9cy3EAM292BxWkvcxAZjFJOkWtWcgAklQvuAnugzmPnzltrV0QowojbYwC5FvaG7xPHg_0qiZs=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_utxaKvmKbe5IwbHajNIMjO2xYQjxHJXNux0fedI38HAdn_NeIcxQBYcVn-u6HBiHROZTsAYBCyHBxxu8Q=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tNUkcmk6xPdhJGZFBHckzBIF5Ugk1w0BCB0AKCJmpbETWozc9IIFVseFbK15W-dbdZUgkwAbpNig3jxIrWM7Z-o5_n7et8DaztSRj2h4v3VaOUEM1-esmSqV07LjGZeIRWKcKDBduTSUI0WWFO=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tlXa-Pzhuhu86Lg3YJ2MZJnunFrLSMaQCTx2H0cYnJkId0nj9xi6OjXGb1MI_7mrYL85TpupxElEZo2sfO=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vOb19DF6VPrsDIv6Tlm4JzA3K_jo_iL80ED4tTFkzFZej1dMkQ7eJh88aDaYmDBiYSeDGkQzUX4Ej0D4Ao9QM420RMHZQtAeDpIQg1BlYiEIO_y9Lq0shh0GF2bEsmFZoPvkU-5MH0H0F3Q6-5OMA=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2gezeCIsOay-6H_v28Vram83GTadkoPIclj6paSEofU450yMY7ScWDDpJStEQMwl5S5Y4Z8o__IqfL3Uy9aJhCCXsvGbMCjLI9cosfB1E0DOPX1pXdqmn5uZFX4Ifo4KI6tpvJYXgOaq2VdhdS9LvoC24JyOizIB8JTpit_LT9w=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u87TtjvIwYIzeszbNX8lOQDsCdM9YbX8T9wo2-pb81dxAG-QpJUjCw1jgYVDHHI8n85jHxSiQleMDY_ytZebprMQZJaEFcrRJE2PEMb9Yppjp5w2b0AotTAIBwXv-gG-YmNoYLtoCjQqOOiR48IGqJVGOnJnoZBh-B0q-2V8LBT8wg4w-GTIknWm_b_L-eI965CxLH03slBafu3pIKVhYOFN6B0g=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s56HY0xBqZBvLffzk7sOiHpvWw103OYxHKwDuQYpQjS02nTYeZ1mkvcT3dY3bJJLd88h9TIxTlvBp6Uy4wo1Ku7rt9d0A1xmFCl_ZESqlF9mvZqfa7TmiZQcBZzqRW2cMRVCYGZxo4ol0HiIq940pQWlRhPQS90R8FE-DePGZokiKadNRce45SiFvP_duY7p1Yy4JPjyeUUjT3d1E_lfW2mq_4E1ubnqNFJhBW2mm2QO0Xd2lUc391BOp2f07dHR7mOmeNnMTD0Qs4Oa5n3H7NVg=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v08sNv8VHaoiegWaZGScLdOdHBXNu2Nafpi4auT2ogM9C1JC6lmK8nP3ERQVuKyRCwaQh0kZdqrpaslQ=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s0R8aGWBNE-vtERY3qWG-qW77IElgt9KFgt5liREJbiRG7WcV5xxm1AGJOlSGiKONpFPHbNb4C-jX3L5XO9pgdoGOgTmSOKIWaYgOw496ctY8uF5vOBFBqWHIi2YuZZtZ0TpQ9GoBJEGadYkCRNNxpzzb8_-MYv4odbA2lzZnEF-T0kE-QSK-rY6J7Yw7hvnlMxiV9QeP55fR0V9IPKJkLPSo0LnxB19SyPgm2rFPkAMAvjGj1xKwxkwt16criU7vdV2P33ZORBiBKFpw=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1lr4iCqFokcCf2LLMYQrgx95Pwpq8ltL7BZW_3fyP4-x-Q3kjoS1hh_1GvHSlAtUVyXPR_pLsASEdA7xNhoD0b-9mnL18qyUBUJjwbswSwfIgYc9YazKBmTbroPpDFQ=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vuzZGtQLADi4HGRe8xLCaYuh6mEEyr73Fk5Q6Eay26oo80xChv9vLH-Q6z0R5rFIEQR_ZhtP6hIhUFtMxTSC9CqAeLCWjqG5VFmhLgQwRvKX_sV88VQ0prrAdwrz8=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4YUdmuKIPOgms0HtQyP-YTLXk2Sai5bMs0OEOl_oo7D0CfJkf9deQPikjVy2OKlQnCKvS6IdVWj-5o-fwV4dGpRF49BvPJg83-kiHWfX2zlH2Im036xOcv0g9AchA42SDylIXGPso4SAYfHQV5_jNUQb137IE7TkTPXz8FTqkZF3PhGk4FX4oCqSX7x6oTqZfbcO9qgBmb93OPEepwd0g4lqvfqN-oug9=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxABkEKSW6HqV46v5Fi6am9Bo68WHX3xqmpxVztKg2z8pHzYYhW6z0fNmIrTRcM4k9sPXXKw7jdvZ9D5zZ=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !