Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5x-6t8bQyTIEYckDjW_vs1dJia08Nzs-La38VRBQo4Ob_eGbRAP9lAmQkGikHX8Rl53AWWQKfvmb1wmWI6MXUGTSGPg-5pgqqArwsasJcrb9Ucq4VhWf5oQSSJOmk5hnUYfGjfP1MF9RgqwQhUXWIV5xzXC34CX6WcTdTG840CwOOZQYoVeBLHnFHgUH2p_792b_wV9vIzcY32FjbnZmT2we7Mn8T-C9jYIE6N5596zj0r_Y=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tW9xA7WtFJZQ1AzKGoYmaq8egDho7ijRMcGmnhn8rGLKmDwXaul040Ci_gcRsxrqkhGjIaWvbGN1IHXwr5V4yIBuNd3S7TpjMvFzUsbI3nEEfzv-EFTjc8ytjv9pRusQmu3uP54ID924JJGseRHrgQ4wdS44sfXbU5YhjygrJ1ObLLarAx79BoCFZk9foLK97NrhJJe6ZrFxOBRmv3Mxm99QIJedWWvoI2yTrChiWSBPJ0J30dHFZ5eJoOrrK9D2Xo=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vNhlLJmz1BXdgpVv-sEI7VWiBlTHt1sRQdduBomrgIow_2yM_NET_Nb7GDe9Fw2w3ywUD8xdBPJE6A8x3VzJpteRMvcMVHPD0GwNzgAHYULE9bGY2rkAXS7hlJyFnxTek5em3Vzj8QUewtLicpSVpXa6h7lBPBitdiQjYldler4g66-dEzdSdLkw8db34wz7zIfbGG=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXaFs13iCMSk0ub3ASxQIP9suvfdOKZr3dcivPEsQMC_PM3nGnwR4mkMmZ1CXiDEzobOX6gA5QJjBTOecqqPnBRr7E-tSFXWN3c5BysXcVBP3cGme95Pg-j7R07JJtJhksHYnSQ89nAAupov4yffPsRyhcwSONdrzS2ZNj40lTz59h8VsjU0EhDcG2n723S4RjLTMA1_sv4xnC4yRJZvGImot7ox6Ss00KafMqAAdOSXmN2CYztKwhURyIj6rpBC_WVZX7HTO7HbaEf3qvJYxnkGiGSPNjNWtVZo8rNiOdON5ezKlUry8i2dklL4yMIMJh-ZnOPXhJ1qieIP4UdauGUhwgeeaNXRN9Kx-GJeZMlUyW9cLenySXo2v7Fkw=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scxZhjHvihcmeLhhCbSm20sVpiApPJ6pzC441M5ao_GjQgheoyqlXIhHDF8c8fsqu25EaxR9O99oqZ5xfRJxu-G7SBcpLlR68dcGIOPXtLMVcrYhtDIiyar9MmFI4j1lEgLJWlUY5fr13ULCr2xQJQZ_vC9bywqahsmbA_zFS-omI0ckko8-1sVAvMnO0UNYt-lZdil0JQfSnZbfWNOnZU8eD9q-jsz8_pOR9XWRRPig=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uDw1QXZi_H3Ik7mX-MBQ_2hHYfiNch-dGWAS4t34aaaXcUoDsoznR_xLyExVOASlNswFCFOo7wukTvixnY23UEpJgiK_exY3TfTfLZjY01wujAXVaVdjekQoROje_ZqR3QeBGSxsbboBpw5KxNlZ6K_Jcd8tFTdgaDYYybXYLnZsEdmVps88WFdawtMQ=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uL76PzJZ2F8K83TEdlcoSphZ5U62zfcxXSPPMUbt_x7JgkKJddMo8JlfxjC-hZFLFPJHuEG8fLw_9b1wWrIiuqg2M-RdzUaBrqG_xwbruRex9RZi4afDaGKtEr-AyvKpIiUxxPX6iWd2x8qzNK=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_veMRFIGTIoCiz8IIFt8r--00QlVWHnjoXyI6379pR7IZY3Xx7kT1M9MQGxaALamf6L86BM-l5LObAje-qCesIpnP86skxZ9TytA4-LhZKpTGpLNg=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uevpnOvouu0tkwUePPZoGEF75l_dxkKgqMyGspM4hOLcyhWD0innbSQHD-YYwSV8eibgvKegJQTFQs0cAftdZWlunUSF8W44CcNinkWQKcJpVswy2O3udVARwRVCsEEgKL-QBB6riijIwRCS3-jcvCmLNKUb0RVl8a3hbj-rOW-GeEvhFk=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sEzkQB261UTj3lD2q8INT4LtWkgtSrzq_GAO_rXu8YU0XYdRq8MgWGJUM-vEzxOf6oqeMZfga1WydMYJy6H2Gw6296PIRpv49NrH8K9YUWKmwV6I_Tsf7vC6SUi2YaZm_wMABxhXrefkf_TokOOgySygevN6V7TiejWS9pMd_j0wtxwTnVrO6K4sDS6FD9yy4oNIweLDuLiizSb8hdZu4g0ET7wniz-SKnqPJmDFfsTKKB-w=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vX17ruiizEG3SodcItVy7_shYt5iDsO79kj5cUKQE-5QgQVWaa9wwt1bY3QOCJvGG9DrQvIIxvA61ftM7qtsTmBodU4yilaA=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uN15mV4-2YKmGB5JLD5_EpQOJSR9EImZ-i08MEb5mzsnolTppzMoeZDN8JcFAozYolLJOVu14kI16cCqQsVLFmaJPf1Qu_YXuCYBv60w=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t95GmLSVgqqEcpEEH3vqA2RUgASpQ3vUu65CvdFn79nmNiKzS2WXknpYxDWpFObKnSEup80GQ8xDOYrdL7Hz_5W_LdPTKGHEx0O0Kz7ztdUXI36VGP5xsGGHSzjhe3EsZUq4Z0e-GlH6mDoCE=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sn7wKXMaBaQQ4MI3_IV2Y-jidaD7IYY_w-nEWJ5H7tDTOIpZNbRynj8tPqzMwPTkzww9XWK8NjSCTnZoY9EajcDkW3oFVcl6MlGxCHi1oU4r041HkXTBcRW8R80d4ULRoUBbvDUj2haGL0CC7oGn2tozvfJYgkiGVi6wjhswZHYkQaZsk2935MOUJQGKRrtu8saDCy9JZJ9q7ruGyEc7bRMMJ8uGFesnzl0MktK-dv9CN71uOtAiwHuZxuyu3apUkEvuPEDlljNYZjc2UThaBUUXylJwCVBw=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYSZ91TiHEb-EenS0AgpEh85k2ugEAHYKpoK3177_I6Uv2iwxlv1wKb1knfULqFZTnn9QHUunc11Y5455OK1BpgWObpm_Quh6ovVyWiXLffcKDc-TlGW46sbWUNgQ80Oj2glXmZ4Ckm3BQGQ=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0rJcShVdnL8CZ2Mfo652qLVZF7tjW2xwAPqSfKkKOsSrrUlq3l9JlNLTdjQfw1Cm_j4gh7RpASwigPkuudPHCnZ0F7UfU5oG5W_svrTeoB69UvL0=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uX5wOKdnUDX78jiCPq-koZHBCThpWQOQtYwyn7WDo9dRUWxla8qiuqyP14lTFfQl50G6S8ScQ-6IuExjgAApMfI_EhdvcBZtQZ_vnBrOhvq4blTKLUbRPqG5XwGr8=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vGtTsd8Ws6vy4QlI8bnSz15y0Do-ooMqt2btSJJZUyrfYHmHngM4VDMWomnBc0-jN18a1lTjpcA6d_WgSxec5sjrJv8qT2pIvLOQAOblvp=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMIlCMBfnLcbDVLeSjXAtAIgVjOaLbppVSSX7DNE60REWodjnoUC_Cz4_xSi4NUh3LgcradvDKDlfX8612KKJU8E2iyvVDX-J_MWAw44KQlZmYCE-RWuxlb1XW4RdDUniJQ_i1n2FDfPlx8Xspa-YhogDCDZgOishI=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vxhNdsod8EXrv71xkbIdgYip58t1aoOojyCipkUkix5-dVbLeQyk4uI7OGJSZz8Rz0qLZNx0y_hrEqx28=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smAl07dIkB3Aptn0_5hViVm4kloI7QcS1R6UOmoyEnpMnTDJMPUjLinwUfsLmWM3YYniinm5gKTztoc1IVdEPm43mkIv9hnKg3IByPEJ657KsJJMdhNFdKPXZ-4qLCOBpE2X7l2bJmATJgo4AW=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uqSxE_Z-4b-FrfHuuvA7C0kl9PuYD2-ro9XNxgEkbn5gaXOVf1IAqqRTVU5eGnssm8i50HtPRkxOA2Ennb=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uS90QL7pzcQOtxe-lBdEFI8KrEdRSSKdqGqfcrFb94fQiuQxH0LGIOWZ7bWdsd_YAwA3CCibjwHorO8JznKgtp1bs70LqE58XqX1w5fpC7UtrMn5uO50Dr3b1GVAaIgvkRr4rmhrDP08BhwIXASVg=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s8vNwXml02BhujNc_88xUo5NwkjdIHd1JUMR6qiIfS6dkf67i-sy2-eqldtohTcxeM2eQtqTOesjaobhMBum2DujqP_TJ7hS3vvF6JvyKdlQ9OHuf2GkLCN3QHv_ppNasLhua4TwuhKculJOF43ekz6oZfBofNDt16ZktS6mxcUw=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sqrsxAK_j2Lj1J1nA1e6Uf-99AUpC5ZECNdQE5SBvu3nmPdu7iqRvoan0LnzANSQeenRvm81jDY21oartXPd8aMUn09vkzbfsTmzN4Vv9cWSzSkvuLVH9uxpHttebfLhs9he5v-4iplA-Wbgd6IkMI0K1URPRshHN0u6D98mn-pe-N0kqg2xhct29YE46wcFg9DS5x_gvCmAdI7R2y-5el6EIzXA=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOR_Ivmjz5ICKq8dFF6-a2hLgYGffciVTcLOuyToy-Xx44FjKzAE-QJZT76ktxybhGBTKeJcijap4Y1J8pejUXvKQ5y4Jqtdr4JUO0opoOEJPFSsNkvkSQ_AJK3-iDKS7LipuWw6J09rXcoNzPGznxDos_bSzBri9e-zotQBdi5tuBiJ03HVChDhuhYTZ03FG_BBPulmisRfnh8m7zSlgK5HdgffRs7BBP54B1Y5yx_4jmj4P1mY7HjGjZvjTXLkBW9BFjmv9lK9ZIvClWrs5kMg=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQ3oPskutSwp5enk-hRpgBaNK0ar7WIk6YvXFjdOc02MvKoUhTRq_mMI84cpzwzkOPaPa3LH4ysn8OAA=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaMaAXHLN22xjCZenkpwfj96DaL73zOjeVcBQLbqdMOSOqSkr_6GcUcNMCkdQKVdmkdZ4Hu3_lZlLnKPQuG2A31nsNmn95rOR9-OmBBe28Xea92xRtBPQUgGMsjIIBGt8eUm3gcAbtDSEABkoKqIeAj44jBUStaKVmyXUwIgDvS3O3XWvazHPe_bscOdWoiWtNfwGONYzsfGm0i07K-P5oDwMOb0QgFW9NyqdbtJR79q_IqoM3hNk-L6t0UkQALrYHcBtdhu9lt7pUPJY=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMyD5Xg80PFcHaumnxLYPPobVOmOWJctWcAB8zi8SFoy1iFI89EWCQyeGe8JyANchicHYimwwJ_otscjOCQmm_HHthKWsDGm6rR5v9I54LlE_rbW8y2dCyg3qgcew9bQ=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ta0oZMtH51lzGuipc12VkTpXytcGSAmg3vpGEE8UU2h1k1pErj23Vh1T3w2hhz9NtmHs9CCYFr9858KrTLyqpFdtlo-q3BaAqjng2hrxNK2DIWABozCgdfOEsmnp8=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1AnRY-8E1wUuQTFE5jVomVU_acj0pi7AWFuGSSA9MgB5KWowODFTicjkCQYMP8Lylyn2Ugjbr48m4UglBGRYlf5FnC5_1y5erMACgjqZ10DQ-ADFnK65yCUDREsAr3EFRvJBzvbzrg24zoAbD0M7X3FmEc9gnuOhWaVAmFxCG6l2TTlf9sA2_1-Cwi3uWzuNvePTo-3WJY4mvaezMLzST0oMWgvqlXo60=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uwJf_eovmRnIVC8nslKlAGx3nhILuFNszWmF0gKCgUDKehpXKVfCJZAjfrpOTUF5XM18BRJph72DYP2HF0=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !