Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTGeShM5p6ScMQoQNYv_7-lSSYQ1bycXvEowHug4OR0Gv4zONvMQ2aeYDDxw8_184WZ3A-oz_nQnwnJh2iiKOgyYAv4jPdj1WGS5yc7-lqOQTYNou-nEWp5oLE4nrGRzdk3hjkDLrukXj6aOykgIqOtZt-22zvwFkubqss-RXnqYdOoKYKiqfD9WDSfR2RJ6dWZ03M5N-CoDUnGNa0-Nu8Gk-kFQqby4j8m6WSB5zTkStMs-E=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXcH-ovejHNbKOjnEwevo42U0O-OY5dxeSnwI_vxKTL9rfDtEHKJBbeQxjY_ZYCdr-9POisXMfMxakD_kujtUdO4VEX9N209eJCXn8K1UfPXsx_AgDIZ_ZB7C93rFMn4e5OLDfKa25uWpE5Lm5XIQyKxhRKC5yzru7ZLvWzSkZrVMZN_D5HhhCM3xEA6HNMXx4_wbQbpsTZBb1V_-v39URM75WLG42Dh0NoGoAXfOIVhuc9szeh2V-ZJXLeljCyMqK=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-jGaU4w4c3hYieOHmPfooU4B9sMnMhKftR3krTY9oPDXmhvQycFBCEPU9fZhajnmavMstBgG6N_NuZ7hniDXyc3orlzbTb49Htepj5-uRZvI-ELesa7IoqU4MIwQaAxB0bIGvOSR4MZD1_qeA0FGMQoTppG7poF5qXUiZOgHotsV-Ru6TOaaKxurwprl9qPUCIgwW=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uhOPUI6E53Sf9ezR72Ol_b0679XTT3wbGFizgulsQqlmK_n1guUYzWy6PAhBvI2vOvbfqir_PbnwSbk5M5ZKr0jMguN9RxNE4g_hqfgkLvX0wVENZNFTM2g20EoANdJ-kTvfg7c_AU7XpyUx5uCzyVsqBZYPeU9MdfDZGviL-qugjlA6wsOQE5Jv9siMWZrN6AiSmsNYI3dutRRg6t4v3F2QGADfcAuoyoOoAfYX12TLqTHKM3IsftAsDAUAx2_34C7TjIesTY9BG_l031EZcrrtnOjMk3gQb20XxkHjFCHdPeSaIXnqFo_adCNJfUZzjzWhc1ipJmoQk6p82MzbaJ0VnbpqW8pcKX1kOpKlvi4UR1nML_kUrjB7DZ5Xo=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sp_RSIifvseUKTfBewIfRb89SbSnh-XI9knrf3Uf8wO1bFumlrk7l5wUdCmcUwc0A5A0S0Hz26dLacBAxLY6R6n_-KhE5MQea197EbK1hnAEI1Mb2H3yBQnFaFUk9rT1liNVN8rDmkLDnTnql0lfpt2fh_XYAj6HZ9T9Y12ePZKu51bunC34cJg7QiWTboKhHvIkb3P_tr2VBjAszgcW6KYqOCb26wcL1kF9jX45nJhg=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQYDV5tuQyAmJe7Ws6quoj6JdCii_SKyy0niFTsHmo85JOqrhD1rZ4u2p6zfiquiO_KpuYb56Dg8xWgommpqoQ-_LenYUBtVrS050mXab_NNp1iu073WmHgnHiKMyLHStlOx5zqcNe6uwYEE7fepV5Om66OrPEeaDHmyYZJFE7dYvwK_4wbRaiJof1Pg=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tY5P2SjriwDQHj-dpTKsQxyW9BdJqBo5DcUYqRVkyyvZ728k9bDcl5gBX-n-EuT34gwfokwmnCUR4ML-t3EiQ9mgQVEo9gmVib_xLkPj40g6B03Z_i3oe2aqhlXs8rUCo3b0ofg1mCjWoXtwoZ=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vVEYXG600JBQRO1d1NsAoSXC6Z9na8iaOTqrnZl7ldQDEX6SbqbO2K0DRq5v_wHhOaO6kAP34osK8a_k-_Il_KsDkTuzuiFe2MPHuNhQZxVOp6bQ=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svlOKAtMNP6bZidB5rH4S7YpG0oGGXmqbDI0L0QVjCxgjkPQJ6GYTZoxz6ya3VwZLM9zf_WBiHo9XSucf-ByCJxQK0bdEYc2sZsDzqFBUePUZLAYH3s3UgKJfZ8Uv3gOw_e9e42iv2WFCVLBo3hpj9QCqJ8ZSnLPohQkuaA56r2C4hA0EH=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swnnKgo2XecygKe-Torg_ag_YEo4qnPUzdnsYghZEOvDuscxWSVgzbPq2NUkHHjNVhU2Pl4mgosO7m0H49fvCK3gzJbk4Rp65it6ATUO1DnysAJgeS7KD3eSkRkcM6-qvuB7sevxdOq1NIwVhK3C5lSz7hrRLw6kKjdkeBxa8Cou1jhWkHRQY_IijlXLUg1qJ5k3rWa73j4qOYmieHrYjbqa7kJY0BRBQiBnHDKmDc-tx6hQ=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uZQ6nN7-B5HvAkoaF1A4nlA7vT-pJqmAigEbKVy5nnBSKoHyXh4v6yvsJVTekCaMI2rIBP3qu61hwu7bLGCMo2IdFLti_qRw=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t2lamytRyGUXPHGNGFVkZnEYoFOXcfD_MK5bq2lltIaOQ6WEtRPdI87VKc96KcPorSBvbEB4TEdMBHia2l28JAtAtjalvnFTCnK-P2xg=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7O_QV22pLv3myfuM6ECzjhwUqyplz_4kS5QqVpGb8oqcQejrcdRqFEOCDh_9v9CEvoPIOpIBZlBJZrib03Y-aNLsxIbq5qOJK4A7Wvv-AT9dkovRRyqHcHAVuQoMPdgNa7WUl9VcZnHjgmqQ=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vR3hdB5bkHdjdm4-fMa4_LQsHJgA_ZfKYs8MnK8cAQ4PiM9TNwQDQsmfVHFHMQPHSgmvtttKLNgmqXQyd_31MZcpXTW4bKyqaxRagDulpv-YGOfT2k4grnukV1TqsULNIs-E0ouZslL2o_H_RnpXbxfdC173F467OTGtLDe63KRT-COy1YEpbmKlW5Gmtxe4qh_NK5lEOxXab7JDpRyd9t6fgNS4EJWSd9ezEJROL9H1Y-NxRSdoxSKmi1vTYnhvGDmykZ00md6Rcl9cUhpZGPxKrEgtI-oQ=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v9ph9c4UdWK2JyoMLblLOuFGgkBzJv4lSThv8bP54_73Bl8cqzXbhBjzKpIYlRQbi6ACwNZYKWYcMWP9jI8oTNGV92TXTVP4eLgQyZ7FaIFjlIIqXqqUtXIXXDv9Feqf9iC_B6B3w9Z1QZEw=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vWnzp4K_RVwzQywPhpiv5s4DEeF7I8f_mUYH8-qET4lfj3Ae8PFUVQR7YuUnZeM9-UrRYcrJZhnXnnnX1QL6wlTb9UdYClTVK7tRZiUQ9bNAKvBjI=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tV5ZD-mjtaO_eZK-ek3hbl151k__APclKtVeeIDgWnat0eeuWRIUrARR1KGEBVt9WMQJQWDLSGJQHifFDVcLggcP5EngzyrKVMtZrRXnREItGWiPWVlS-GxYfJsSo=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uz-qWuHF2WG-MHxtBo6xXsj8pzL-Ki5orohe6j1JkU52yf7BLoK0y_A6hyxNABMlB5SOGP4iui4Zz8O5jsoLrJDZpXjku9OLntKqlH2d2M=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vKVuBSqaCXuBdwuPFoOR6yRsotNkJeXpgxCckljBmuRGPpxBF9-L5-U0x7UoiMzt5-2llaYuo_sszitrSxdVyHHM-qw1E-w1VmpMYi1QI5cWRLnU9phAGnwxmW3ebFMHqLXOTRtS9O74YZlXw-kwcEuSnQ_3b07TvM=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVsHUQvT2COfX7EZoi32_gxEqzc_VVAra169Ub7Fk8kZ90s3h62nLXsoZtDkkZH4Ap8B0qRmxJqCtS0Hg=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tIGJkX7ZvO8BT9QRHVsNsiz_qSczLrz_UXJD_gx5SfRqgnJrIM2Bp4bnJ9aAni_yAJeSReDfBvsIgDXtxgS8hzNWchOlDTObdZQHaWimx7wAjeMReUTjLtQEN1HAiwSqUjU7hP5vao018QOHyi=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7GomM_Bvurc0OLSKcJXSCCFXrAgx_UBCuXvCfJEsxuaqJNtb00x5qFmeCEWRZYXblAVZGlPMr50AmOcQJ=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svIp68dq1YvUEefgc_-_CtLQOwCl8I95Kj09_1Fdn0zaIKAD47bW9taFo7EfyFGaH6P-xOb3dlaRAA5XklIt6eG3PHRfsI6ZTai1fIfZhY1u3KrUwZUPjYERilu2e-k--jXbRLLqyJons7okEVrdc=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcrn5kauQEPDteiZprlcUIyoE_UkJKdSWSDaHiH49U5Xnf81c1Vison8UBbSTMXsbffmG9PR1vjCqYocn9MXwrZVKQgj0NphpgP-8w54s1xmFdkHTeaosfWCZnqqMqIuuC9JA8b8_sqiAgBi4ZczKu6z4ecaGziyKOEDa8WPAb6A=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vRlC5y_IWzJrO70M_1dgqiIEyokslv9BL1cpa8w4ffWoYXqtTDQjLLIQw2KS93HmPP_YyGlBWmRr1je9BGkjXz62nBXgv4ZkjZAvrDnsHqcDPgi0Mw9o75ImhhDLD1wNOI5ONyFxLX1IZr34CqxQigqNskSn0UmxzoAJs9lbpOnoCmTYX9vC30bRlhvTCr_ndvI4NuPmzbLFehIqSRzDL4CIDqsw=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9gcLO8uNfPDHybKEpn_jPjs2VE4-CB2G9TTeB4iyqLJQLvrBf7bUn41PmkWyVpFkpnebgpCbPtSmFUASpqTd24ZEh5FCkM_4B6YT1YzPU2kG6xofE5o4BI432iVQelkYhqT2zmdfdkpmM-PgzCk6RByKr4Cc649D74dz4hYYbTlKa0bBR8o2ZSDoaS43-XD7HC60x6smafGPNlMHoToiN33c7bdVsfxEythWWf9bRP2MnmwyZfBABQcr7-p02d6z95bkicGbfV7u7GSAbp1Y0Nw=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSmszf5Gl9VJXTTEAETtNeqlJQjO5hBdaQ_UlcxBBOkYbMUJSw8GhZ3IyBAUv6_kMcuGKkD2kDTOQ0sg=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v3rrHXJDVjTxosyZ_IRDSqM3fdWt-KwwF8fHApcIiVEm-p65e4vr2GRotb9Pk9wDfnZyD4X7m7TyO5VZ_DicUDP5elMtDqNYoqxsz8wfIVEWmmZVfTxZgIWxCvSiJzcKKsdMfFUlZT0McttO-Tr7BRnSf3gGW4mgWNQrZa_NvJc5K7pr6hBMF8SngT1NZr-UgZis2nZnzm2AejuHJYtQLk7eD9jqE0dGEvmFuLeTQRzwz7FREcMvjDw-Llz6gTswKIveXT20NJ2HTNvAI=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sFkHoI4bKFSIiRF1_Ia5pyWQBDrJHQEsuv4Eo0j_DKI0-JnaUYdaew_9OnLqsbYNwZaRAc0b6bio3WD9DxCSInNp7HUREQxGdWYURVtGo76R-ns0YaxUFfk9YPwtO99Q=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXElEbK83ioZbcONnaT3bRAbZuBg8GubIWOuYGqGXfbjfts1-CWR7qzMJEog8AV9aiIsHJeJWr5ps16Fg7hNHbtdhvsIRKLUhTjLsu8jpsz0a2TnClI-xd6AzXGHw=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udjCXuI9ZQOkvkMZsV339_CSS-j9y3P21c8efpVqkqR8HYqRasznBBg99qyp8dJt2cRzOE-eMUU6Ayq0V681P-q1E1X17lFORweBBJ8uF4mRgkwby1uL41smjSjdP1zrAGg8WzNetTGmLs4uAOXCmXbP4yQr4qs_aUfmb4N1NJnSoi7WbdpfRQL6Huga83OYj29c7vskLopVbXeE60cOhPqGQak70r62X8=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_urN2rP5i5NFxQH6S8fb1lAxAAapwVPbIau078tz5O_8GNTBTdg5muJ0PeqthNdIro4ssGR5btwsgDqe214=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !