Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHuFQSBlBhJ903xHpDczI5nbkgBFfODhtLzsY9PJNP07Z7zgRafx0hvzjNWfDeLAqD9iL9pLPD-ILHWjiItrHpkFU2M5poZGHN_AvAB8mCNTnYmYvLRIpIkiyyu7ZzYHab0f6EJU9ooaf6_fU0fdGBnNEeWQ8b14p2TvGgY5dp0HXqDHw4ZS8Hm2Arjqb6J74mF5y-zocyOgiYT_KmzEa1IHfiywXzOUPlqeVmObr5N51Qpl8=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhLH7M813-kNjOfVr7V4JXLXUkP29Z5qulCEsM0P39uaZoUnX34DUdJ08zfroKA1NrffL-xX2tS9HDgFrI7xovoFHt1nAfpV4rrJlV5ObTO2lb6JBj5RAzOBDbeogDysuqltvYimXDOdLBATvCvNWzPnllnQiJis-A-2_ocky76nTwVrkPrAR6eHuE17-vXxOfYl6lDAVFmZMMG2tK35vaLhm6DVmBq7isLMstYBjjXr1PmxshxNJalRAhN5oNPbpi=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tCjE4DgWTNdX95TsGtH0AkklTJIC8oFmBhjUX-FQHx1f8FaafJ1995DIBNSd3nngfLck7F06pauPmBTRLpL-L0kGDwBXmyVA_gixISoM_BfEITCezBxKFXdI4fjSiP8OQoekn31SUWgGLeL0U3p3TyLSSUJbBvcCAF7gMnpRJwQVGdm2gE0y4nR-N6N07uJC0K1A0C=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0N5sr4XNRc10s8K9ONnMo8vm9--7WGBZeaTy-5SNF-GZV8jjiG0-q2okm44fwpZr57JsIOa-oMek1qstiGJQpKfjkyJAz_f4GbsYpoiLm6cnaotUFxHkmnlBMuDDUKZ_-gPSXDoAHH8ZXVao7HmLkR7_5_zDoxdC880DLiTdA9J6ltEj4_C3xDBbRj9tiznqlV2Qzr9YSZdM_jqy306v3YC4bdkQf-8DlnGuPVl824U7NXPhFT1qrSvBiHhey8sFhl2G8_4ecT1-XBusgbJ2_4NIWgLU3cjvdpk8nwMe4RW7RgqKDIkEriDrOLdXR8ze6fgTICeLcGKZMl6MqlzVPq4DNQ0AQefneHxCgjJypgO5D9h0pc6yg46GIQvg=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUo8AuXKLuaodX5Jkynt9Tyvf2ITw-WlLzUBKN34jjzeqE1NcZrrB-KFcWf2JeTxwfg5xvlzumJu4gyW_fDfpSbBjsqn_j2HA7kDGxKCyDsqgVcqn-nCJM9n4ff2Abt25S-3y_80slRWYX-qGn5K-yXFMvFnPrcizJIXdT-CXNCr4C3lnMt-U4mOtdoQdq6GihQJhyBNlQ1CrFLlhtievqf8ac9WnYV82e13uJd3N5aA=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_seXB9ROQ4bAWhuW0ei551YOhI4SziK7MLEoD2CFPTA9io4iFXi4QJhyr3Itu3jMLL6GRr31u83F6LLvJPi7Y1ASG5aVB52b9sXc6O-h14Kd8NNsZwqGCFeLcIuE46nTIwbmAd3Gl_LHpahBRjR1c9PajwForoH0SD8cSSqZ4Y3zeVPuzEiFy7B5tDlLw=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRZCLTdfK08VsmBaWC_Eqq9iaghXQ7DDxUMOjGn6p5mVZ6a8bH4qMxp6GEbOCpQsDSCzzbaKJlFB5vG2KprgDgtStcfNkJ71bmtVGDKDp-c1FD8NpHuTYFV_xQuOe0J5UdNZQ72u8E6bT-IC7i=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scNEp-r1n9afkgut0lEB-KSEf4y7CSgNOrH07TG_Z8Spq1camIkDmyBcXse7PNMKyHSXJ20gbI41EOmUbTR2xsV7Q7UP4k1Me-CWqekcsqw7SUXA=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTuzEdDKc1E1k7SDw1rGtFbY8KbuwbQYUGWv1PjyvFlFqFCDhncS55_5cKgQTqDcZg9Eqp4LZWfU64narUbH4YgOjgw2yMxlGU9Uy1xeu8ffw36layEIy6bZtryJwr6DnINlAM-GDWd9A-bAZCFIff9Lo6UxpOPBPBQVEV8gz8gheNluay=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s5fVEBptDOWaHc3jmvOB4TIKA2PJbGJ2OMmv3qcP7U4Ipwt9LPbEk4rTSdZDB9yszaBQ4f8xlo0MQKlntjvEW4bZf1LlI6HSS_JXhlfaDz3kHU2-dHvyJ4Z_AhxL0tiy7YG4wUslaDUPG4IhsatIXrPaTMCH03kxEAYWewOTRZjK3cC1LzkgqX6vI1rbWz3k8bcm0bVLP78U6sNw36EkHqWCroyj7GWE-p_MXnDYqS_ILCUQ=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUiIOZGcQxQCiS5b23ru74fQgvvbgok3G3VR-QNAXz048qFif_61Ap2SdBt8E_ZOWDgf8e47Ard3awcuMhGofBrDTVwkLpWA=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sFJiysyXTIhUhYQbjoYj_IjhnVp8aQBUpGX_Hf0ZbDb5HvskvMpbhjfqoSZdHt6TlKE-ZaZ5WZr1Bx_v9Bzk3zmrkN6aDa2Dkez0-JOQ=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sCpZntp0xWdO0NNcyIEInyNDtZTAkr73oS7n-TaBC0TV5eMPB1zHlPABiezbbDFRN2RI85Js-ObMijVXg_pph4_ARoWewjBqKDnjDNPedeXGHEEyFGekzWUNtBSJGNbj1ELmg1MXhleRfKzgU=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t09xpx9zDP0b63kG81_PiJlFQMLi4AKx1X7Qvl4SMvTH2zKlK2V_YbA8V1SQFJT6a72LSOoFL_H2tYhF0-o80D4CsW6sCrJr06eFY9tig4JNmf-K6O2SYjdJwQRlq57b7rjXxjmejBlQ7TsSnt9KKA3ojfQqXSG3sKOiyEvPVdP070zDCvQtJOdqQdjWyVoByH9OLaaa0IBreRKlI1uFDO3zChwwY0OSZ3xg0yH2EkbSLq0b8XW6SyUYbpnaOfm538EJaNgtR8l8M9lMIWOAHAlpKMW8IfwA=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vd9FWnHnWbl2nMLGTmf-ppxU-q30wZ42TxHGIgDGTrMQQcDZjTLE_m1652P4aaA3iXLYK9z_Ve8JPo4eJSCM0aBaj9Mz-SdFxU6zak7zREv4dPGRyuzUqAO72MnrHCr7gjwQBAvFEFQcE4_w=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOtcOvrTRqJ2trkzUCYdGigsttxUwSI4emYI2YmQg5mSrU-8oaXr0codH5f6hJCyDkEAal3LLeGvNuc3u7_OvRU4LB0mPLmEQLvSwcjh4fj-FbP8g=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdhuqWhZA6BtBkZWM7KWQYQYsDwc9dHOnLkza46Wzvm3zg3feOR5Aj6wNJbVVw-09pOi39FYd3p0eQwRrz3L-91kQf2RJzfloyk56LrydR5txbvd_yEPmJCQpUnp0=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vIKXs7VgjdsvX2f-iwWwbgihpQ9GYz9S7pE_qbGOTXevaSgZlTxf1fIjpaUscj5W4SzvrKQiPHNKKigp8nJWoJDam_4-mjVGs0AWMsybsm=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unBeUUUWsdAl7UzKjif4ou4zMIJ2eyW5-hDSf1T6UIPG9b3Lksbj09O2bgoVoRz8b_I1gZTNWvZ1h9JEgHR1df6z6YuLWX8bFgVBMg98BO8LkID2ycU0DrFoygP8j-CM7m9xI7adPqHxg-TR4rVbpdQpjJAU8JaEFI=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tb4JudK7Z1rAn6Fzcz5peNgTt5qFyFhcX4QTFeVE5gSJyg6ZUs3tCVll8c5_1kD5t-XyNjzbIoWwNL33I=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmOOhRPnySQG7bUNtKlCl1o0Lu8PLr_h152uPfXIQFvoT6JyXVL1I1-f5W3se3SaXNs7QKff7ojsgM1VlQVPJCjvROABvzKgKt15eeHXN-2FVaODMposIa8UOf0eog43PJD7bXITJK0Ze-oiyw=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUH_xsgaE6cUEdNf4yh_Vlvi1Yn0ROLKJ9UQyddkz3P1gySdp4DDtHfqJ30KvSDDu4_Y3HRRt1pkfjsY7q=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLulnerg7n2m0U4HoGCq9CWodPNUYwVLvqb-7Kls3XgjtNULgMDrxRj-krhEO3OgHxu7pA4ls9fwEVjbMFi6K-jSGGO6y9lXDFleuWfd5Oxs4L_8_uHzKt715U_X2umyufpk1A2oA53yzHzUY4CPE=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txcvJuouikYCKofGgkcpuiVkt96gJXy_XaFajXg3iYFTzFjwf-oGRFfDctjnsPgRDtEOPBRlH7ZKbdbukvrU1MWHq5k3E2VmW2szOt4iiE_iDE3EJq77kARFmG_MuDL-iDf72ZuU4B7UJULByvECOK1DYSp_0HIqydNp6yqrOEVg=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t2K2rk-BSiMbFFpxWWDHb4Pgg5z6kCBiyIJNqUT1hx2wUab1fG0C43FbdTZIYm_t_9maPBKSTkEBFS3jES_k4iu0NYKv103HUzcHbg_xQLiwJs1dBvvov1ejXF8BrHGAjlmZMJas8ufA1vSW51aXCpLT7AxgPtrejyg5NKPi7S0LlYB7ucPAh2kjMEfiQgwCuVKAgyjMGV9ViCS1BLlAQFVjJ6Fg=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrygW8UEEOntRvh5I3t1NdUY0u6LznTYmsIYLzx4R6P6y8xiZVUB64LZAgrpdgBzKzSi6KwXo6UygMbWNc736YssKvUpMXxDq3cPU-Z2unbfg2_Qibru5Jgi-8NxgheTGgawFSd4n1qTD3wYLUyWu6ffhKVXE9pxTuwb3IEZI1bQ8rp3Sc0ambAfZvrAPrlVTGkIeFK628sI4Iz3lCJx1qmr15FBHwQKTqjnP0AfOJm2rBKoNZsxDojGL0taGDfZzHqUP2NROt93awcmioHcWWHw=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tawOufIlKSMHjmMB5TftjC6NXVMV-FCDq3ICoMliQFvx57AHFVNWO55soSzRJScfAFc2j5_l32yzqWHA=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRJIz24i8NkAf_zNQ8vMJYMA456m-qludq8ZZq9K6xDqV32WuOskWgk4E_aVTp_ji79K494mGKbe84HJ31OQmwOdA3pl38pVDEWJKEy9xKuiGl3Eqfgl9LKe7d6SyDzIejA-0pZOkahtP4mEQnGtKDp6sIG54C7dF3_kaxO8KxI1SjLXHGcUrw_Cqdmx-gNZzV2Ni7VBWaKx8GoVi-0k2GrGcdj1-yCzqPbQk9Pgj903D8OCcBog7LPC2XJq68NFaaQqGw9Lj0HMC4WKc=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRfJ2troeWtzT83VhaQevaJiDtU5hzJR7VcGzfule7_98qQmfvVtMWhgELpFpKRLP5m9uEXPdivrjqTHHWTsoIoGVRPXM4VeXHbmKo46bH_FfSBgGjslpoLitZDGTn3g=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-0v0UdTAxHB7Fzofz2OxYOhi8-_gnMdKpJLZ8yfVVxrv1Pnqt5nV5PTRg4YwtJ1TBTSNQW_Vt_L5-keU_935dBrSnQM3SPB1-niMolEmoPvL28rLf4Yz-I8z1xO4=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uq5wKnziJvrrNazDCT82Rx2U0ajU2RHBsSi5OrnXC_s5pYg_ZsjL5NqPTkjUR74Df5Q6OuWKR3d7p16f4qdrAuqd3JT7XHhOa22gRn4ctt-o45Oxb3dAaMp0rs1EM8AgWRfk8N7O8VJyIkb167ETdvSrAu2dv8QWPir1xw04QxZCzXDzq1nKijoob7DTL4SbNa0xe5hNIoj978Ek-zceDNRoJGmhbAsqbz=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNIGD9eROvjI79NrNp7S5V48qFjd0sLCp1-LghyqF4cbsKMqEEpuUwg9zJL0Z-2vGBuO6YYZPdoEwZ5O-y=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !