Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tC5lc5JjJQo7GZ6cZpFxKPTHXzHS4_SeeDWTwqdxUgrBm0iVniOa8qMi0S5GGTVlPxWDEAByViB_akZszgvCyl7WSTX2fRYzsjQ3i4C-nQr3HsKBCQ3QSweAOYrPUfB-IyHo3DN-LnWH5WAnHEfV9tKwQ8CvAjjXlygnw7AdOPLBfYYhsGq117VRjRODAMLv140N0-YMF1IAk_Bumh33R1SChIsemoNfwmIKx-rLRwhXUEbPw=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vFKDn5Tcukqyq_3kiaCcMdhQ4ePH9BBZqWqJTAbJemb2LRm-hFFOSPcC6jtvyc5MnDAGYRm91t33UAUtuhv9qgRlXhdmunFTg2M6cY8grpt0dPOdmXQMGdxg_-4gW2skjQREI85N1MV44At-aEvGN8KcIE0NN8ARR-BiIzzH27eKUrpO2BYrRmD00UDDIxK6Vssa-AUu2jnIqipOZHVxXqOND3tnw-jprk4rxWkV3yDVWl5e58dRTqIv9jiVQPkbtN=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUwnyiyVwF1zoHSwqB85DxvFspbcsM6qncdCEiPlYMpFy5giKThpMHs-20Xx2K2jcCsFSAva-MAWrwKw9OoGO886uJuzuid6g2VvISWVM0WjchCvHn-czx8SG4MDTNj_hgG2wwSJ6o5Gd0_Uqc_pfZMI2KTx9FH4qFqQU0r7ePiez6GOJSTbd6XxJd8e7z1gV64jdv=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ueVmzAuUsqRdDDVY0K0WAWVPSrKvkor4sj_CfdunU54X0G0j8YcDJDGoPld6MklmuUvMT4lwJIIYCvGweHTZxj_wlPAf4SRD7xxEMjnW0Vkn8oZN5vSJcxbDmW9ZFyJU_mHjA70NHw4w3PkkAVR-hAag4bYBNYtF-qSO6UGki3feQsNYlg98ZOmpQKwPiJDcexUY5kyoimztLTvnTS2PrrOdJUWIMkmTyOmh01ruZdvtB2VDbp5ChwzC4VG1BGkQJCDc51b06YSO_gS28V_gN8N5gjxewObilpg5oSam0wSkEBeNLKb_dMwztgWQeNAuok3jul-kGi6EKDTvJLgOGOa62jOWPNbEMQeelcU5_ZoVNv4nUAFpY_NgmerjQ=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sz-DLcaH4A8qT-GuBbnTpE9h7pHe1SnWN7fhpOWlZF0ULoDarGmatt1iHypPcsKOImNgKWYsoTrXsSNcirri_f3BbP96dlCORu80Ag6VB_5dv7fZlmbDPgSK5HKwYCRRh_C3VnwhZ_P2P7Y5XP7Fb7d0l80iEiF6Xx3zqJ0eb4x6Xhc09Y4C-vVvIAGotGf1XPG4BDMuz9xjBkoZz-5SoTf5lfkl1OR2YSwWL5xLad6w=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNaUlIm0nBSiYDubA9F9Kq3Ut5CLP5K7OPZjVlUiHpOgJb83OETtkOKd8ySLZ-nYSXW9zLZhGbvpIGc3qT_ZC-EVkry44TfrqCjm_8ZiXBKgfAhKst34nz6XE31biyFo5Fg-4agwVuc0ZF7MMrS0Wgt8yGgwsICIBpK820k_V1HntdKf1glpkzVBcIgA=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vp2lhYZjgCveUeBO6CmD8-dbutrlEJYC8wGQ-vDhMBhh00lSArVIQtl6SatJWbxsWrJy8lPjx_mVR6iHE7S3uWD2HYfYD-J6GsOvLEYMRPD71TLMveivjHm8Pzz82nqA8MxJD7D5Y0VUM0xXTO=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcFcgZnNwaUPeiKU5_sm6-DD2P6XsXb7YHtjrLlMOQhiehAz7JZPFOzGO6F2IX6EMvP3KJCXsxjuHsxeXr7LX86Pctst0rdfvaDVNHfrj6Y07_LA=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vke00j20Qpy2_9gCEq2Z-jwXIxPjGa-_Uusm1DPEzhW79_k1dgjr-6u-0bjGOZ84uMvl9iamHUVjzDvV7i-ej1s5qfTLUL3TMpYSk-8B1WF_-FsjhwhEzr0vng9goQLXUwwlaZ0GRZ7HiVIkPeSABBiESE5-y5KaFGhjRanSHd3R_PGjlE=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vh4U1Wd-5f0B9z8dpRZUz6dfTqlPSJ-7cUZNbxFBwsPv5oSdkWWdAXPcBvf2TS3NiSapzdDnX0d13Ds8cCsl_D3DUjmkdAVL3vrx8TQHonI9s06RGnZ_U-Frq7MuZH4higXSUtl8HEv5dJ7J8fj7nKGU-Ev9eLS8jFRigy0JW7pivu6dC57g8zppuUN1s_PdBh_QhIobQD7cZxgNokbetRtq4iVAj6Hq1wzeTSvDpLr8lPlg=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tguHeoG0G5APEl510-SfPrwlKEtFPkXyiru6myyHL6YgdUWDGc9ar-vtx95nQDHC4RM901R2Xo1bgaJBSdnp6jFAwu08kVrA=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ui_TjlSHRihiSlr7CcAxFsTncR2nCTYohbE2ZUt50GVdI5IJM4gO48Dfbi-R6CXXW_dYqiRvgufA-WWnZQ_-chgm9k6gKCrdsjfcUsuQ=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrQ3lwLydSbG-wj62BXrLHQRlP1CRr0FsMjKrU9a93sFZx6Neu1ZIh6sGXemlLMiHl7er0oHoR9jStx197mpAzofJQKdPt4wxTiKXHY7KJc85Pu3tAJ3tnQaqTi3B2UD1plRIvGMFRnTRtxOQ=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uDjK1KHKmXMRMkMISF7Gy0kbi6pLpTtBw-8rspPx4iL3QN2Hw7pwjzAiiogVquArheAIqOzSLk1jD-Wj4am9gITvxy0ulZgKwIuDqSrjJj4xxPZnUX-LMfeHP5Pgm7sQlF8QLbqt3xjfJLjtXubMrg_uDjLrIA6qH1we-tM1DGsl9BlDGzlzzqLq3hOiPlwtpNqh6X9qCESVgXUnvLkojI0MMzFycbuojpR7usYeF60x7CmfaGKi4DkAXkFSwoGlKIjaIO8nvQ5kETQFrSFgFONxixXB7y9g=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tkHaHs1YgwauEmoG_KOGhOG9RrH9KuQy76Ed1B5ray9hEClpw289Nc2EJRc3_GsSmkqcTu2Whvz6-0qfVS9qYv35XL0J28RnuvfKCtoDD-4LMW9F06mYDcwXdxJpefzS_nPhs7ph5mrtO_jg=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUN1eY7ODUlgz3mBwmLrhmM1wEED1CXk2j_kgnzFpJ9mjnWM3SU9wJs2chfp1I--JEjyLTz-3WweCjdMYAZnBWbzV7QXp5YojWiB8r50C8GVbdj2s=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNp_OOUOM9j6nttc8REbc6rRhQ4sXtwMGUaI88Y04OUbn1NRkeraMqP17btGkiWZhyEOtiJtwGmjpv-MKECpaYnq70NhBuX-LoMi-lVvY5pgkUKCG-zsy1Yk5arqs=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZcnr1mkfHO3MT3UxywvJ-OCZBeUoT9NIbBJcA_T7vBbc7VlxAWq9C3LggMw-JANWCZxt2A_DCIXNrCRNwDqofOZ2o7YKeppI1sCXE1rBH=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1YBMLdGVzG-I8bK_JXWHlHKWAE7g-rNvuNbNavtHI0dH0A65QooR6WgSDm1jCdSqGlt4fWeXZezn2t-LyL8-isEGKWYc_tmIYTnrp2whOw5mG8fVI9xoDuD5yi2OWcJIEoEWuImSPn75yh7nLBYq1azqILqE9ZS7W=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_siNQa-G1seQfrQzXJAUBe-XoDnLQ4WCJcz0w0jCiyURr4KQ3SO4JISULxhdpdJD5XjQyiOoyKi8Lh0Ndk=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uiOf0NldPA1tXmPXJUpGIARxrmbXVoaWaMhd8I7yju-Ncz3vmoXkaNs0rNwhhpt1wx90YZLRfmMo-TyahVpytHk8y3JwGewPC_Srm7wXVZTZ3XXq9X3qYgffh5vHBF3m5W4zHHvWPOa9E-QXH3=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_terFle9w3AxfznPaT800iMuq8CxxF2w-aRyaA7L77Co4hhevKP2OMdBgC8pOfeHA_Sn_6c3lfKndO_dLIf=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tR9ehqPD4a9A-zBaliwCXIm3nyIOdVFK6RJlMa7Jy3R9G51_Tw9fEp3WM0zJNgyrBKAWtTLx7Jt6gW9wdnu_QsEbtZeGevR5PehnHZv6eYFivfsk14Tuk7Yx2XQ5j156BYoyYZc-pbeYwtyf59DUU=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uaaQouDyVO3HLkOzwsplvQZsbMHjzk8yowlWOqYbViqSv4ceKd2rLIIFLlzCucoVFLJZkup2Wb-MulrYYIGG2wavvJ8hrRYsDH1WjWWyA9y1ZLQnwkfJgutgXS9C4BT1jNAZP5zkIqPxklAbIh978GaQNnwPKdSvNsS09CBzyS7g=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tamKDjdfiVeI93o6rboaDy_Z7PQCm73cFDItS7ZHOOa3o8DK0PyRNwvoDjJndwwid6-ed-VGoduX1DvD5TMAyfZQKwEgin-GJbD47lz65lTqH5W2knrFBQmLhhmUrPVwUCiCQ3EdQHPIEn6_2n1L-ubcXaZ81HZGp5ZwldrEosFWfGuYg-k1OBk4wHkq3KDRn8J7dX8jcJY-qUhuB3XmuPQK5EYA=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vqDru_Dml-CRy9158syuGtsM4r35oUIe41VQtRnWe-r6p60s3sHIubn5wSQWyUJf0agtsCGVPPuESgOSR0_xWbeaRJWSPotrcyrTHjD1P2C7edlWzOy8IiiMDsOi0lmIOaMfEduXCYbZoF0g4ie2dbSojtwX_8yFY2PL5fhxmdUJ8zHI7GDAiLCL7sCEnWwNu7QcbjUUoz-uyWfBJGaLJdsDYc_NsCwRsTgjdReiYufjfgXsmRux-R3JZSvB1_7gLPFBuqOTxvXPhJc70ctWI59A=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmwj6fPlNYiLmCd84ynwvKbck1fQSiE1QGOgcnHPzRI-16Hrd3ggFL8ORvaSpgZZ1pJfxQaHqk416myg=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vDMD7giC1bY8fC98pGAeaqZUpfmnYUPOyelcOeYv2Z_rTSUigGCD67xUO7z305-ZQG1Y6v42AjBnvIsAtoNLv-Ojr-wYs_wot-43zoTCjAtO33DAefAaMv6ddLvl_6HTY5UWAC96N0-rBF6lAEytkuTIyaUjg41xRc6R1MPpDqXXH6cQs0toRmuiWcLsKWZ1FWS0GgPRXaYzi2uUUg6DGkm-iE2wWjCTWB2TiB1ILM3iPjWUdwIHj6Knf_141LTc8W5ddMdphqADQZ6Es=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vO0ZkBkgeD16d23dxg-jbfdrqwOLaC5503-sgM1a-7E6pNAc5ovzKDZtWx8FySk7stxuCXs5k_gHuRu-RnpjhyLz6c8qanKuX7HwGh2b3iWWqQ5csJlrgfzm8MUGL9bw=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s0Db5_N5E3wEYjiNAke7_9svMNXQdpRNhZbFCaQhm3SNFmGgDivfVbZQDbda72G0TvNCvbZvplPMF9yWXHSlDyNoK2_QaOj-Icyg6JrH-bBEdpsz6Kku38h6HmWFo=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tMsnlZYkaf3u1K6CpKNxbZMpjkHOQHf0iriHd_089GGJWYO7wVpoLhnGAVKV6qi9XHsPJBE85Qe6qE_HFXrt027x3gAag_NX0gSDR8Qu-WH0n81uscMWABLZ8wo6JrXUw4ELbxp5VRC7JrfwaRDuXn_bIZFS_gwpZou7YP9YEz6keXmYOmcct7KGHpAenGu8JH5pSFauA_R7CXKkMH5A7P-KVRc6VbEY28=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYJsvrWRlkKPmqOhz1pfIHKfAloOa_jdvwboZPWIXHxvYmqmJCEsLD1xMamTCi2ypBZM2pMvr9xX5HTIvQ=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !