Olá gente! Hoje falarei sobre análise combinatória. Nesse primeiro post sobre o assunto pretendo apenas introduzir alguns conceitos básicos.
![[;\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRKs1IjZCcJByhXDBNvXPgwIXTewyHktWwZb5_85uYd5Dz_aPm643JOWLxxeQhklZxHka8METdav9l3Dg5oPF0iwXuDbRB4Aju-i3YVl6hhklhuuIK44eWbZO2PqsS9z9F3d3ArG1Ta3r7ihggPJl8UdpsMkAvUR95WAQHaRiiwumU4d165Cw-tcBwcXdnsOtWhJNLVun7a934c-MGIQjYJsC2Q_nzH87hcf0abTM_xEYi9rc=s0-d "\frac{n\cdot(n-1)\cdots (k+1) \cdot k}{k!} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
.
![[;{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ttxW5NVpMvoKrRoBXTDUCySXpLwlmsrBZqWJ9VJZY-_0R8VUPO1g9g4st6-kIPX6LGafpPNVMhTmyKPOK9PIMm1czTv-m3YgHI8XGUxypByWdWj3vjNmkua1xw-MbghvZAUKKobyNaegO2nSc6NzQXAQmv1YOtIuznLbYEyCNVhRsIhcKfVr0pnwMCH_86ijlUxJpS4pD-a6EQ9umatqDp1xNBQWznvqxmjDGID3k-y97V7eyKdF9-VD6CSx9LqDZR=s0-d "{n \choose (n-k)} = \frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}= \frac{n!}{(n-k)!k!}")
![[;{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2IN31wX5H_1iMTA8zDq5ExAxI8QOkGam01oGIcOI_NPHuqnyUXgphHdZXQAU2NV9xaP_aOqIfIJO5B0KZdCnnYH6MP9MhOdTcl2nLHdiK1gwdE3uIxUCyMd59gbIO2kW2ZDJIY1WwSMi_LszCABIx-PGmQqwKF-24s1YnI1twGEcYdIPf8ojKG_6qRjyILPlbIVpP=s0-d "{n \choose k} = \frac{n}{k} {(n-1) \choose (k-1)}")
(fórmula da absorção)
![[;{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ss19dJkYc1qH_5exGwrQw7QbdG_EKhfweQm0kk4p_BzKTIYueRtK7Go2T7mhBzNOXySMYG2Pr6qSpyIk84TQiYmJFyc4gHQhV8dW33qnohucVg1JGpBfrNbR1MY9y5k8NkUFKhFG4pHJFW_7znSArHFNKE2vGMVwwAO0BmrmxHtvZ7OxIxWV-fTKZLUEKRfQP5qbbkLyCQnH21mxunRlCHd7P8EO4yqH07ADeUeXzc4swQDpTa_F94qZScr2nkLrnD2ONuGZidijSmyKgvaD_CKZh2AWucjgBJ9kQgSCZV0-5haF4XbwQhn_RAhyj4gi8wldSjwDRvBg_J9_huWMFa9onNDRyah3Rp2vdyXFdcElQ9pPPrCZ15JqKojqM=s0-d "{(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)} = \frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =")
![[;= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-5a_AbSDk2hglqY9XB9XUcSSJrh_iXgAc-2okkp49UZtMOtFveOXMxgrDU4estExCzF213JhWVODbNlEkNGk7dwPZNdF860hR4kRUcY2QOzXMCV1oniFkAmvgrhFFByArm-_-8Eb2jPzrh8CyJhuAiDcEYN_crU-QF-Jry0OkBPHr8xuMoMQEdRigRec1XtP7qitZzcIeIib40V9oBE_geWNqWyIemvSk0eMcnX7EsA=s0-d "= \frac{(n-1)! \cdot (n-k) + (n-1)! \cdot k}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[; \frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMpy4M1rqhN-ZwS9QSMO-wpJGJA_jdAojgBzUbHeYl1iS1R8Ivzhneb2GIgiBjdOMwnEl4ntgwvwT1NB4f7dox6GPSFIMZ9KCaes7IGLv_SBZvjg39XHgo2l6ZfYpjl2F6olqsXh2B69rsIwu1jkIVDcIx1M5AiOkA58l8zySifq_sQky187Ku6zrsKg=s0-d "\frac{(n-1) \cdot (n-k+k)}{k! \cdot (n-k)!}=")
![[;=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_saU2_1ok9dbQUwhi_FuRRt8Rrks0kE9TirgZEJqTMLxMS7o3-Dv-DFXD_WLSTH1WTGKWPj8qxP_0ahEA-aqeQHH1JIcF8TLqOb2Wct3-yJ29RtYwuSJbQnYIMWzfymFEDt1dey3yxZfMkELXHH=s0-d "=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}")
![[;= {n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vpjyKp5jUXXI96myShZ5B0voOfAoXAL6wCgOELDfZhF8SalMI7ld6AXf6Xx6TEStrbT-IRIWb9ChYiYOByA_SQ1J59otlY1BuciL3VJm2RNY7LKw=s0-d "= {n \choose k}")
![[;{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8NDjwH-1ujUm4RiVqlk9Jg1QzWpUrEZM9mMg22bwXcPUcljBuBMXgbRMueSZH9OHiqV4KLkGXvOF7B5GAIJjOduwetW17vzH4M1dCny23as77_8m8DenVZcdAAatJRIJKo8-jYm2niZGENz0A-DWE6WISZQTs7i481LfOXjPYTfA57Hde=s0-d "{k \choose k} = {(k+1) \choose (k+1)} = 1")
![[;{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uAscg6aFCgjrUI78Z2oQdCIsbIxij2L6G0mCAJFlUDBGsRLg_KFmwZZSwf2Ig4q0bPHAwTYehXwd8fsSduh9PWJ8sSsdoA04EiVua-o-Y_KaPmhhOWQs8gfnQUPDFeBtIDmv6AFDm-i_1Q2WkW0vlrn0KxBvGcfMHFqlUqpUqBC8c_GooLzvZVV5S4r_w_LcZSxQkBXhGRVSp9GZqd7ltI8OAQTssDF225rCaP1GIc5aQkKg=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)} + {(n+1) \choose k} = {(n+2) \choose (k+1)}")
Q-1) Dentre 4 jogadores de futebol, de quantas formas podemos escolher 1 atacante e 1 goleiro.
Esse problema ilustra o principio multiplicativo, que é enunciado da seguinte forma:
Se há K formas de tomar uma decisão A e não importando a decisão tomada há L formas de tomar a decisão B, então podemos tomar consecutivamente as decisões A e B de ![[;K \cdot L;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTaHixfmCwYZPUo_Sw6jOhCPwJ91aFjzAsP21iZOZJBzrsqKmhiSHzX3S8VwsqFfulf9kMdy227oHzR8tQNBdmRa9OlbtAJg=s0-d "K \cdot L")
formas.
formas.
De fato:
Para escolher o atacante temos 4 opções, para cada atacante que for escolhido há 3 formas de escolher o goleiro.
Assim, o número total de formas de escolher essa dupla é ![[;4 \cdot 3= 12;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t5bDNDa73WoUPsuuz8v6CxT9pHeEm7NBZ0b3UNa36W8Uw_nvd237L0VhLQDjTT27Y7zBacxcS5B2VtCCKYuMZXp8t2gNzKxbbxMI5xIg=s0-d "4 \cdot 3= 12")
.
.
Se restar dúvida, observe a arvore de possibilidades abaixo, ela lista todos os casos.
Q-2) De quantas formas podemos colorir a figura abaixo se dispormos de 4 cores e partes que possuam um segmento em comum não podem ter a mesma cor?
Observe que escolher a ordem em que iremos pintar a bandeira é essencial, caso contrário teremos grandes problemas mais tarde. Quando isso ocorrer, comece sempre pelo caso mais restrito, que no problema é a região 1.
Para pintar a parte 1 temos 4 possibilidades, depois de pintar a parte 1 há 3 formas de pintar a parte 2, a parte 3 pode ser pintada de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 2, e a parte quatro pode ser pintada também de 2 formas, pois não pode ter a mesma cor que as partes 1 e 3. Pelo princípio multiplicativo, há ![[;4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8UHoBE6wvGmnRmg8Ymq-7YXEChV9ivAdhBRCeOfcPI2P_NnPWOH1Ye-mNE5L6t-Zu46TcRmaZR2YSOaKn095MAXvff2atXg-uBjGTnsZdr7pZuMVcMVnlpwG2mC_7ee6rFAqvleBo3KyfxT8=s0-d "4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48")
formas de pintar essa figura.
Q-3) De quantas formas podemos colocar 11 pessoas em fila?
Há 11 formas de escolher quem ocupará o primeiro lugar, 10 para o segundo, 9 para o terceiro... 2 para o décimo e 1 para o décimo primeiro. Logo, há![[;11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sIufY7-isdI0ZZMGbZXr9oWxVIRx2o_LiOKFNyEhcGDDiMBYO48LqheCzLb3d24kGtYfk5NokBuNnQogqi9gcIabAofOyuve3iHDfncug5_v0uIrJ1oFr5Jk_nzCFw5dx64jUteVpZrlwQ4H3SQWwa2zXU-IYLoFr9vXqWzHaH897HfHLU8UhtrTyqx9WdL-39lXQfuMGAd2LYELtxI2zcl55qSaz0WGaiy5PQg57jfTU55zREUJfC1x13ovyJ5m3hOD0uh0WnrldvC8ItmqIDoBufMfL8sw=s0-d "11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39916800")
modos de formar essa fila.
modos de formar essa fila.
De modo geral, para ordenar n objetos distintos há ![[;n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0j2temUrb82Shkdt0sY_AfW75ZsCP39n1XMN4Rp4mEbGgpijfVi9i3ff2-GhTAMzTYa6cCabDL0A7ff1ACOaA5amfXT1780uUW5P3Kg0uaLbRoopNjJ9LFjcyi9gEd7qGFUnX688BYhvKRg=s0-d "n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1")
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
formas de fazê-lo. Lê-se n fatorial e representamos como "n!".
Q-4) De quantas formas 5 pessoas podem se sentar formando uma roda?
A primeira pessoa pode ser escolhida de 5 formas, a segunda de 4 formas, a terceira de 3, a segunda de 2 e a ultima só de 1 forma. Porém as rodas ABCDE, BCDEA, CDEAB, DEABC e EABCD são equivalentes, logo são ![[;\frac{5!}{5}=4!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ub2A1XPZhSz9-pCcpt0UD6zmCPojGJRYdYQC-5ZiUs8n4HwBEWiRZmNLemMbmWgYH8RKBLqLyKOQbgXukpXb4m3shkDG_EcHkkmUeDHlDl0D4WeiY=s0-d "\frac{5!}{5}=4!")
maneiras de formar essa roda.
maneiras de formar essa roda.
Generalizando um pouco, o número de maneiras de dispor n objetos em um circulo, se as rotações coincidirem é o número de maneiras que as pessoas podem ser permutadas, dividido pelo número de rotações, que é: ![[;\frac{n!}{n}=(n-1)!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sCbM5P_aGo07hGCnaHphB0Xs15TjCLwfQz66WfAZCwRAH3wiP4IV3QDR1AB2OiPrTCo0ZJcytYW8oQyrD_fKoxi64b5OKRtMmfMSyyDp3nb011Dix2m_JUmoSlzjA=s0-d "\frac{n!}{n}=(n-1)!")
Esse tipo de combinação é chamado de permutação circular.
Q-5) Dentre uma turma de 20 pessoas, queremos selecionar 3 para serem representantes de turma. De quantas maneiras podemos escolher esses representantes?
Sendo A um conjunto de n elementos, definimos ![[;{n \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ulqTyGvQSwY7hBWw0OfeeYCUOWw9s-_wXleyxu5Ut-bSFZxNXQjpHuB6fKH6YxML1NLhzx8zRMIt6h0aQeIhBm_Ip0PV7LBmi_2lt5-3Ik=s0-d "{n \choose k}")
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo ![[;{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vgyHk0iL0ZJhj2np-I1_RK72ejku5EPdYHwU46WsdNM3bm2nb4zQOhTwf5mefk1xDH6j5DuxGRhUcU5KsNGVpbgG-subAM0L5gW5ksoZmVBDsvUUoj47Ho9xAyCaxAh8mESsc4MbXnfT-SRvov77xOkMuj9oq20HIO=s0-d "{n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}")
. De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de ![[;k!;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0TFGX4VU9yrjww5vrpUl_1wgLbsoaEpZ7MHQhnpfzWnG7C4QjQEHcHUklBidowRPutqPZFJ3Po2DCAIY=s0-d "k!")
formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é
(lê-se n escolhe k) como o número de subconjuntos de A que possuem k elementos. Sendo . De fato, o primeiro elemento pode ser escolhido de n formas, o segundo de (n-1)... o k-ésimo elemento pode ser escolhido de (n-k+1). Porém esses k elementos podem ser permutados entre si de formas, assim, o número de maneiras de escolher os k elementos é .
Logo, há ![[;\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ux5YZz4YnXt4r_J28kHqlys333OWVji0B1sJWV-JbRhX9Ismpapuos70bJoj8QTR4ysioRGc8KBzDP2NHQsmidIMC1H9l7AjMHi28lvzucfKWR19vsGFwQTntEHNw_tGL6GpSKiZJILRon1DAD=s0-d "\frac{20!}{3! \cdot 17!}= 1140")
maneiras de escolher esses representantes.
maneiras de escolher esses representantes.
ALGUMAS PROPRIEDADES!
Se n e k são números inteiros positivos com ![[;n>k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tkSteDZkjFj0sdKOG2Zkp5tujOb9zZkNy7ulE7bjMQY2XiHQ_Wj1T8vzlhvVkMOAVUR_ndFfE5_1uuVpZ4=s0-d "n>k")
, então:
, então:
P.1- ![[;{n \choose k}={n \choose (n-k)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shagknn7np2NambM9Tj3fUu-v1i-NuZpTmmXKkYM6kPPZ1_3COZyrwrtjWprWnMnqQIyZWFH8D93RXlPufgSTaJ4kOXnJ3ZctvZEkprKFeZ1qtc7BtzyA_o3S019Peh5hpeAhAw3mBLr5zLdleZws=s0-d "{n \choose k}={n \choose (n-k)}")
De fato, por definição ![[;{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s2TbuZZL-4zEMAtThGj79nC_dwEk3BRIM_aUr52Etpp_ElYjGCr1-5r9Jf2coqrnHB9MBYI9IY7YYNhxR7goveLrsfKSIlYzFY0jKlliyHZpRp7Zic49IPvo88fn7zDXStpIAjDsV2ohXPlLfMG_zUBmuFga24T4i8haBm9jp_2w=s0-d "{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}")
e
e
P.2-
(fórmula da absorção)
Para demonstrar é só aplicar a definição!
P.3- ![[;{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vXbERY9HqknkuK2VDwXsF52M_FZqu4l7lRe606T0nan2g5AsviY7023X70u2gO9joo1KwopHYmf-GFD94vZJc-7xweO_yH-QpRpIuSRV8qW2OkRIErt9RKwZ8GwIK8C3HU0MI4NqabIqqEnEkdTJqYZD0fgiYgc6GHeTBPjfnVjhdl28VB94zt3CoGA67107-YOfZzZPARJ3j28si9S0wrb2cqAA=s0-d "{n \choose k} = {(n-1) \choose k} + {(n-1) \choose (k-1)}")
(relação de Stifel)
(relação de Stifel)
C.Q.D.
P.4- ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unVrOQOhcegvhcrXRpLzRdhdERKHeKvUOaxfAf3ubixRManZEuqOt2pCf84HsmnISEaevSDUBhDpExYvNza1HqTTjB3MezWuwNilCw-QeIvNZTAxgknE4CxRxrtmtXyX-MvsKuvSztwdODgzO4_dyT_C4e_eRGGRYuxR0M6iG-XNAahuDCp0-Rau4kMSjZu9deck78MYptOA8I6f8CYeTrfoLbszKiUCLrfQdV2qnJacfLNF1al40hMl71XmHnveBXBujVjb5_sU6LBqW5OKg-cQ=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} = {(n+1) \choose (k+1)}")
Vamos usar indução em n.
Se ![[;n=k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sD9yqIPe2OqfmVcCG8dzaGuh2XG7kHSNI7pJGUEInv0qkdGKR_8ZEw_fxgQsSGWYM0HwRaYjuXctS3-A=s0-d "n=k")
Se
então ![[;{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJuyWTWR4OwNYuQ3YBwpXX7zsjUhssbZfr-RYk9iHzZ4y-585n4LxIOvfMBK0AKVaImoRGD8tNtq9gE_Ya23F9XgmnzDBQArbNDG_wfyYmITnMnWbfFPxeejMCYZ8zWVFozJ-T6u6de7DaXWREMFi0sZ52qeLCDqi_JQMD1Et5_mtoYBioOXT64KHOL2emNX8NlLT3VBGKNjQ6cmXTKa_WXSMqXgG4UvxHl4MBt1x5TJC7ovzNwBNlQPoez-JJC-sItRdgCqCirnVteCQ=s0-d "{k \choose k} + {(k+1) \choose k} + \cdots + {n \choose k} + {(n+1) \choose k} =")
![[;{(n+1) \choose (k+1)};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMuEL-skpzAOeCEhzXHBRZIjfvYRSuhH90Ez2vVP1d6I4nf3dYYyf58OfCmIJN3qU1TIfAXwmlAQV_EKROkpcvh5rY9lpmXLLZ0PfTgoIdGccfeiiE-UhdiAgcA-E7Pg=s0-d "{(n+1) \choose (k+1)}")
![[; + {(n+1) \choose k};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDj_a4Jp8jNvx4VEgjvmHjN7yRVCALrmsQjZWKNoK7v6EiRqZPwmsbhx4nGU6yR_ajAJdGESvEuHtUg5D2zbanJSkbhbZkkYhDGDNXv5-LyC9mjw5uZjpzsRybEW8=s0-d "+ {(n+1) \choose k}")
Pela propriedade 3...
C.Q.D.
P.5- ![[;{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOhciVk6kD9wCW7n9GG_Uuyyntg3spzdR3j2FawCbd6ZiFigyPbbNyJA9bQcS6t5jeITn6s0rKp7CM8vErW6JE6C1ZSxN7fqOTz5OOXJEmURyxqNQS0hcNaAQm0WIXe95X8B-KYLPasUhzcdHvJtVASz-fyfJJHZD9YM8pTeDh5sKYASxJrimXN7uxlZtOIATLuXWkNMc9nerW3emnHOmaRMsRtf6OigUc=s0-d "{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^n")
Para demonstrar essa propriedade vamos pensar no que essa soma representa.
Se é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
é o número de subconjuntos com k elementos de um conjunto com n elementos, então essa soma mostra quantos subconjuntos um conjunto de n elementos tem no total.
Logo, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar esse subconjunto. Cada um dos n elementos tem 2 opções, estar ou não nesse subconjunto que queremos formar. Logo, pelo principio multiplicativo, são ![[;2^n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t5PCsutyMhbTOpzyQ40jBSbEQzEYuG4bBfpBuDLlgmIsy8NBUsamp8bZ3EVCOs6b0aJ6TBmWf2ElypY_wd=s0-d "2^n")
maneiras de formar esse subconjunto.
maneiras de formar esse subconjunto.
Por hoje é só! Espero que este post tenha sido util. Brevemente voltarei com algumas coisas um pouco mais avançadas sobre combinatória. Se você gostou, recomende aos seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Até mais!
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Fonte:
Apostila 2 distribuina no Programa de Iniciação Científica da OBMEP - Você pode baixa-la clicando aqui
Apostila da aula 3 do curso de combinatória do POTI (Polo de Treinamento Intensivo) escrita pelo Prof. Carlos Shine - Você pode vizualiza-la clicando aqui
Gostei muito deste post.
ResponderExcluirSó não entendi as propriedades,por burrice minha msm !