Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-jWewhEYBAxnMEYuKnBbDcL_p4PPvQ9fxxT0MV-iB_RpZmGcCLQY9CuTKIQXJdce9AtR0Jo99OINLqOkp-Do=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uqtNmn9TbY2kfwJ3C328mxeMHzScZLwl7TorV5fzNpteT_mEQjnvvZfRINadHonSM7G38VLNfPmKRELhYuGxo=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_upRYP7Fhu6sVTc4HOl1OGxo2HkRtWIxy14oOR31711Vl3-OiXwSolB4dKwnxTCCQ4KGpugNbJisq0_Cg38IXOcx8Ql588=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tocYuFTvoJ-1VjQjUvtxcmhip5RoWNzefGIsEj6pYnU1uqTZnzYwNEf7s8Srp1JrlCiPax7ZHmUCsAbh9qkCfb37U_lw=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-TrYUwL2r5-RiKtKF5StD16pqmzw6FbnT1pco-Aylb8S0-Pn0ax9jDKWYzaKbODqlVKMSvOd8j10=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfrzeoOGTqImjfoRTTNTqaxNYNLHppamcksDmnz9Vnobf8kMFbeKqqbfeTaIyOD4F8bsat9Rvt5gcKfA=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sQLooPN9-YRvaHCA-LzJEGJEd4oTirbDTwmKMyjWuzdioOads4mcu09wp3h7i1xObSLuLnNPbQorVm0g=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tosaHWfBrbFEOMLi4nqPDbUtMkHQA0So33KjQq7ubG-fGJj2VhDBtPamrW4C_n3UCKBJlIXUAgdDk=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_thyL-QvtUKXQeIIlJgz4pon6FVJbswSnoTJZ7m49wGJDAhveqB7dNcfnHyVPgLz9fBx4JXMqg_bQ=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txMoMiXdYIbF_9G9_wlJ_WO9KVWgmjFnqpWMS97JqnckuNAdiumBW1GbD-5rv2wcdzRTiefQ_oMH2KU_KM9TUycp4H=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_thOzVSTd6aSKuU6apxp0nBl-iMKJb08dMP2I0uyFJMXN4MnktoBBQqIz7S88Qnlpy5EpEnilLn1XVkUlVWK7QfWAGLaY33=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2canWrI1hdBGglyMA8iP-YQHkhzSkyFfwY5jjxKBsW4o6J1S8wNiGJ9OnnIiA-mqxKbvcGiHHhkoAQfeqhPO-eenYqynq=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxUIv1fzYcQ5o8CCCcYo7DmJvv1yDPashplXF867C8rTrDiVvwAZGb-xkn_hLDhE-tXpHetcr_3hvetDXhuYcZylfv3YdHKVtd=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVDp-Q-fYFzHL8NkyMeZP41d8ci77Xdl6OKbFExN8hpsKb-RAYLZuoib6mBrx8J-vLgkmqc5AT9T9tzAKy12sHP_doz9zw2Lgt2a-OGwLE43GiDGkONwZC8t4yByQB6V82hsTUvvz73PCcVtoZcO-Rn7Db-LU_nVquESXcMjePi9btfEdIxXvQacGy5W-L=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sg9BvY7YTViQummbT4dOW7TzB5_lFoy-PZXD_QeGkxLqeXBvFTi7rplyfBHANRCibqWvKMaakjvJS8gjG6XnQ_Za_xCFUT=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t35rV0JWhc8Pf0Ue5R7JAgdGUGTRWZV79ZbzJ8C2OcpncbCLk-YxUP68V1T32PojWOtBgXgZlUeSI=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sG0bbOkp9SzaNSDPxRuTTTuHXqXsdThEc6ZQ2JQ7lUO1YBiQcA9o1Kr6QdHWKPf6bnbttHJF7Fse-R1jMDtL465WiSN21-GAGO6LvG-h6-SY1kQRfpSL-EdT41YVn4Uj-qPX-lh1ZvUChG5HEuFg30-Z1akaj-HOvq2Is=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1LPbGWAEYt5dwthwnd99BBQQxa-uhLM5UIu4RCqmk3eG6nowjnLlP_sVMjvkHzJKq4Fxij4B9fPZ6nBY3e0bMzb4PD04=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uA3uWGQgBCKaQ7p9AGu6wHHUrtZZ5zqKssHPzZTDIvK2N_eb53XrKZCiSnpCO7WcY-JrVUW1UlqDpn_u0N86_X=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vbX8p6fO9sOU4zQgu0U_z4NIGoe5aOEdXv4oP9JKPY0v9DOc2QCsnPA-Qj3xCursE_gEOyVuXFLBG3uWLb7TVevQGHV-YN4vHE=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uwz-fiNiZ1t1f4vRcuqGLovbS62Lvgs54ZP8Yt4dTvmJ-zNYlcQwVxD3ecZ_Mu5Xpcerxpu7GpwZ4=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s1ultjXiVgnwTQijNUV2zZnA3eLP7RjfVWx1ZxsoT1PxFH0BqZ7_qFVq6x8ZVnonE_qIfm8_mlrViQJ1W03BuN9T2pLdttn7HRVy7pk08sO4Czu0ymPf8Z4brmDQV86K1PCD2xPq6y2GKnd5MdPR7rsYe4qPT9KSSqc9q9_575eBOKwh3IYVy2hAaLOOySCUmoR2FGsOd-HBGoyLrLxAYg-fCKDsN2VxQrbhx2Ps_mOK1A2TbyUBt8LKN5heTmV4L6kh90mrbpyd579vqj06HN4VTk-urOIlMd5SEtD8xBI-hPLq9skg4KXFo8oHfs_IBFbEehzgh-bzA2cWi7rcpZcDOSqtY27j2hw15neBvu6rjFmVsBzLdsX5143OFNvR8cziRPPJxYZqm4uMXaIvXROLfcXqnG3rsi6mgc37E44rvJfL6Yok4r2JqcUnQlXa6VPw=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t5_1FHQ0Jo8pKKSXBsHZw4PChKwdKR-rPD0jeKLs-DutKSCL9e1xpgPOhbTDH9XufMKQUgw65XpErYfpaLAn7CVtF50key=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVgnsnI15aNm5nHJd0LjuG06S7pqWajQ3XsOZ6fV66Yei39q1NSs0eLCOZUefopysq_k0BnfboSY5ITp5rahPIb_721BJFHLI3MeD0d-gY=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8PycwhmLVWw8u_OXU4E1MzStDS59G6WadNr0y5yMPEhdsYiRCh3M_eoPuQA0p2-HiWEIdJ2kedegXOZCu=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0_XNS1IBMd2SG7l5Y2AostDhTpJtWmkiD9fX-qCFypGLa_7ITkmfqWqvFgYJfc4Pab6rDaLAFrqFkUt1V1Tg=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu