Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tV9tLJi2cRZruqeGns5IVMFq6zLKXPTxkvMYf8XXGZiAoFFkUcHa9NFUzWBFsKhELYUDAA4t1dPGRueoooiTU=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGberGWISYD9KcJMR-1QG9P__696HSvNk07lKhQnK3afADSHvBiTRqXzGZuvPFMN-830y8WaphM7titaL8ovQ=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v3OvdoSdYr6FG2O29s33YayxWRJ244oe_GIOlmApEQFsGWe3mN62zQMfB9ScITPY60oOboltbRM0xAbD7kIgv1UKbf2EY=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhmFwtzrpiUpjM4BU5iQamC16ELQnemLBLFdGyYzw2qrovABlDDwgGPaRp5I2cM-XgRPMtQL7swxOsrQHYOdPBK9Ahug=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMzMU85fmuHWE7bWEEXyJM1wTNriOGGmI2rFvSZllqoLgwo2MVlouAb4DE2kPtN8p_oIRXSSp6pWU=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBDFIYhwqu0OnAM-b6l2HruSlzdyQbRdulxsTCTNQSxXTw7RsSTFU2vAltwfi1N8i1ZD2AN1rCji9yvA=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVBsRQtei866wNuXO7yu4qjCRoSbK23qLLB4_nYVFcEYUTQ6AwCbYjc4EL1iMDZrb-KG-wKRkSqI1SkA=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s0BQgMg8u29zjaqqC_jAmO513UKfvIKwAFAsGmZyTcc_amjcl2qtbz1n9UUqh1wLe1MIzBp702pPk=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBZG70LqwvNwpkZWsO88hTwsdvf107WDh6EXN7Lc0p_zZxeDEVHt0w3ohFledDHqeN_2zY-7I5AQ=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_srxNKEMW4_rNJEkh-5Z1DWxyRQA64W1mwvsjVJFqqHAA13nhnjIlqAbFMK66N2xQSerVrSaKEbyAkcwYcLBftBVL9z=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swT5M1O3aLV53x5MqqdflEkbtF1w4cKEbdZdY0gtdJJqNM8wnMKpURk830_hIiS2DjlX1MGHhua51H_LQuqui5x_5zMI1r=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sb5jaBJhkwprWOnzm6bfmrH9E6_2j2CQ4uN9WAv0WPd0H3yDTpxrRDEWf-rPkBde_olWU_zYMFoozjkdTXQMGQ4D-wY-1J=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vSrCnNaAYkqLX2OOFgUM6VaWj0L7XrRld1UqlG_zfw6K_8fzNZ72BSasoBsxjfLBZDpv1ATref3EKlhCVkbT0Cxr0ow6YoIMBD=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udx-p_XZ5Z_cSDlO65W-BOf7nMf7M1aQli9GvqTBeQzrvcqaq0AgaSDGi5H_amEFLC7Bg9Ghw7dzpDUawYSHlf4lVJM_gERRzDF9TkC0XDvGfsqWs54obuNqUQfjiHkgYGg8wjn_jFWqYvPdim5qPz_IVFEAc2T4IqMN-k8LAVqx6hHB4vJTIFIP_gHq0s=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uF0qN2pwQ9X4E6jk1y99rZkkIq7BvwIJnfnP_WXG0mwspb_Oqq-ZXfe05CBVg5FTOwwqtmECF5avqQIZq810JMG6k4GFEw=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tWBk90nxOlU2KeD49aWp_vR4NdQP9jKFsqgVkcTruScQwxkMXZktF1D-B2QSutUlay8WUmzGyIk2k=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tg-hIeKu6xLfbyuUmYG9nfVBOdnekMDcEjEctPcy-k40kYizkUIXGL4M-BIOr0uFF8H6gBkuiGWube-3kiykxvXRa0483mAHyHWds_6h8INnLKsQc8gxr8a_u8KVu2bmURGVuRPzRdmvZgR6xesIXoTNs0tbGyay2qdA8=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uzx_cJ28fi0m5IJ45vKFxI71_EpN2iqkF_u26oTCsAHPvip3pjkc1jKQN892-TH07KzVLxS9gl7M38DDbLphb3QB_GE70=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_nKnwVNPx73oR4tN-0S-Ffx14hDo5yadSgezW3dzO6XQhkOCJ2kqJXOrGNF1W4rVesLpJgkWEhCAztYbwJXSX=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uBmE-yPN7VXXuqCCyBl2BNEc93CNDg-DQI2a2yLvQxWhtnpICsOvO-2EXP39FC2JxFrcT97Dm8X2-0CFV1ty5YbelZhfWx47QK=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7txThVCpspLqZX5abugcnboDLbocHiGVX1lblixZhvEjOXi6FgQTVxjCdglMrhlSLFkxHWtW6pUk=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfm-ZCPziamaBLST4kbVPa25n82yJubGSbG6KAAIHodJKQ_SX_fbkmbbuWp5F7lIxFpdKXGo2pCATxhO3HYG6GSQpXH2T_te22kwlbddzzvwK3JJcoPHUtTBIT8SkKJtb4PKRHEmDJuCUWyspj0Nz9Ioe-zZgqN3XObfweSz553J_HJJfF21Hth4VUE_dsEWZ7N4_Bke1Ck2uhJW_XpMaeFPr4W6kMZTjgozomiUZYVkNpJTdQ96iUkpJRJtexRMKe3YpO7uWBKUCMiL51sufNDpy_xUYQMSIzP5OZxxinZ_27g9T3WBkbEZnal8enYgqX0LR9Fm-NST_vN7omhR2bC4vTQllxopc6dVnhZfGScoVByzjNCjIPa1Tb0dGARsUExG4rCYt4fK4gmCX-16ZuwkOJ_TXpjcsWJ0WG5iQOvZ2ekLsVkB_6pAzf-qWLBzdkDA=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uccE0XmNcUGUq3z7u3c10Q9zj80Qy_exSMguWRWTORRpR1BVKyAoSCXblj0Lt4ot5PDueUYoPSdGQ-jmIEvvc_TwZSyFcc=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vGs44ed5FY9_wYY0y0xi4CoxcaqJO7eKxiJVR0_bnCpD0kstvQa-d5LqounWTmB2fnpwErub0BKPWULenJyD_T8N_97kTTJqhqALRiSr68=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_taPq-y3DWeY8GOI5wBbhq-giZdLr1SS8AJG2jUPuaBR2DrUX6N--oqFOxZ9ub4ZxG6SKvc42lA9kBuU-xB=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sEdVvKJNktbAzpd3T_KTtLUsyX6pPXL0lycOIIvazMUlPTZARmpmn8aSD4DZQGqQcnOkiA1onKWaOxNmXKzMc=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu