Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uAwJ8V1zrWScEfUMV1g1DiBli9Si2n2p2rwJc9Dw6-yM8GIrkmKpBPOm87tFhfeUIsimOBx6xNE3LGeIedVSg=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vED28YNZCrztQ7LpQxOZbZV7RtnBB7Jd_CjbNqdBbhK_Cm1gwbHOFh_-knJLhMMtfW-8C2GYNSlF9LKK-cSjA=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u73MQfAU1lb_S0m3tAXZDF8muuJlvlFJUUn6URJq9Bl0CyFWQXuxbxrABE8hLFK0sfK3Tw4HNt9iSFQEiF7LdCGTsO_rk=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaBIxgUKiSrBxHU962T2ePv_1oSEopEKoHfMjnTmM2_VeCy3-EfC6r8veS70I8OQlaBCKslULLNNqgyu6OpTuc0faCTg=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGsQopD9RP-jphZk0Je6v3ltgw--RiM7mUvhltazMaODAz_Tp6pCIv_KSzMCYsEPIsRMjcoHe1CVU=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_toIr3vglExDb6j--WmX1d9jjkYXU0DoFQmy50OqrN1SUJQa2GvDjsJ7kd8CxYuIngnzB8hZ6W5b_H9WA=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7_1PIahGbl5Tz67MKWxQOi_DfCOvkhQq2oNrwYh__fpKzlxd3ZgR-wUZv26pIa9eU8ePTX46drKKyXQ=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uSQWskssgh1MG-fBvnbA1U4JEP8w7RGrDpE-C6Ra1HFfoTdiBJTIAjJdbGaMuuULQpr37vC77NrIc=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uyU_9j3vvbt-PaJspXXE9Ohp60k6xosolPyHcjGsagRq5--XFtejon0KNhLHcCrll52HoXaSCIDQ=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vjpBLznSGnAVbkIj8GZNxRgaEtWj2_EtV5yuPoqcV53WAb8BCh7XhvWAPwGMEHkwcXTjPk4eOukLGW5uJv7vzIM-ay=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vg-Ejm_DhnE6AkTwh-SutxYKkXGz0wMzh9LRPCRovZby8SyeL8eQy51kBEnxUExzE_Eh8-0CaARlAgR_5dh0ej22ylv8JR=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4RG8aVM6I-Wreio61jMTMRu6wiDSS-QLgI21Fkg6TBTEfCJtMsu4W3T3UxpBcoJsxiATpWGHFYCT7LP1Xz4H0xxqVs12U=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugl8bdC3vLp-9raeOoWy-omjZA3mw885mo3_fwshFACTL1th4w7wZ8Bkf9qdvp7Zw2H72dvNg5M9n3yW2tPat6rlXdGb3prq7j=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sEq-2W4_B28Ir35ytQG-_y6rWJrBxPjwsvcgCGr5fYYtpD7fX1mBZK7hEdXHEOHfoq-C0Vl2igiZtYfygpsqbTqajEEc22DsGXI-byBtTKV6SKOAIOv2WqsCxwMGNG2Cd7-cNugMM9_lOo5Y-Pwjav5U9UeYzH6kRbEP16pBV46xLgCEGTfrLlnNBYLShD=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMQis58-l-aYvK3LSnVPev79tZyYmzNQK3kGHKZfPIEpmVAZzH693PM637l564aXbZKP8yJi0s8_EdZnhzrwe7TWBZ105D=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vZyp3T91G1aWeTf83rdPtOizLEzlw7c3TcVUEe1Y0LDrApKoEfvkMNSMi7eZHkDfRPjVBdhpziPLw=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stnfl0WzZoSon7psx2dH2RshfEJkDeuWap3ICbuu4PT5bENMTtxkr8e4mgzJkeW-524nGm0BWFrkiIVTAMGaTMwERPw-VIzGI6VSSBVWaS3XYKpb8cVsvh_brqSaOQpkBqnqPnqDxkMqGtW_c2-FZ0WdVM1N2ALiStotQ=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_ymsWN1zkY55vcycH2ZPdNnvED_4nvbgfc5_gAeEH2Jc4uCE9b_IXii8OA2hrzTTbyvWM6dyreYweBfhkwFtfZIJ7-bs=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYXBpdw0ucbrYbEVfAg_NPBeiEpCFjB39JUYWpVx7QMQV9W1r_l4hhCSj4mx-Bk4LCKDHEF_GjWz84T0iuBT9f=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufGv0gj3SkqOPTrLRycun4RvnrGWVTvBfezkZ3a_WMnsaThilqjw8AnIPtmSw2EsXMAegTpJkZuKYS6a02XJgqEUjynjWTymtN=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_seJzRa1qdTQHnDyn0ULJm1IpAD-rMFl_NhKeY-EBCHqnKtIeqnsCC4A13o2hj5cHcuZV4ap9zFgcU=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uDuTGtzIlX5TxRLSzAHLdGJYtw6nVxwOWSKgHRIteyz3xYd_CaJsgQdOHibddkUu4wjUajwh-KOIHNmtMKX6JvcXb61lV_3rGP0fgi0hvWULfBMRcxdzmgxzxgeFwtVXB-FA5QteJU6zatOg_mkqnTxyD4Q38keLkfxDCLYlBfmWzYUsdLNzF0eO7P6i9t0gQBpedr43Ew0TqDTnrjpp50MJkWO59RNTM79RnjRBDvNfVnXp3qdqDuYRxkUyivAbv_Vum2AX5P-s_i0rYLeX2prRs3TcA8c3aNAbIBokw0soJGA5fwkxh_qJ44lcIQjvDuy_b-bm9dG0_sIkqSM4o-STGEhLkpkvZEGqIR7UGLCFFw5V5fjM32uLG45bKd53QmYGDyfqCBj3h2tUu2-2oY_tahIP7uHvofFun5ifLWdimXzSKrZRuBj80vuOIdgyw3QA=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRMmOKIhC6aX_90EW3oghJFBYkHfB03CtEoHEpcofTsv3iLrKXF9fFPxtgYYnwIs7xxKrNjyDDYNpMtFctjLXzKsbsMTJw=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tnm1tme-gMK8BdvN0eBfcDAejwfWyOUS1b5O7rmwBVChTMc7U3MEVDAwU0IMNrtBZ7LGZKKKMW-Y7kb10WaO7LVN4aPc6be_EoyuM7t7NA=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8TMwf-jyRsqBObNL5wc4d38rIeB3hvoSJFEtfE4JT1xrrcjKr-a_Tjt0haD8JHZSRrFBHhY8wqlCEeDWZ=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sC4V9Layq6-svZOGlFCV8PfldKOBbDOkj0iQrHLUfmuJmWDFeQywv3-N7ov7ZojnpuiDAPx8z-upLx4ot7gIc=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu