Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDbs_IPbOPMPU8BMD7m4QBPfJdfm4Iro-SpbnHbNN5qrnQ1n2MQpIRRxu8zV0qQsJUnsrzCwbTHywjglR7RMU=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tTivToikQdtqY4KHKXTXoBkAwyMrhA5hzQoW3C9Ghfuz7pKffEk04aiJoQ4mLjY2jsEnvu07SbVEidFD7ksIo=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v0deQL9oG01kZMj-FJuyRnyANwDRU4oc4RXxeOd-zDgSzbeTGK80uY7iiTZ8GPgcrWC82rqYzhYCeP0_P3kUL88pDdvUY=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uajKCBowxJ9homHLcY39X6j1WAu1NzeqpX0S_tju44n8p5g0mJ9PKIkI1H49vdEeNA8penIZBoGzRoAOcm0zHh7wUkMg=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scj7bpu5D6t14xMfiFZu1ATXsRB-OIIkEQC-thA4BOPKWY8KGAWblXh7VWRWHXSKrSVydDtUAZELU=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMOpmQpltk-a4y9sZs3lZrjEjQCdDkbD7CSFGC_2dEeBV_12JT89wwsPNxEuolKpUXgD2B6bTXQYyCDw=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txWFL8v2aifjzgZiJBNy6CZw0z0VC383-fpebHPn5XwpaP8_YIUhpg_LetHbOeAvQOFlim4YwGB7Ak-g=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sC_G-1dZ68yus3T1_kzyl6B9kE3yR7JqRmOwJKeayXrMUQQjMtGmjxPu13h8NUvDMBPRCoxgIep4E=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vpPRwl1CGgY3mUXy_KvP69fLYj2-1gpgoHqaaVM3pGtAxfePlxfSQvi0ZE4y5FFj2dmUM2oXBrFA=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vRKuvcYPJqfGKzGpCw9q6F6_kW7OP7e1RTM_QMyuG8NHHN6HIB5VTTXa8x1kRCTOPksDUyk3v1LfT7tk2udRUwRieN=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sGnYb5xOaT1sIATQJmpcbPqRIrC__vIrGjfTQhFE6utJAbjFJ8PV9kXYSj55NiRmN-Vkaov5Qx8oaTn_Yc9CYKQ8ZI43ON=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t97HJKaWguBSqDJ5CQeBL15r7dwT3s009JCbt0n4_TDJQneBZ5o_k94LnPdQLmWZtbelKOSW0HK2A1iPJj50qpTJlTfrEj=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sAHWFpYLnyWLaEsyUhpx1DbEHW0Hc69VPtA5ez928wHtNKF_VTp3z-XkBOrRSiZxui_08QI-Dpb30iVXZrf2KsLs89PREs3lVd=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhl3UGJBzWninqsWtjpZLVLJuBEazKVtT1hE-trzUEbbmrmtrjJtBRE3g7WYQy_TqfDfpgNzez5dsTNljotoJKKAnJCeujxG1R78NXxU_UBdLuUdjIggpzLJbBAwJFSeX1qJIQHbB8SCR0iuKlZmj3JyGK1D10rDefYGjutEE1BgNXV-g5I-Vei8_M4TiD=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uZGrjh3iEc1bcP7Z4UyZNiNxNzD1e_hD1dZmu8gxtsah0aRW2aZYGjf4JQghtZobTwNSiBm77KadefDYbeCCrr6HUsBAM4=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdNfOIwNaDuRnbb-FgGFGafxWLFsmsdU8vpGPOGCktFV2ytS4EmCzeH_HvxkS8FQxj5cydsXti45o=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sLkayL1WQkZCMu1d9KimylYb2YBKUaZ1xC0sJ6qQujzoHxCgmQo_OStxu8ahwZ99SnPIVBiE6z2j7DOlbvx1oiaNpMbzHOxtjtiWEqU7pSMVODPP-7aU8DdFO_F-9X3HmJM3Li-3V0SrdNaqCDSklPTdpI69l4ySvUhOI=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uDmePgVmEm5KR6NM_WP8nLTCZ6OiLFhTxBFl1bhRg2hHXwfph3eI_b5V2NJL5nxZFdc0xQpOsWGwGXzMIioHxQdjXo0F0=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_usaKzGOH2qZ4f7tuRGB9yhlBqBatHtNBMEO13h5yTWJ0ybRBRj8E3-id9QB5dso4zov4C5rqd9MCopMey7eud6=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJVD_j9Zw2jqmXVPXpbET3Q7Sr7E7ATpQkDCybWb8aSgP-SCLPAM0xrWN8a2hEYZ8V6bvo-c6aMat8UWBNhIKbJVzG-GT4ZwCB=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sYv2FcWYF_mvaXQHrqEj6mnv9kjSDZRVge3zarFj_TrdZwHUcXiUn5AM_jg2ehC9_1xIdSz5b5FT0=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGncA5qkxnFtoV9mzb1GuhZCt-CLC-QB2zVZwa5b_B1LD7iUdBWGAMr4ynOxGouCG2JigXJWYtQSTj04t90pn8-mObCIWIWHla9jZ7L9y-YcWR7QOXC1z_gz2f5Jlasca7X2OZE2h6LDRH5EDqleIGfqiR7d7J2eeMkAUVlZ-0VEMgLzQHdJ68qXaSDvWFUA6FkXtd0NBKWH0-glaNtX5JKyh-g5dOKY2X7rONonfkEE_z8ddj-tU_c5QvxCqAVDUVvWV-645h8OMbqAl8Qoe8tlUADVV73j0Sx1fJb4OfGXTWVJeFBMxib2m7NxeDTAh1zR-fJWotyR3RHhEYSJ2nQzTowuy0THd9fXkogZEAdly1g0z-vv63JT9eqZDqVx5mnoxfpLKA2DcD2RwL8KZ3pyDa3yP_kXbiBANgNa7BFAmv9kR-vm18QGoa9NSr7VH3nA=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGo0GXe5T4F06IuKaP_3l0rlwHc8rU6YTgIjgSQy_a1NlhbHFd-ZGENeyWIVPWlSzq45dkuy2sD-huGyfSPLggseJFB0nd=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujiZZBfX-wPz6FfFE6D7whMZ5xX6leE2qrZsmSFYY_Yn7zi2tBuhjnDiwoXk6S_gvzxqWb3FHP8xaA0Ya-deCfxf1VbyzPVQ_0ZHzhjuwX=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfZT4vVHMtsB-z43Dn6Zu8NOfcdBfYV7268MybLh4JC2c4qhHdEARgkykr6eISA6RLvNx5Qb7vuTcuQtLo=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uUUp-wZMHeITL6X2-8qtntsfxingL3VhpoWQj9arKRajBhon05_jCYqu8SEzS5Fe54kMII8QG5j4PN_X9lruE=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu