Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t54NjpAbPL6PlzHx_0dgcVV91Rj6szSja1yOGqA0xVCy7oY0VTSWn6zZyvwRXA9BoKamVsI_4aLwDt83aTy6Y=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uN9LhDZy81TsRwg2u_7sbAsMf10EvcL7zydYvJrFvDg7JCPHGgkh3ptS6G-AeTsHOdsG0HcXtADE5lOLY5xfU=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s--x_KIZ7VkRSGSlRL81gRO0eS5nB_S-hMCzGAkKWxHH3x7tn_0foPov_FsIj5CkjmrAMW4ET4d98B7lRkfguRP1hEBBM=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4KHFRGEWTHffkH-lxzRGi_EQhMXrvPMmEZ3ToA8QFkdPZdiZ7CLMr5OvSYEWdNE8SmYTuyBB6G9ci5QaezetXgIWDHg=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uwifKTomvangXVDpt1-BK1b1zzAhKdVeVjpgzzp1Y0trW1_ImEsp_Vm2ZvAiiJn53fgzgQXnprrt4=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tK6A9E9rVwamoU7J6TGTlQ-HqRMPOwrc_RJeKJGJLz5KvoScHsQbPfcLMjFmS-VgEBfRfBezKUn8Nszw=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukGLvFOGU1G9s5rj_manbBmcPfO-Tgy0KYX8ek84Hi1-a4Qnjsn03H76ALsdFqXqrrFMOrhW4yad-mLA=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t-hOT09umbDk9xsssVngWpRvL-L1jdOOy3o9kf7rlYcHqd-DlTGsGm5rFLjrCF1XrBt6sTUHnsyME=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_H7GiYJKSMbh5ctTMS_Wp0ocS6HfwxqlfvmA61iQoKbfi7WKYu5SWE1LuQ8_tl3jtBySEaWx4tg=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ves7tqnxINPhESk1FY8atcm_cRh4OGWk2tVuZS6oZV1iCdPMbra_LrnCUvWZ0t5X_xDplGykyjysLx3HWJrVH-zT5V=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uI0rBK9vgr86ltyi5461FGmXja3EgkOO2a9I6uo-kJXN8TKJIm4LccOvNZNuntUGy1IQQfs0yXnG81ldgXnRzRLP_PNWdd=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v1qWaiLJTv_YVJVz2fmS1g3p9UtQq8N17j9PM3ltqtNzGCRVco5YrrQnxzgpHiLheMcUopvrI8Z1gVBAtPQy75OsGEBFYb=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tWQh-MMNnmOBVUaW76RRsJzYgCu9_cHqHQC6haA8ipi4LEidd-zNKmDGJe7RZ648c8FvjYBszeFVDLEJ9uyIpdXn0cO8xeFfhh=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJbXN9JrO-ljXXcQSkaNftsl0oMEFbfAuAEpheBdqruqHf9zEAYN9FLF_WsUbh23j6zHBHmIdDi5ICxmckSCJKwKR8q7LmkgJryqmnOw0lHctmdbqsh0Ob8YkO8QyF2EZ34W1MijjU2Cxe0VkPNnGPDBg4OXY-dY-kJcIW342-T1cVC-0rzaqdwYmcfkC3=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSLV99mv6xkxHETAG7DymgXSXbmhOek2HRRVGiSpc3GxRxePittwBylV1zldxP7kdGxBXQL4kzhHCvIzJqvzxieeZJmq5L=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQjZeb2ZwIAxv5pwKBK2rYH-GotLKc4sYpwitF4UdR8tlRASKCyG0bw_mTL4z5ji6Hi7zn7iXuJ-k=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_soj-P2yX8M3DcumcAYR_iPACFYhiyZUeRtgBFg4ZJhoJ6pY0Fa9lpiLR81ckhLJFgvzvZVEGCAORNStx2k64jy1hsVPmeRCQp5FIb-mU9iOPibu7kuB77rQKBWVNU4wp-U2ScRLs-p3-Nf2qxnr0xnd5BzDI1v22tsFjY=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSMYEC3ipY2QlCf-I1nUEY2Sa3KF5nNvkVd-2wuE-cGXON6Z4guTpR-b3gA-D344nLHKqbYFJ_TpaMmazOCQ5deZgaWBo=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vpCT5eZHajJW2U6NH2hrHnfrVzcJX40wN8nJjHY4WRKyOtRa_3CJCyW2HDf1bcBQLs0losNHehu9duM-ZlWfjj=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2uM-CdQ0yP-OYQYwOpYkdfaiwMy6n62ndkSOTkICTI0I81iKKsDqxGtdi8AgepX1v5RbXk8oGULOdW--O2rJi5oxlK3d1IwH8=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sq5hym0nAzi5UXTIONR9f3tqt22Hm6a457_4qRgLRuE_IT6sC2XTJyYW9ShdEP6KiSpqdMm_4TPNo=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uFjMUoGVM8i6HhhXDeq_NT4ZC33UmOrteMQMUtYPxPj3-qH3vGW2lL3AU7ieNyFQh1z3dosMKGTWp9cyymO_e1Cxnko0_l4ldpTx59ir4T5vAl5Odw8y-9ZL2FqWd1WnzQfWZe7uTJ0qOd0MN6_llc-XHkZorqEHb3md0JkmzfVMFVqXGYIsEAy1YLzeFpKaRLoMS5FjV29UyjeFcx8F2ERzu82S_kkB-NOcRlAzNoYYa3NxFk11XzRb0T1KsxlmYICDGHMndltl3QBvSdDmeh7ak5O_SLp8Gz9Sq4nUzylC80dhOl7gCa2OsDDB6oX-tlGlovcjmVMdX_W47A-l08qXBv2m1EiuQ1bsI-gAdO4DSAjk00imsE4_TK9a2BHVIoEV93goCvzdcUqpDR8D3ny4VJB2lA_l4tDh9oHZmUVazh88SKgbw_9MHhGS-887Wv2g=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sBBkd2Gfd17Mlksi2cNaotGUubacZ0sPVoiKRagYwf-LzY9oqIiBe7qYCcBtKXF0PbnlRXTiGwhvw6vdNRjBADeAxsc5Xf=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v9JNVa211r1osLU2r3RUQlw7JFaQswAz2qs5ib4Zn6mZmagOAP1YzXKWQLD8smoa_iH6K7mVzYF-Cw3muWZNEGExwHK1bYrueKhHJB_ESr=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tne98_WpTSQKQfQSVt05cQB_kZRzTIcqDPkUObTkD2wjv634ne4zLLUtzqf0f-NzxMik_3hlkmIWK808p0=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uJ3yETvF32KlMbNhwJ0SHi-ZYSZrJFs_sVsWBQBcSH9GjqVD_w8MRPvFyZLmQbFnG3hSdmvWBwuCVW-Hwv1c8=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu