Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tG7Y20rBV1juyjMHbqRhhXmMZ_uTTsibeWEtAjDfaaKCQM0Lz_utQqhOMeMB5cqXwarsec1t71jtbhihGBoLQ=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s4vB9cb_4832SOAqT4TkW0O5iyfnGwsD6ZTJNv3Me4aRAdEiypUTEevCc8ukjszdtH0lr8rP3y893bNOyZW9w=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sY4huCUtWTWP4dBZQyu0cgAvuCi3VHkUgM9A5TQleQ7e2ENpuKvBkz7YLB_IkGGHs3fSA616-iWECWpQDsN0wYnotcIAc=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUKl9gou0g-eTlGGysyznAZO6wIJNN05vKcAoFuYt3CiYyrqPe8B34oU8ASDNqaz2-rcw6NWUuSWHlUH91t8NjOKR67g=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMPxXQTr-Ok6utoVDaVX3-QFYZKhKOHKuYLFIiOre-5gWY-yf60CUM1FVP90eaAG2BHg9Z2GS9_R4=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u_ua_X13zEBAQalJy_RNsHl8rheFibhp-ZNO5tMeRp-8HL5RgyeBognKrgCxRbUhBdKD3A60xnmTElpg=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_y7_FNj6ZfIaiu-zSqakPBhhRTkyQfur4F5t72Kl19e1aMEmgsneTSF-JNZtvoVeWlTshtMntDRBv6w=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_se1bfjjg3RTKLK1NJH3efy21RT36rBqx8qdyjqUuIPVkWQDGOfoSVHPNs7uNv1qfN93aUNJE_xPNw=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v52o7BUKb1S-YHc_LMDGqPcxXass-bO8uS3Ff3rQWgHl9MnYEHVf-Cg_9ljIQiqexRZ-JwJUESAQ=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tJnWo7h4buvdr0lmBwknHZXHmqFAc-FFZj6Q7lRye98yQcH0fwyKpusofYPRTJehxclIWb8lR8lWfocuXztprvbgsk=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vt_zGJR8jfa8aaoOSsC9K7CINw2FvXW0752m6WwhcWWtg7MEvKkO3FblisZH6AGiny9TvAnQdEL8zQ68jgWZVuEMpJVNxl=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v3JNTwWiSa2qVrzAPvjM3PJcBV54pTJodsu-CXd_tGCXQYTAQtLxG54gmLKDcf3rVWrTs9l9ZnU09Nu4TAc49RUxguhyZV=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUuZIUxMU78XnrgGlyw5vVvkqja-PFFnCRr1U8GDg6XEcxToqC2D_KKGIBt0DQemkOcHWxZr47XmMnhFqMJys83AOizIjq64m9=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ta_5rLzTh6Jb_tPQYYUkkmoq1ssvlGsNA0wbZdEfkCZUa17RRa6tf6BYK4zfD9TDJlmTE_oxAI3544aOmEXVJAnumdxba37OjuSEPDvECNY0Dh9LUcmm5wFiKDawcUDlejpvs5_45aEgR-Qk8rJiKn8FB3Fn1rVU74Q1MowqXZWzL9EXDNBUjBH4XqBozS=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uO0viqHmL-wvoxOWgO4xU8qsD6tlhf80FlrDlkwOVtHsuBKpo4fe6vkX-s3LgqkXI6p1ZN-fOnQltRL8fIBddXJ_n8veR_=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_rvpK2ZmzAEpPiNfWA1BO-5mi9FSYJn85aNgxMDYgePNb3ftlXvome-z8c4ekKNbsJa8A-O9t9M4=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sg5unFLvIUs4IBVRLHVF58q0guRLkSHkoS3BYpGoj70TGBaa1gKcV0VMSJEoJo39DbeO5RS0eTyhB1ETvZt_Qljg58GnIpbyM0SVy_ff8hG0egN1yDHeEV54gPiA2g2BM3Vbzfd6qhCuhjC6YOzGXqAjQaDLLjW5lI4K4=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uUcVGi81jOJvfV9X91yd8DPVxKOEcVbQf9tdw7j5ySb36ukI9LfJ5ntcg6q9GqHE_atZy9qG6ZpzeAJ2OtB0CXeYjS5-c=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uV8zknE6aA9LV2rQYD3sRDYpkjK_RvWS91407UK9n2LGFwhW5ptX8H7ai-y1mNZwOG2dfqAZUaq4TuHgEZ3M9d=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tZqq-tCXMtMSJb3MGbEPzY708Vy7sQ_XzNhl0peT63y3sUt2kxE-CZPHer69VHAsaW_yrhSjZT-qih9Ab4PPbj6a2_Q9iqBqDG=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSzJr2MVPUtD714IDLj-J-rmyddirX_oE7GUhWra-_3oZAfVBzkNoLnMktcEZ7lGgaBaTrDSp2W3g=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMpfO8FvfwoIGLGLn9bAFETMuKobUC942W8M4AwO6ksTmJJxaz0UlwVNUIlXJbuPRap4B4o6pGDDsBxaqJcNEO8ZPppNV9XQ8D6e-hzB-Tg4n7UxDfeSZ2v8m4avH3lpvfTyEYBDvAAD8uWZnVo8kSpp6ZSbDAg7utkGOVpkLflQj3l-U8YtRoQkRI6jeNHvKEi1rKEToUPRsY2Uc8qXD4l2wUMIie5xZhJivEahmfNRp8g2vDLbz1S1sRTiPmRnaGjJ7ahbImOwSt7bsxK5Q224hqmYyABVXd6woihyf-jCq9Vo5DdS2WezxLhmOhgCc6xmbYvH62IM8B1ZHw5U9LSoWzew5GmpgOBANk9MnAGIPRlLpGLqPY8RY17_afUwjUCdJHKlUwqlYq7WHy3s2WOTjtV4fYHU8jH3n37Wcsedtckhk4J1K2-hR2GwZwZbeLiQ=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trtizuAgzxfiMKCl2TX5KU2JwtUpmBmTrUDdLF4rrtPNmeznqOxVEhKAZ--asnJvmSQ7GzkKU8iALzx0CY9hMOuDE24RK1=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ucfEKD9kr9X5sUr_Ueti-UJs9abVwVGboMtw3WsvL3VAEi7isuUeECIaaqxSszmmTA4q--zTU8m-I5E52KWDxfLlhRMspxhdrHRF0Y1DaV=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tEaT-Ap2uOFLlrR8SdbkshfwqGjvh3sAniMMAT_ek-qC-zHgIyxNluVs2LwmsJfi7Rgwz6dopp-frxOXrr=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uCbJiaL9ilLj1bAtZhLJUFcTL9P6KNKPPl-j1r_-SqS1Y5D0YITvmi-TSPKRuKAejr03CnGkugDcxPKXNPfJo=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu