Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sbyAhIZ-7bmXDwbVVM85jiOOeU14t5gHdFKGIaHTQ41oCfQy7mIXpwPKgwyaEgduW6kr6H8NdaB6yzr4C-5tA=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t-h2xFjgW9-4Ca516BHWAmfX9FL4B6D0P2vNWi0aIWJB5MPLxmsrW-3HvuPSWpHSyg81HgOOt4X2VGVkg-C3Y=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujlIZYmKm7clnE6ML7dkmxEY_nUIl34kvpDRyQuqCjIvRgGjHmhkcEGTU0M_GliChNY-1FaUE84DbhflvNFXKrwDt1s6o=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSvoWUec2YWruUJ7Vv8blUYhti6PIlX0Dp7SqT0IR4DRZfbyT7QvtCABAmy33bkuZZ7ncWDnCCYppJnz0i1EmnHJGyQA=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skStmyk8sfm_FfpQC8xzhsgoXeq4L3m1uAKbpBJtPKQEEpJcu6u0oP29qcNticouQG-or9kliyfFU=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tYfKHdV9nkXwIs6Enz8VrvTFErGZFX1Zc6z00_4CncCzU1onHI2qnk5ZDfrgzpno3W9iOy6PtBRP2PDA=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxnbf40qm-gTQOaB15Lxqfg9ZGnQQrUiX_ZB_U9wA4RUwkATbew8yL1xjvfGZA4azi_TyEJKnFJWgYHw=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_YruE519WaMOszV-IajbzA4pdcYx_dnn9p4fdPKW2s1CYQP_ePuj8oDTIY3bBI1oUGs_ZrPc2850=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skLy12HqBVnxKceAHWW-Z9t7bZHbxbzytsBt1CiFJcNrIZcqaCHNWZK6-Yl2sLcSCvxdSDsyiTZg=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v3giCnl1JXE-X7KhUzjxr6IdElMeWtdYOIsSg5Ka3TAISyDpzaIeA6bYWcDOlPKtEmECZZvbfkzl9nTeG6l1b2hRts=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sdHJRuqGvfW2AA08hSn0Ma0DQXeHBO7El_UKuLz_KkSYAo20OMZo5Z7yvbnKdw2qeD9-gqIomIlxLz_ITevWbKcyTQVXGd=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shnpUqsKNEmkmZg0Dp4cPTDScZzdn815FqWq8-GvOM7Ek0U_Bh0JAlsBz6rfdDtCQOsEU9TdffyAq_9L6_TdjsQWE8hPla=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhIzJSBT9zX90SBvf23FR6ACdiWBVGiZrgjZ_hEaHTwYmJdyzG2YyB7IFdSEkvfzefjlcDRdPRobgUjFEfrOp6NEsirI_bT8eA=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUTsGdWls4KfE0F3ENduojSvI1vXLeG3q132_MMLW6_e9uYg4n6ALoFBxQmZ_OPRgpT27FozgxZzqA_IE8sXqaMkKsxnVEX8U3Y_TE56ugT1KGYwcc3kiHVD-ssiNqvvzvfP9-97CgGm4yBIOtbSfINDMhpU1dGc-j9o2hCWJdyOs6-z7s9uS8eNE-dNi-=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vL1iMJu5YWqkEUya5WgRKriHNOAuQemhYnq3W9zTrBM9O0UYMvA_-felT8SNHDfq2HPxiDhNsCB_vnUuoX5dysq0L2O7m3=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSFd-GUYOppN5PsxmJzcUwO1tR2nF47ArERTN0v51-FLmh-dK42CsOtQO1hl91IfOATxpI1Xj4oe8=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDqrc5U-9nWNgXiHPNyKT8HhhBgUjnB9hPD41a5TsIWydJpByvHuDGVAs2JRn60MrNslqqY_liXZ6e65a2gm0mn9CSsSl2f685XtEFe0jVNJuqb0YbJIvxIgx65D8mE2S_NSmhAWbQkya9biUuUsIT3QuFwA_cZxdEBUE=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tBjQgZ6NIohgyO-4a-4EEPTTm4NkVie3NvXmO7tl7EAzjY4RBn6ye2aGO3RrP0jmYq1EfAv6xKZuEaAUQ9rpqHw_Qj26w=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sLiTnzrv_MeuyfWOacHr_YoPhbTRMRmyWz5xGJqxSBaU-6sz1O7Q2A1MBrF3ARrbtJHyOEFrE42QLryZTj_Mxh=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sx7mV78mX2yRASmoyA-uhwZPXZrSmT9OzLryoHzp-Yevw_zOVKIJt9uUq48lb8LV-LBVzJ0-G-SujuJBVJSFU99eMNJeo0RlSi=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tKjmnW81n0Vo4ZPLAKnXcTh0nhZXzaJdqkuv_RgIPpEg9hJ9yY2WIrrP34fuGcOn4XUcBkW2pYAm4=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzwdNYzIxVBtdith7auS1MG71TQAPHu3-LXjig4t2uXCXtcBomD6JoXQq3ZkVAble65AHALZ9q3440tzIlMU7Qq2M75NTnj0uT_X43Nkhg-TGTMVaJObA8PWil8Erw_ZVI-Zv34bpmJ_0IBrmXJYZp4zrTRGZb1YOhcS_d6kpDDoTw8isO0A95ayW2P-86BoArWI9zqJnk1FP79QN6fgisWm907pGPnex_khHPv7rCnPBUYRwgC9osr06b3b6_y0R57VdBZyu_z1xkSbvuF06rv-m8q5Wubsm5Prv_Mys4Wj_RNSNLhU1uZyBrSEUOl5v1yIlFnHAQZfh1mzuY2ijJZeWXNI94hxPA_4aGGAeUvH9ULk-sf4JWUlRIObLSuunKFjneb6rFGMbTVkIuPRkcj_VeAmAdbYtjvBtAqGQeNYsa0TjWaUKNryRMtuiQyW9YSQ=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgHEtUTWue0sEAiZCGwDsX6TdyKZdfMPI3sQHXD0JfEwq9bQbdl2eBnIS7HdkbFCgpGKMnCZldxh2HvQEOtzoblzDV73V2=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u3d_8O2lLIdEs22MAGC5s8fhy60VjSNuuzUnmGeFZTT0YYKUbvXZQXetl-yYTP7gqt-GFrKMHTlVqeTbFyfs-1DoHbOE-Kp1dQdYn7yWtd=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vOxgzkY-hZHE7VqRi8AoDWEGAZpDhsGU7aigrSsZjBfcq5inUmvUsQFHUnDXkLpuzbRCdfPkvKU-3-5t21=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vp9ehaOmVoHbW5TLDmgdweOi4rExLGe-oqi_OJ1FzZ2mAoNRexpYPYfjDwxwJN-wNOd88rlrkjj6_jrMcMZfA=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu