Olá!
O que você acha da equação abaixo?
![[;7x+5y=2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0wZARNclFbgqNgrwHzC-cxHr0DdctmpWV_U5ijdI1XPJu0nro8OIB_6P2EUoIenScTTdMheTOaMjfCH7fXZs=s0-d "7x+5y=2")
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma![[;ax+by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vkkHbP7kjHFEkudsrQ3z9KONB_Pk-gRw0kVl9fe7IIWj6D55ailTo0n1byr64wDur-AJUjbotbV1pQ4aSNvcE=s0-d "ax+by=c")
onde x e y são incógnitas.
Antes uma pequena restrição.
A equação![[;ax + by=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vsnJpR1Y6QGDWoIzclkkVtR02E1gvC71DJ-AE7VKUfPP-csI3GQMZjDpgf6fxgSUKgM5FRJre1uhX9S8NAIXFdbVKV9EM=s0-d "ax + by=c")
adimite solução se e somente se ![[;mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s5VPLvjkWLwipRs_eVp2x6711JOpcJ4RDQpFsG9obAN_OJBKsKgklPU9dsch2aGOZ0wfVMmiVcgniX7FHDIna6pxS0LQ=s0-d "mdc(a,b)")
divide ![[;c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sU_l015IQ51rmSLlS4v-beCJZY6wc2yhjPSPPDga5LEwQZ5mQX09-ZbN-iNA6_JWAx7SgV7ROI9qA=s0-d "c")
.
Demonstração: Vamos supor que![[;x_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2dEy7u6xSGSuoCSAQ9rcw0C570KXYwiTuz9ArkymSXCdbsgeiA9IL4QHvFG2qSOaBURtl19rzxef2yQ=s0-d "x_0")
e ![[;y_0;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uZzJbIcurDejMyeu2feuSJVoDkcjYddEKWy-il2NvcsJHaBuL2tBKp_LlxLMeypeTAzh-8dtoZHJq7Dg=s0-d "y_0")
sejam soluções das equações.
Como o divide ![[;a;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHaTlneCQcrwLYD5QYlw_sIeRZT_OkdOZk6lG8iOLqLEeyc84ZnkMW6yxh793IkL2SWHzi6bM8Dpc=s0-d "a")
e divide ![[;b;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_stD5oyuaKT1vpuKELQ43VinbnvDllf_edN477jD03avYtgIZhfPHnG4twW2YsvZlZOMpNOxId5Xw=s0-d "b")
, então ele divide ![[;ax_0+by_0=c;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_P8pZ0Zoc0cMLdaax6Wa-qK9JAhsHYhaHnonpMpGwyGPLfEcJI1a81SeWwYuiIvjUdKrbarSU72bBbwUJz3Rdn7CB=s0-d "ax_0+by_0=c")
.
Agora, suponha que divida c. Logo, ![[;c=d\cdot k;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0kTRfYCx7TQFBcpXKHaHoADS_3W2TwjVA9F23kpVN5nEapRCMb2U-EmGqkL-H6xMMrnL_IneZF1Tni-4W49pJ5yJ-1PGn=s0-d "c=d\cdot k")
onde ![[;d=mdc(a,b);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tTXmfBp75qofg0qYv2PHwEj_m25nH3dXBZt5U_xMVCac75x_0gwQJ71K6Dxo2rgxNXchvvjwvEINcFbghJ5ZCqKpRWBrNH=s0-d "d=mdc(a,b)")
.
Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:![[;mdc(a,b)=ax+by;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_un_4covknspfuoyhPDsEjdvoCTQvG6v2FH1A-LAi2CcPfQ8FXcvpKusr3HWl1OvJqyYFBfF6VblwUjFcAUs2BZoP2GZZa8ZzAA=s0-d "mdc(a,b)=ax+by")
como então ![[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uKE2VtEdEx_rbBLodIE-i44mEzeFHcK5rFr15T0xfdFtV5q4Dq8wXY2Fv-Go7iA_rT6qOfb2elUWmpJtyBtPO1GKCGa-RcV5f-DLhl8_Mqxit7maXk22-rZmvAYJPqLJ0Orpw8NyGT8cy7GMOmlqXz9v8T7EcFS7Au3lL3ghxN3sFU2hfUnkyYe0hGEcUy=s0-d "mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k)")
C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se![[;mdc(a,b)=d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDNwIg1xbIDTQDV43-itDWNqipZXfGvBCAmR8DNK68rvOrvDD4QDBkLWl4HsZHqbHz7hv4Pqj-dmr25DJMrgvj3SETAQyp=s0-d "mdc(a,b)=d")
divide .
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por![[;d;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdStjpTguRtTC3uDWFRFFW7r-bXfJat6AsQjxi0vHqhmb6V2N5tk0Tg1bmQ2TnnXPs09DhzHKGJ-w=s0-d "d")
ficando
![[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyrNTbTFrgjh5qMou4VkB6Q25lj0e4aYlNf28QrFgDx2-LJB0-B8TorOUqWH0q-zk3kP-1GhChtwuNQQmB72ojPv4XbKZcrVr6GsGhqspdPbXHKLEIoL6wan5Tm8NS2Cog3biKJCLJHrHG8WiZW3gT8F2im-TcsHhjRHE=s0-d "\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}")
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida![[;(x_o,y_0);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sohHsalVY8_BhfolkWZEkptarXSi9Dz5df2UCHBm9QAu2qJ-bF3isYkvuPF45QPmD-Q8k41y3l0qKfNFOdAyE0G008FnE=s0-d "(x_o,y_0)")
. E fazer:
![[;x=x_0+bt;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t9W6vHKcGjOA20BzWrKeuDqoU7NxPcRjZEQHPKoiZ7_SBKVO9cgn5FFq6FcVP4Trhrc7PfI5uIn97rjZ4leoSv=s0-d "x=x_0+bt")
e
![[;y= y_0 - at;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vtDOlQFAomGehtkbqdfXSKzY0ZWO7wtokEZecBTA3x4a7vny8KO3kKx5tyWApHdluE3SL29B635uPFDW08b36b4Z8h-fmqJzah=s0-d "y= y_0 - at")
Onde![[;t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sKEbXxauz8HvUQZsQ_RcZ8pBKDoRI0YIpNOACwcFKK53Tm2KhQCiIgHKXDC22bG8KiE3YSrj1LE_g=s0-d "t")
é um inteiro qualquer.
De fato isso funciona, pois
![[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v32CZ-FYevCW7XYBKGr-KiTx1rVEUqyAY2dFoHWFRPHSqVdsIw_XKHk1Se8LGNuxiQjM_MhOCgsXSc8_HLWvtnIDnzhT-gPeENlIABJNy1y5eQUtkh2n6SWPWhQYPihtwG3FpK4-fKQkFKTbla7fEdQJVKVtTgHhJpvoCA7Tim5H-Jzu_mdUXVMOaWBYUVEvZrgg7J_3dyUXGtPESY0meI9rFPgXSb7bHPB5UcP7sHMcR6Lr0bXBEsWVO95eBxz4eE3HM9kuP7QBAFcGdqfpKtqWQW3gB3M6z_vVpuuYZNkyhMEWJ0HQIwDG-Q3UgbsjwfPdv-S2klX7gQVSQhiGS3TMHRzSSqFaAFwv3HfKqCJ1kdWWTlyikpdvAeESANM9-0C75ImM6OHEY0FrU8Fw2pfxYi_UEY4rMlIk8U65vMAbK7zg00jPnGcb-2j6F7e9cUaQ=s0-d "\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d}")
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,![[;mdc(7,5)=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMAMv5NV82xXCH5gaIeMMmQNnCO0tFcKYLf3kD0lq94V3y51GN-zzpF9eT7ty7QFcRzyRs7NTCL1eGPpphnea5noWXg6fU=s0-d "mdc(7,5)=1")
e a solução particular é
![[;(x_0,y_0)=(1,-1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uUXCPjssn4DoGtO08__s1Z7S85xOaamvUS3GV4K35bW3buCVuzlJUmFDq_WTVGkCFOAy1OkEVLECJgOEjbmnZccVvy-nUzvqotIx-5UVfV=s0-d "(x_0,y_0)=(1,-1)")
logo,
![[;x=1+5t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujeNy_Va3PtXep4jP7PGmwJUgFx0ZeE2kTqfTZEQkyV_zz2dustQ8AAtm2b3fBbrjJVX-vfGHiwhgbdblv=s0-d "x=1+5t")
e
![[;y=-1-7t;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sv8_oXsC49FDpJY20sygGeMGo4nUoCJjBN29tzGycClhLgIys1btpcGJ5ZV5BubmlaFEg5CnsR15lctIECvww=s0-d "y=-1-7t")
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
Bem, por hoje é só! Por favor, avalie a postagem logo abaixo,sua opinião é muito importante para nós. Se você gostou do blog, compartilhe com seus amigos nas redes sociais e se inscreva por e-mail para receber nossas atualizações.
Até mais!
O que você acha da equação abaixo?
Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?
Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma
onde x e y são incógnitas.Antes uma pequena restrição.
A equação
adimite solução se e somente se divide .Demonstração: Vamos supor que
e sejam soluções das equações.Como o
divide e divide , então ele divide .Agora, suponha que
divida c. Logo, onde .Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem:
como então C.Q.D.
Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se
divide .Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por
ficandoisso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.
Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida
. E fazer:e
Onde
é um inteiro qualquer.De fato isso funciona, pois
No caso da equação que apresentei no inicio do problema,
e a solução particular é logo,e
Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.
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Faltou mais exemplos e exercícios :(...No mais, gostei da explicação
ResponderExcluirBem, isso é algo que eu já tinha notado. O blog esta meio parado, esperamos voltar com ele ainda nesse verão, que dedicarei a concertar alguns erros conceituais que eu possa ter cometido, situações que eu não tenha abordado e colocar exercícios em todos (ou na maioria) dos post. Obrigado pela sugestão. Eduardo
ExcluirNão entendi muito bem essa última parte: Observe que sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas soluções.
ResponderExcluirPor que você deixa a sua solução (X = X0 + bt Y = Y0 - at)em função de um parâmetro t que é um número inteiro (portanto tem infinitos valores).
ExcluirE se os números forem primos entre si? responda pf, ok.
ResponderExcluirVocê quis dizer se o mdc(a,b) não dividir c? Bem, então ela não terá solução. Para demonstrar, suponha por absurdo que ela terá solução.
ExcluirVamos supor que o mdc(a,b) não divide c, mas que existe uma solução (X,Y) tal que
aX + bY = c.
Observe que se mdc(a,b) = d, então a=d.k e b= d.l logo,
com aX + bY = c temos d.k.X + d.l.Y = c o que implica que d.(kX + lY)=c
o que implica que d divide c, ou, de outra forma, mdc(a,b)=d divide c. Mas por hipótese mdc(a,b) não divide c. ABSURDO. Assim, se mdc(a,b) não divide c, então a equação não terá solução.
Agora, se vc quis saber o que acontece se a e b forem primos entre si ? Nesse caso mdc(a,b)=1 logo, como 1 divide qualquer número, mdc(a,b) com certeza dividirá c e a equação terá solução.
Espero ter respondido a sua dúvida.
Até mais e obrigado pelo comentário,
dudu