Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyDyLwfoOV7Uv9zOTB-5wepjtG5TFHS59Xwkyqm7110Rgr1Kd837bOdZiCylqMrBugRGx8fpACWYIiHcXyBIiZRxAr6QiWAGJLaSVAPKosLmBkUOpl1VsQu4KTyqGdwcERPtFYKDFfutKhPwqix725NPysQhyb2F2WRhSpqc5KzWqw74PDfqTGULnjM7Qpcxbt9LlDrl-4WSUKcxY=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_to6we40-S7tTQbeGfOSy2IVbqBAPOF5kKk1P26daDCp2ftRfLhufvvIkvugdbnbSQ33K0orGEc8gmZZq7I-tvuOFIhirD_dhoLe9QG-m-k0eQpoNYAmJwoKBBpeRHLKdhnWdR1xUGldguCAvZQzzGYTPRT9woslwXkG-U6q2fP22t5TiJqrg1QbzBlBSjh1rBxJv3T7rOQSl33ielVHQYTIdt3bJVzaeC35_84-vMtYNUZ_T3c75f61YCdqGGAst-3fa0D_NOf-H1x4efV2rRsT_RP1aLR1mpttOPOPUD0Dg=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unATD6ICFLtho0PvurOxtCzuPVRPhVWsQk2_xJCsiA9MKy6jlrtjrNVKLbf6CaZNjZl-rOLZ_Oyy7_9lkieifN_Wk=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ui0uglUkXLP04-kNFPjh4oWS3H3tmYsCHOON4dZeqD_HgBEBs0FkqWS8y4GAi_hZX4_uNtKvnWVh8QPiDrDH7Otsg=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tYlUJ6su-hz044yTkL2DeTQoY1VbvmrTsqlqRQxm-g10bo7oH1zw3XR_1w_r0pZak0RQiVMw19w7e5n1G0bzQB=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_ySzo2PinA1Ay00uoDL10_k7DBBrXkkOHI3Jg5rZtKFuhj_stXiqT3W4Bq_WBVZjOdqVjqtPikLyaaV6DjSncpeE=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sUdZ2_XtOA3neZ4smQUxL9GSTdQxUfZzjSixZJMvX3iaDOhR7k4esj37KITKtrZs3xgP5yFG8QQ9xUvpf9-jTOnNo=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sksvF9w2KJYbFmZ1mQsOFTOrNLT1oCU5aLqfSNUa4TvtIgyP482vfpR7C7MSF-5ijB8v6Z9DdYq0cICp8xy-I=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tDSpmFFb4II9VcV4TmVYJR8LCELnbtJJkliDcT57wJLgb5A07wHQeKJHHFEAo83ScSv7xDTarUYbEj2w=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t8X9WSKJWWNSS6JCXvlPR0uCNLITjerZOZ0inCBprPuXc5Am3NYodvuS1iUwR8bxODm0QutBSn8oerACZ_v_pm2UHWzpY=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vErJCaj4jFSFECQ_i8wUijY9mSuT4bRkBa7reIXqUKSpkFRMaJ4Yw9zXK0GrKRyiwqaxzsP4WuX_e0naSnztKxei35q_5eWA3pPEnLVwAzmarwyBGeEOUmZg7LVCkoreJUDouuCbpPlRl0LWq48qwzNUZL1o8AwU_eCXXYD3x5XgBXRlWTRVNtFa97lyTYPfSLEFouPNKtkNOFzsOTrd1I7l3aXSzXhA=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSkXne_DMQT4h7pqcHg4wBcQKaF-wuA8ju9MetAoLFuhXZ4izFWZhVoERanhhkq4jUCm7nfzkDJ9jubT5F2kh4ktJdD7MuP_KlknARQI9BXofbjCqR=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_umB_SsguXEW4Y4-eff14aMt-Vj-k9oHBH4uI_ywcaJ7uCKVs7Jnt_HDWpTjw1dSvtL0qAksvo47m3fi7MRzPRiC9xdO3gYyyx9_FsktGw4LTHbZwlsZv2h8pESHd2itQaODBIkA9tdCnsHMI1_u-bsPtUYbrwh00guB236mOi53HLA09C6bcuwnt-9WcX7OU0sWm3GHlaAD90tYOu6r2AclJLfsvr4=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOR_XMhopcJrLRNwtttbZtKwUxa5MyVySU5JJulJKj5ZrL4Q1FasAwacxU9gmoXC6FrztOE-s8b2ic35U5u59qcj75uok3a7uMkms5i9Vyg2RUI9QrrzLDv-dddWDxKUo=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snO0sDWS1uN_QumgRYbylWyexe0aeLn_tdgHTqPyHSWO76B5HqaWsIRE6VA5mrY2jWj_5VMiWAhiqq=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_szlUIvoPrwR3Zkq431dqfRDJq7k-ViuaIExNq40D9G-9i5qcq9VbEGjtD1Av9jG-5MwgnHd2D9YmwvU_rdFcygKEc5_XcEFYLxYLPjN0Gc7hHHP7WhXLpPIsA2ZdiiXq0k=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tmvXH11l8eGjY6kam8CGUg-cBcQQ7d7GzJdgBNlaoKlOli6BVChK8R5AReBAiQt8xI71mLDXao-H30aQ=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s69hLhMZk-lE0J_8sxH2B3MacgycJFyyCcDA1zhUZOXvLNDr3i6ZrwJFovz9aSFOgDXbkY1JfH4J-05zzjGXpE_c0fyw6ayxNc3ckhnJcp6_1C3EWzFI5dX_Z8CSi6vnpBN6r2hoVbGVgZShR59FeR8GSLMN2uAvVenjA=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tmS0rT1qIfLbzKLkrGgzs105AfYK6b1YJSovlMwRynJ0OWJq5-1ivOMLjwM5ZAc6SvASAEUnLZBaasag=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v05h5JGeM9qMENU_SQVQHsHKdp867Y1wmMZNmf8i9fX3vj2kzj4v09rK_Se-TYzmrW4r7rHsLVHuR8onFxVXGetH3IZou4z2PHjaYrQda8cqKHFRBm8_WLq8FnnAWYK15hRaI0dYku-0G9AsputsKTIq4Sg4grn01I7Q7T-n6T39dHvJHQASKlF8FqP_1nCPT-x9KrOpnAXlszV-azjxFg6EeBND3w=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t6ruKFPUFz3mFpuPzxGBDMmEgEqsHwtUOlbXLV7dR4MuaH7ppx4u0eBZNXQ82TLD3OVJcan4CchB2hsw=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sL9nMwUWjvypvFaPiJ4ba75WpPA5RPwmWdHZmqF0AvC8YJ4k7-nEzDchtOYfVSVVRFK74M-dJFRFZonqqT2z94C_ArC1OeTdKdsgKh7Qe8_H-MX2pQ0qGsNOZdwOHpJbNDycq3adqP2AEul0zad5jf92DnSHMSk7SkMJdYeEYLyI_HuE6IurYQc3B5W0z9TFVGs2nMqoP4vOkBS0NsfIX8b5s3YEzoX3cUXlU4ZhgzbU5lEAbVRG-TISW6NsD0eD-kDpgx-TECBFmE_ugAxZCfDX9cS04ZNT3ug4Mcwydy=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugDquHHGMLDgt5WV2jPGuSEXknL5QzEIEeD3u9yvq6jGlb_MI0Gje_yeloe--perYygIPSAYdgrN2a4w=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdQcS3UpTLkQ9ZtmcMznpitFaXaEuMBdOxI1FFDq_OAI0XXvd2IUjzAoIzqf-YImt4RLFZFrf8Iry6MDUq8hcYiAiIacoKt-e4_8csz3tITgGa8-KJFGiyM1ddES9mOqF3nJLobKUaqxLYWZbu5rBGkdi4MQwrsXX-_Tiw6ZEtGrtYl0hY2u__epVH9lsrZbufywogHoXbnNvmex0nGg0Foa-fHt65zq8Yf4Q=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vriCVDSDX0dK91D7lPupypx6dU5sng6lIuBpprBnpfVroyHLUGtxGGHp0QwjVKvA2HoCsZBbzNz_sJG0jrGRH8Ff10F1rE1ctT7atHoLEaBHPmqD7NmqBYwuPezd4Zmd4l=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQxTZ1AHsSvU8seEeNope2sP5BjF5kr4fyohvIK_SEut1VAFocWi3xLjgxaYJ69cWRBaO4joeW1p698l-fSnglMreMvsKBxQfY9wzS4PqT1fDWEFWO7G_OoCvPzSXVUbgDgUgSm1tYkEtx5mbyqvN88Abw1qha8kz3=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vGPgAv3Y4gkxxf3XMcLGVFLyXq8TV_6R_OQznex2c2wIFO01uHm7Uk6f5OUi_llVzCYdyln8CWN3sq2N1ugTiKNqkeeVsXhjFJV5bQw1LoDesZl-Fuzj4QI3P38JZVM0SvN-4XPMNckCyRZPxoatBnIQt_qOGCM2S2AU62kLTM8Jm3JI8yLlnD4bt6YzIy94eycNcFhTJnkKmdj6lEnPxpN0YxI-f86Sra_y0HbHeAz8OizOd5v6Hv_ReGN3-09V4=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uk4AFvdIjaGoam13JI3wskpJRXsyvzwLRmghu70LHb_vKSyrf5LfFevngbTtyjl8oJDKl6_-RiFPZyaVi2p8wnKa-e1TnGA2L4lhyiymppupfwRX0niyet6qBClhKqMwVK1oTnIGA7ei-utmMdLmP8Tnf7IOdxlzxn4sIkKSEBWJzr0nbX2Y4q=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGKhzbbFyOAcACGlJXGOxyAWvfykKuSf7HsCeO1Y262W6lw058XZJKCDW9xHCGhL2ErCCamNazWOJfk_i4JwNyjTMzQFOKxMb87UlMA2l1wZuM9H5uljsurkDJdegLPQ_vZafbui2jkv0cbLkFhBl2fA=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!