Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLbk5tmAuUFjnpbW3ngskQamFDVaaNCm9Q0bCJ-tajmjh_Ypc56aVgwQJ1oYJ8xFhux8HLvlUVULkiSv9A7xfzO3l7VYiQ8pVTCNFcrPqK5xCAoyyMCSlYbzXTjOI6fI2FaBlSLs1YiMgtNp5pMjhJpH41D0_5eot3mL_PIKXx4cmhLI9uIWhajvKH9mmM4-jPoFbEQ-usWI8gD64=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tYNIykJznWhFl_xxk47byAaL4yiVzJsuHWBOxJk3JUUFNrlnoQOPb36VtwT7Dz_kXy8dplS_QfJbqk9zxjM-bghPT5o-otM7cY7QjHc_IR9TLjhEyaS60_7ogV6fMXnM84abzlrraH9Heg75qT_AKZeyLf_jZXAFmiGfuE7o17GOUYaGDZta95cP11kebjcFqfdaM-tSk1gS6ff7_UPZ5umGy-AmO8FbQGWYLmXEBtL3UiW7gumiM_ccDlmUqK3VQvIJbAhV50XT_7fxjTJ-4BxpNzKRQB8xVf3VbveLzRXQ=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uCfbuinJJTf6zErCIwbtboNvc14S9s2Mz6pjxxDpjDewFvTIxzIQhWiq0xKSrJXIDdtcbfeANydGMoLALZ3IxfxlM=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tH-OLLk31fzvyq5kv-mjV7zbzUN1jp5qGtGJHiuclXcd2zu818XuRY1LcJKfh48JmIeM9peW3UdkzB9WthBjEtQBk=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tyYffSNedSyM_5nL_3SPgJepUQYhItewOnVgHhykTa5B9z_JFzA7iSGk0MR4xZKnwfYZeeynBonpZbf63R5lGx=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5dzUQfoaU_TBDXND3z5nvUhqZAI10Np78DgLphoi1ArPWaiO2cVc_oqwtJrmugqxhxltiESS5KCSrmOYbk5uIMR8=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_urxNru9qkDg_260KEEQcMARHI-ttxxJGJmkmNOdsZk7Uame3BsK2JOvHE0vaJC5iYKUyV_hoDtEe00OQcp-BQPFNw=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tcDuEHHCFGUihedDv8MpHJVf34xLrCjl36EVN-hkG2CI0tR3aG-t84Adb5VWZuRnhsEL7HNqAzOksUCL4rSeA=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_suQ6sl7rBtl5zH08igt2YS2NmwYjVtMc9xQzHxGSwTeUk2SA5cmrFDPLHOo8S0oQLTluoyJJ7d0xg2Vw=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7-CcypmpISsh7WByMr6idNhoPIFLcUqqnU0S4VDaioOWVA5NV7kOvcSU3FS_QE1YE4PFSMOOpb2h0LiLFI0jLlqaJIHU=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vi1K2To2Gzktjr3BBKamU83uPsaZkmntDkH2ze_Y1MPz-8ECii1n_bTUtId_O8lwVQDOLZ7B2Ofkq5KKdLO0iv0IUQqiGVx6Rw2AfxTnkePkTAyHiT3wbBsLsgQNPDTSJhNVSHj_WUg1Vg6OxE8AKYXymPJMND692GNH2b7lpvyKCGZWK_nWZhju3wXbcnvfupytMlJX9xQKkRvu6jdG_VArH3b_SXlg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZBlQC84x5VJcc6xt1WSy0v-6U_W40vHnwqcIV8uOwdnMMbUaPEVwrmgwj9cKBoo_3XHCf77hoGwQJ2BMsi_L-Dvd6wVleL1c-4VxdDY3FuPr8jcul=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uSl8TjbiVt3-F7SyPr5hGgg4AX-gTXjnxmiSRS6IxzBf4p701gf6nchO-fp5PX_NtGjarBVIlWlKhA3sUjLvKQB_fJfU_GQGFrNf7epnGdTFS2dJbAuY1sacYUw6WzcZJFfq1bwsWuaSTnGxrnFhloaONXLYS7lOmK1RM6cLHsjLkYBloZlKri8mrTZnr-JUV14fsvwS4Ub49Xro2KQYEO7hVBiSds=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vN6oA_tUb2LoDqbsniMD7-Uffaop4j6C3fw4Hqqi7eOkvS0XZ1oOTXAuMKidPj1N55GcR-dDrkkE8-ggjHWUYzQ4PgJDxSvAdYGrtmXr-oQdS9Cxv6kmIvoUCJ5rfrXJI=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trv9m5K5g0d9DMhc-wEFyLQi1j-06S2PtldNWQT48FqmEqTWPciBnsED3tffCX4htsNenBmchDVyY4=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdOJckcXRV4UFCvWV_JRxYek3NgJwJ5zrHfWPGlhYoKwzGGp5YL3X0Z8krkhXfTI2iTFdTw-6jMugz8OZNdJF-ib9Sg8bWpD9B5H004EBpxZjKwBj0_O7juHEh6dHC1HU6=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4FEl6ILlbwZ-ePPNcSHuJ4WyKfFAR3a-HkR8GjUdQvvB1V7WiLcfp1zkCE83rNO-iY1AZ1Y-3C70m5Q=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrqng3UW-HKdiZ3hIz86MJzmb2cGWjBG0JHivoEOuxp621AdnfdkKSZIX1pyaDjfwxsreFs_zsFF6XRpVOptGW6SciQGKGo5dEv0S26WCTeEpp7WxG6h1kyfvg_H85J-IKA__WsF4T4XA6PNrwMfPUilaV6TUzyVnQLTg=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tG2V5tuB7149S7i5j0Io2NMmXqZgnCgTFc8BIjoHS8lsBiuKUtIAy8oK9w3w7nsfRZTb40D0Nx7JFikA=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uAuH7fDLkUVnNPBjvJEMcNm8Yt1mW62c4yBJvID3D10e9T9midzemzYETPWrBhmEu4HW7no9WhiF4zAG4rnuJUn-GocPIwLu1KWzqbMERDkvqE53muvGy7LgFJpamWLzYdZMUlrUMFn7bmGsT3GKa9NvpUiuQ590D4Nr15-RGJYbgZcYIoXz_-owmFlwRZeAQ4ODJ5VQLtkkBiD9_dSDcscIpI7Pa_=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxoXdi_Br19ZVV0LZOTezryKXWh34yQjR_pjeQHiOuKDWy3ER5U3Cv4Lf0XMJKSrq1N0rBmurfUGRZxg=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vIBRERmdmZ--3ih6DgQnrA3NKiCIr3XPB1dhS77l9LXymOVjUN3_hyvDZEb8BILmDIn4HL1RweHju_DkUanqy7bw5XwZC66K2vj_silWvlrcXczLzxJDI-68Kso4g_JnzYPda08jTBbeUmnEAl4XkMWLuBSC-9kDVjuEt8xyyf8p3u7nR869lN8tV5JmbBBB2kIxvfjRCi_I4D6JrbnC3lLsek9_lzPm01gCpQDRk9U2x51EgJMojTYtOl356STzlDpZsaWQl9PT80JuGi0kIYR168XmyaAO29l6vbtyyM=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uz1UTrAizel2cPzJIQt4ZeoId6hX3udIUzZh6y0fvG5jIWp5fV0aulzh_I42grhSet_0KiBZFEYBW74Q=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t3iqVhDpd9F2lUyT0QZRLj3g6AXcgRZ3IBSyn75VL7lxGtpWm7iTm2AleZuTS0A4Kp4AFE7Eel0QtwmaIjJ4Q2WWPZKC0CSFcY2Ohsu5q_8yUogqSgLCSFki07DpVKfrIN3hltZrVr4bsUIi6ALWdBGUjIC47qdZz4F3BrWhMvwnWoFCT_rkQQf67dKlg1Xjfji84nlUGSnLT1zm_KZ53PTKcSEwwWkc74U-4=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1YqfTA7BrEPkmKYO8wj5LIW0K283eNx6RErWwjzsvVddGYHIrND5-NqqQvy2n12UiYVHDINxNTl7NRywNdXwkCYvRyqIYyH55napYrIn_zwu6UHCYdDOfx51FkfeVojyY=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSoUrbiYmyI4Sx92w9VXjzzmSmiMwEzeNEo66aP_amRoZJAfYXsYMB_ZOJvYdDlhnUUudozwAs3JY9_LcA7ziYlYWS5BhWVZoLTwYp-_cOP_OpwzYYcn6Q_3Yiio7HpolbApV2W7czyr9pHHvj46YvC32674c-TL5n=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_srFYqAYPwsljhD1sC4SanIVkNe2qCDKZ0AwMAJpSqE2mG_RMTQV8syEJSXElyRI7xjXM8CFqO4Vm3G8o7KiXIcYKw34izn5uGKvWJIpj-RJ9bi7dZZoTRhOwaawL1VA_7oQuETV_iiWYKxzzbNMKmdw5aZLYNmSuOBSWjKBSRuiWa9Lq_xVZSbtTmIzyVS6r71MV8ccdFi8om6Sg93QX6ijNPAZHS4tDEbfh0QBr06dSSjh3edZ4V4AscHuNdIx2s=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v68ifCpwAOVVZFj0aSq_spCfSxiaXN7m6IcM_lSctxlGZ1fJBrNT6k3vOhgba-Z-nOdwT5Chp9QkPxycG5CJ9zIZGb5X-udE7r3ALTlnjCpYFMnOOZQdaAuO-zGqOgrpwonvkKhtV5Zl9mN_psmmdPEMchT9EMLmad67-kL7e2aaevAfNrB4jE=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzs8qyFoR0nhxmyv4hChbZmsi5_sQxlEBfNUWLxyKZlYPVKnM1qt5Xx9tavSZuXegkr4hsLdR3TuCOetwKFrruW7OPxWprF0J_1YWN_gn3tWkqqUSvOCu9l0BouT0khzLIQw-MIgnnzOxWa4wGNeyr5w=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!