Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sikBxmeymSaYYZSEBe6hj3e810dHa_yVIlT6flVb4JmxIngUQNNBwTL9g1xe5DUGm1WvbUhDn9ANyi8MCrNVq9Z8DsSed05HIJ0mx7UzAVDTD-Of4HBJWNvbddc3aI1pZdVA9nXzC1Hypo2_IzSHGtxYGWkMrvkZJPSdhDjwM93fFradGHRcrT-oKaQ7mmVwILm6MI5696Eyru2Ho=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uzIt5Ri22eQ1b4Ye-3qEAzLppjbdnUqheBy08cTKDBimgktrO5Pzqe98ZhjihBvm4pcLy7HZsoKWjnl56FISVHqgaoEhiY5lGdw_wYAX6XCXMveYHQxTZTX7WSyCrT9nWoKai8vNoJlHk_D67spH2MRtospS3wu9U00uBCGNkRSUiQQCyX06HwIPEoQpjfERwsmufph4fA_DdNERgMywl05cFSq5PPDmG7Q1YWvsM2-AKwM7MCdGRFPWJrI13iDrEOnlzwrN5ZrIp1xVTpJ8C8niEhEqpr0iZHylGblDoM-Q=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_slZFFVfKngYn8NXkBxXESpk9f4jwhB0mtJO-BRNSfksIRKNuD8AyEt6wrd3cdXAikGFY0UMF15GJhOgXxvtqtJdAo=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVmd5c8U8iCSWtXIA2nQvXh4Wiy3Ov3CYRtx5vOJ4Ri0PT5Ia1SakXM9PA2uGnUk0uLZ7qtXKfZ1J8rf48uz4ThfI=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vqM48JYiSap6kfbDKdqGmi6y-qzdnIOv740M7u6d2jq9WgEPgwerPINIj6O-rL3SjBimUlrdUhrTZVeuHyuwIg=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7Z-n5F08X_BTtXd7cn8iomYoOOHN4ywtD175SV7GK0umr5AEXNs_oWW-3iXeMdanBluKp_DuEDDLZEXdUbR-14FI=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMqEqhsYo0R5tOP6Y4u2ItmVkYDw43fmlBoNxdkdoaa8O6ISjtyxzb-tOlnBscnthgivuRkf3SVBhATnFY0k5cv3I=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vOCrSFdiWdKDXYJtzS5FJNVf3sT8gMwig8V-0Knv4Sul46kfiDCnI1zTHsjDjtdv_u6AGeoBVQN6DPUFiaJ1s=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_voYqo_WjZVZvs4ypldjJhfeUgkSh41c2fSqvGmjlTQ0S6wq2mffqYG08C0sgSVPb5jdxwG1qCvYGt4Vg=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7bsJOiKRC2LeVSBV8mMwdQEcyqIOrHl-RhAIo37FJF0kYaKJGY3MiR863ZFAv2286oIeTgL6BFCX6u6BztBf13yg_Lys=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHMH-WOZ2BL5mtVStpEjrUw-dCrIQ9_CFA9r3Vn12KcDQTmbLfivmrMMiwgPKiA9zoFLlKKEih5c1v3nXhKOTsZWlA3p_br0m8EOrek4Bluiu2gFj4SPUeYqf208yKPn8-pOvWpGZYvvdW6yIM6Pvpu4IMmHujvtpClGajUxJzuHuOqYutoihyF08cASNGaU5dy6chCxBoaAtCAL9s1q9VSzw_4pzpEw=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6U7mJnaiilfGuF4QNOm4Kvei9lkWdx88Idt8U0bhVuKNM2HMMDJH2m9dT6uSvbd5epGThc2DrgP6iKFyBykR1pr-NC9Cd6FJD14fV7QwkTo9ewGit=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vLYsBd_SRz92ANG-GaECLc0QqPfI2yWiG8Csi_RApf-HbP8dD-6nKeLyOXgiGmiQ7n8sFsF62wlQblUb0mCkTohllhi_H-cB7By4oLJAzgQBzQXcwJLK5e6pqBq4ehkEU-XxOJg2X-u1tVETpdRKYxJE7d3XADxJ-4X7mgMWFP2GlYUozJrLhNpsSyPKIgx3alVSiqCEit7_s20K3nG94es6Erp8Xi=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_siz11gVrQubWOVEUEDVmD8NBGrb8jKXQXyYGC8J4_JzV5I_x7IXj54pf5_h4L-8dtgDwOFMl7zsIsJK4KlehnFS9nu1pBsi1u_OO3DQF6dQm_zxJTOEP1iZGt94vWhEHQ=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swnktEy2d93LeEkJxDi85CFOAIx6TUvb34dmUwNTo93wlhEZ765BLsTWpA9BShgmR-Vplj57jIIQhB=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tukeleVtrnnMW314mIDJFtme7VAs1RgmN0NwFsPDdXikVRtofq5xzmBdBMg9BkEhmakDxGQQmBTchYzjLeTQeA2dvTUkvElfYSka_ZBYVTT9-wLEsnqhsySHRO38_7i9mY=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snEwTCU0yfasD_I2IUhCovxq2sCypOWMO9XXaLciL3Mmk_D1FHHufRmlCMShPDmZynBEhrnSr08nW00w=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s461XrABGaz8RbVj02PBib84i7NwAPARWZDfrbhC0ROkOQ3vyUb0-eavjHPZ5d_B8ql4EhbOFwY_FqRnCHkhA2lpRW49xrcMwwux4B1l9mLa_uhVW8i4ulY3euMWDpybhNwEqcey3D0fJ__5I402Jq9Y0FLNzyDhRiP7k=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twNDWFtEqyT7nsTCBxssUI-rT20uc3NCJpzPI5Q3bnN6wqSDFOUJ9c6sUOmGepAcnH4u8MzPtjoVIsUg=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vy4Iiz4riusQTdyhAAn8AVe4NtVQjmv6gW3LX6quzJ98ig6YrsJW6d3-dP47yEN_Dm3IbKeop3gWez0KfYvVI4eiD5xwL2VdMonULzJb-ZVPt9lbVIgFgQ4_UgFz4ZiT6215ezYOyIn1r98pxRcg3SRUz-M7HeuHsyMNvjPmrNoGN6gZSNB_eCxaNQmQwiuRUGtu2J4ZdAqBqvOl1fZDZ_oD1q6tAJ=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trI4hyFyjezzzD-5-e3XwFMgiVUykUWL5yEsaRNJRutyCpGYFVFWzyPLiSC72kdUpJd2zCZgBE6gQH2g=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQy9lYBv_GktfKa-rebKwfTsSTT_Z2dY3vFJMN2bmkznitTYMA3CF6lBRGc2CI4hkT5F-S1V_0wedVGXeljtAPr8BAEllbGDQeDhbtBDukVZ0O3nUpCdlkA1wW-o5TQh5h3Q4u9rEdrOL50HQpfxOnaoyaC-JZ4bE1OSX5tpHPEDUHxqLlJ3kVZuNGGUOZy-FuWXc5vyNjh0pp6L9NfrxaVtdju-EA2-NySQvPBM9anr2nHH-C2HKRkLf_XbcfOrkBfp_xuEpIi4MxNIfI_BVYPxK24prQjwpAWCmg6qvc=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sLWq8RZau_aRAscqwigjozpCGVH3mcxq7u1N97PvQO8nKXk8cnWQCBXJ7vBq13b-daSIzCkUgre8BZrQ=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vtgcw-rIOtciHar1PC6WhMjVTNZuip6d-nb1w0-XsPT3N2MmFhSoe2FvKTWqkymv73vJiR1Wc8ZdfjHZcXdVmZqX9AiVYeG_aeUKcZq8-fH11Y9f8j9e8UGB-topwAzHTt6Ump3AeOIxNBpiygEezQFw6CcZW6yIBUkS5yZFAHkBXz1rX1sHc4kC_Zf-rJjBbFRChuvri6ro8GDQwM-DWRDAgqPSwyvrFZMO4=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s4mrqXzutYJyH_T43Jtr21YBZ-bNbv5HwGPw1vsW6pC739m0Tf_fOwfzfOpBbbMDzhjMNdIWRVpxBirMvTze1fa4pI1PGecQiUEhZXUL05blAvtoanXU_zM3FrfjkZXWTs=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0hRCfFSMV0Q9TvMKZggSiQcODy10q04V_czNSPOpe8dz0N0iJ3xxQq7jynOeE_Fz4FEPMA93qg_2WOtaP7wNASQS15rIgWJCSnLeN6zoexWaz-Wh3i6nJntGNYCZii7LYl6I9Q3PvcgcWwzAjmBpnokOsohQ4wLFl=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uZqOy7_c3mxTm-saGQqcy7MDN7PH7hg23Pr7o0Z3yXc1i0SHBYjnMUGz3izxabzlVESnmj3-PjrDlViOQS1TbKZ_k0pfEf4mZtNj259b38i_rky1NZDD4VlUQESxZWzXjnt3f1AERueMjxbs3LIRRDUenPbkQYqgwlUPOz_ob4wPeTT56-gXVREGi0hoqFnvxMUBUD6C6_LQz226VQZI2xOclnNLtWHinkMoZyjdtjju_argHmEILx5eCfd0HsghQ=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vxPvVYdPLv3aiCT0IMS5eUbV9U3FWWq1_pRhgDAlsi2Sgt_5H6h3I_uauHnFJiO9XbgI4XkLdggH56Q0ga_07t5P6JBtUJ_SKMigjX3k-1ZTdYTBK8jK5_cJ52JrXFhFgj-Cx1kyU0SStmtXzNjGEmzT5T8IzuIWFzU2A0JKBOzQ5u0CzKRIST=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vuF2VaCdR7yXhFGHrJitX6O5WeU25CC9xAhNDn3QzxJFeoTXQzKpJyeGKUfOiuyOWSYU_Q0CAmLpwKzKLGQD0PHyAQDGV86ODvSjJOiCMEdrwfrLzIfl-DQ6aFe3L3pSABbTSBccl6pcuIcoSUT-S5Nw=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!