Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSXBpWl9JfVRScEN3fLN8wQ4IXd9LPvkbsOzukSfKd9HTa8Vw1aCyZsUjzHMNGn696ZmmiRbdQqmoVcaTf4mqntaeDgDbEVknK5MUkCGyqodP4KzIf0nynHYxu5lV69Zfr2Q4Hyy4jQMonVJIPGgutUuPqCTo1Xhf2-qvEmCNozkxHizKvoKMTRThfM3Y6RZ5fXiPlKLz1tjKWX7A=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sQbRrnsqYxjobJmdW_ltq7S2HHx5JM7LNBDWfPMtablV-2vcyB7-p5bzLpPUf0MPjSE8FhPIdv88dXDDrzqMFKUDT31oPpMtZJG29MOI0U5bfSAcgf1WDUEmwoMuaw4rT3Q-H18cOd072Np0xZ8LG24VA30ldziK95uXUL4ZBUNQCubEzK2GcaePriDbV9kYXh4ofNkribNKApx4Ov8h9u37ezsj5ngGuiMNgQDY9KRP6WpUxU5tyu52CTTxQ8uILB8XnCxvChs7MoASfaILhz9c0U-DLqeMUOPTc1R-YZqg=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vwexijOJUNwbjUV9LPaIhv-55em9HYH8He0_VPPwVLTsOs-HcfAKsPJ6a1wnImj595uabx91Rdj8J2rST1GT4iqqU=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tZGMudx4X2uE1v0ytwzzGOECfktuIRohDXnSePuiZSJekp6ZH05E_ARG6Yv2gcLA2Av6WcdbpoY-bUDvc6KNAPt1s=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svJeIpIk9IhoyJAf1S4ceF3eNTWJgvNLgU_g3rbsbY-xuUfExzlP-sMEk5rjWSmjJxUaRohpnhZ20CQQv9otRl=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tkM-zvep3iCSgQ-ETtyeRVbEjYtr0EDLcqu8EGBeC80TrrLFlvUaK8d8Hmye-CUw1ey9KXrfbXq4kOBR7MCcj0oOg=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sHdyRE7WzIzckeP4rGCh1CtBjBc0iKZefoqwhkzEh33MbsdslzWAPYaZ79NhsgvoSrPi5_zT3zKYggXFuCDBTIVHc=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sl32NabPlNsCJc48Kc3VxAJXW3gJxMF38z_yKmeyAhfSvqBNOZbTzCdeB4ykxkK-U-8vEAwp5ERYcVl1GpWso=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sCwnUsTg7UIZYXkVJ2tANbI9LTQEj6y87MmYOFUsJaS5foEgFp9PguqNEQEeQRfo2YxwKvX-jS7ukK_Q=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uyLKRQFTfzZT9J1LL3N4azEpI9QzbQqUdKasuMeUcJVqVk98g27ZDHkll4re3lSiAC6UWJyKOAdlY12dLYP9gwKkBGbGw=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vnEWKy0evmmWpMxFc60tyR0gqDOzkEjIisJrY48GOHkrmgCvUXe7OgxnbLpeY39nqLrOWUyKSHrrLIk1K64msGZw9DMFKy2LCgUBeNYfA34r5PDvmsv_Jd3cF6Drqi1Bb406-MMwWmPkK66b9TQjvosYRvKUAYmxq91FSUlUFD2tfVW9Uy3ggR7Pb0U50kh05Y-P1v79UvjBkVzVFABlRVxQpZN3ptEA=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgpSP7Vr-LlEbApG4k1UAZ6Qip31Z910TPxzY6I9p2BtKF2rxQOlqc6aaltm36J4ZWFgty9piJXBW7NAIA55q8dLEyJvX8BCNgGVpdyO0tmVaT9ke-=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vd5ErXQacz2F3L4_GfI5mAg_mHHUnoVjlwCvlwDVgz8_PjFwfzxqXmgIwZimFq9WYDVxAsHfRuUljD4UtfkXCOosaceHj-rNK4Mh4-C159JXGSqxx5LWClLrRkFCz8EctTFF2fnuMjvOKgpy4DHUMNCc5UYcRoB_43xdr0j9TvpAX6m37slWy4KbHVj8HDEGrcVQS0esiiTftE26MSJUQ-3o7Qr7H5=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxeSFsGW_XsM95GkzalF4Uxv0NMVMrTFS4QIYnjyt82tvQB_DKMpg1Xesc4xtqGoaIUOeUdFRlupx3Bjo4WhnIf6Q8BJxeEAMijs2kn4MyzlaeTs-DeZV96cNlFteg86Q=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcaD-PXhLGLO5aCHJIYYy6lkFawHDN2Q03IwFiv9y_XeFPjC6L05-bsuSTqHPX1wgMwDH2eeaBp72z=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u937qfYEjaTO8eCm1InnxH-F20K57nos0Nt2xwitixGUSjkcRq0SyzoLLtsBZ0RiZ50M7oDHgMpRS153Z85z1-3t8xmWXrHL3qqJDM4zGzit55TrdsvTXDrRTlBjZRjHc5=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMU3ywoK_uLsZX51z5ZtwjTBHRqxGg6-yfc6ZVgfZlV4UbiCN-L1n4rRQiqOzzPNHWUif3yRcOAChexg=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTRLaY0l7Ad4fh_dJ0m29CBJlrVS3eKZWWIsk4iH-GkBIt4doauw_BWw9agu9pRMgeT-Ch9yuiRTc1H41pkg6Hjve3UaQdM-_WPe50SfHMDoMoJ2ZNdSOonlneqRpmWbTAspsx7kCaoMCC1xmq5BNZ03njNfbggZvqCCs=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sQAuZtk20FslYfGoIBzSQjZicCW-t2EyxtXCh1IifTcVt-bQURUY2BkPlc-HlyHF8e7EAmsclw8WTqOA=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sC6-Pm_rTtNPrHDzT2LKr07JstG3aM7T8Pivik8qtDyfMrj_JCCxixnzT0v82PnC8wFJ3hxU7oIDl0PnPhA7RMnVs3YKjMmxYhcLpG0IRH3LjNj4nGT05xJRw2Tdv4vyoJxhEFUKiNQvEyT7MC_14YaDIPtb2mkkfGLrCQTmL976BzeLfxtgVA8DtG86hlivHDEnt_0vaj78IE8GNHzQayHk4sLLhx=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPnz0u6_8H4XcHCPoutGOw0hq0jSX8-XqhQCW7nhe988eSiKvZTjS9-TTK34DuOm8WBB7rBZhBpxGp_g=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUjIbtWWbf-MDLQJnMpYmZMHfqCB0yz78AHcmqHlrENvdKo6cS-ckNB1cHTwg9HujBiRiB5d-jrWpVTE-LFTkXqL0J3-MWqCpAUk49KqsNbbO_AquxGVb3QHPSLzk65geEyj3GSQtrkVfgHvUd0bNy_Q0EWNMubp9pkDPdybGdCOXUTIqKSifqDFykUGF2GVm0-e0YPzNrty_Inn1ht89O9lnw96I8vH91-guvj6aZrn-7lB5OTOFGUusmkr0nibM6yUsDY9-6dNLHuqYThhR5ftVNjH2KrrOjR8f2zH4S=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGxHzAsfqP4MednHI4thmyJ4KlttQNWlFcCYT0ZM5Xayi82eYODBF-f0vX3v5pq1JXxo3gPZDxqud-aA=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ts5zugwE-1UMI2VVQyw9hPKxoYJu83JxNxF0rzT6cx5UeYV-LlleH4eldB_NFhBwLx-1er0ZRBRQxwrk6Lb49kYEsVAOUcPA5QRQfL_a51jb51j4sO5XAONabvOi4fQVPci4yoA9GZKsGEZNSH3Wb19UCoFK1-U7O2zoJv2aD2TM_nHgtGqqzh5NCCGfGR6IxAwo0Lthf-V35AczBZ-iO-oVelAgrxaXyqnBc=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMy2bi2v2qYYD9E_Z444nX56JI8s8-qpKCgh-c6muY-udYC7L-nQCFfnk3_GNyf0VcbX8VykMRnxGpOsDGy-Bf4KviJB8bq5mX3B1bvfH24V87e8FNoqXX5UjeKCj32GPU=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sz_SovMVlFRcSyODLqKuzLX6ufVUU6sdO2ghSp3Zw5uZBqmEj2RNrsic01R6jORh7C-hjg4ZY1Kt2lxXuCBHIA-3-jJ6A-jGZDPkjiNeG4TuK__H-Nh506rBBYZVD-VboZKzUuXgxPuVRaIUhh0t3G0oqNAyh33QDB=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_teFS-J2bp-0HzPPRjj_wmS9DgWMp592ZsPTRrzmP0HtufawiwhUHT_Grp9z4qReVrXeRGCVomS5eZ_qsY60xstVLIEdRUfy8gsryYqxezK8odZbN0WFK1poO_lWNFzBrVECT3rgHoHiy12h0guTHyUgidRez1Ew4TzCx9sxpofTZErjK3aHDp2ivfnA0CJwSFku1AmDlsaQCy90rGT-ZhpCpf2qC4HjEciRSzbOLowtS6XjA9AuptSdjdGKcbSamo=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-6BTTxBSJbefeoKKpOL0ycy42kMUqT_-d76_NDhODGHdH_ielkZZXGfNvinb8SV7t00wgwqKVOHNceWuAtg9aM9Juuqnb8UCZbjwePZpnJw0RFPCEQef4Xfrw1kqK0oTH3mNVFKRCH6ZpqJm16GX1vu7EVKxyDqc9uFijc_1Tawm5I365KrfN=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ug3_xI3d9NY69xu2pzh6Kp2s7NR6U98PRTys-jPiQAPh7r0fuagz0nI4cs7M-Et19ErcnEXfg42ckZh2tQsPwjdFdKwIG2Q37RpIWN6VsgTOWJtr99VBQaoM1g-KeurnitZ48CqUqDmmBpG97eObvSkg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!