Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tmqWPyS0c31Lv6DAfDEjuqWanZ37zNcoKjFoB3tUlPfYBFxmrsMPHHLK2IYw-qvdDvxBv7ejmQhz8nK_OoSoiyICuGZ1eBYsx_9cAiodzSEf-cUhfukdNsbZzNOa8Vv179wL0_IgdtbsLrVVt2YS7sqsMX-TTN7C_XWDBCILl_42MLUBxU3n5B9kMzEuwZ6e67nGpqw54h0RYTqIg=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shvr47zgME6wSkg68pd5fnr-e3TYSY-s_HBSJeGsUk2ob5bGYME4o5CimXMHc89K9MB582VbPwGoRQNas1DZA-r8I7947blWTgxJwvQdwVX-6qIzf_fEcZKnVNmLEXk0cZIPjHeCmZFwLp9Ij5uggztjbbGcbc686DY61609yEGA03LAuJTOpO9G3AX0bNFdL1Ry4X4keK8R_qA2xI6fJiU02sl5UUioYiXHDPQ_6qb0h6BLcsqFGBsvrfc4DWH6EvdQS9iZS06a_jMnTOhlwa0aGmI3jC1hlMUtWgJ_5iTg=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_upl8_W1r0zFv10WlpbMNVw_NSlcUBd5v7rmXA4BjXrL5apz6elwUYEOU8fCxp4idFRbjSVnwP1AONiuK3D7UakaAc=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxDuid_YELZSpkdC1K81X0nSHui_R3ZLmtSKDCQhZqj8Yb5uoDAwsRzN3_SCqD4OCHVT0aY81_qZNk8vb2qz3E0IE=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uA7Uqd7ywtOrRLZ57osPWMoyGKEg8GpNpOKOqCP8DJq6xocPN2yCeT_j3p79xl_v4qmfHg3CSbDonMdK0Vddgk=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uqCVBFlbuRp-pEsYnqoXyuJJrnz9xMFmc7RgnNZ1d-iR6L1UZjJu7rzM78lFKKPNu3jZFImW4g2skCUzVERtKU1RQ=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMQ-DDCvxBHGE1HOnmHAqNhUrKFH8xkSWGFi2ucJB6755mNZ7C3j5yIWY6QsDjeka6tto_F2ujYQR0LAkFFpPOuk4=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t9WzGZ0IsBV8COAhTRcBLX4Q0AcOW9BxuX1JcO_rJwAivE3NmIci5t7ooVd4dKWbwiqMbg5Ms9LnesfpyC72Q=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uoHnvY14JdheJWKXXjGnfd1OMBjplerSdVVR7ghTHIlSwwewYtMOtZNzRpuBGYNifOQTH35jXmXjoBGQ=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vv9-qSeAMaCr3tb3MoQFM9jw8zDdPeE79FtZfFky5s-xE3-CSv5oCtTaLJWRhAu-PArEvDgSio0ut2kdb8L06yOuSQpJY=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tw4EgnOah4rIYXCGM3ETLgiuV5740PkiUJzpchLNLIRJJu3b-dcWa5_Zws6R32IRn362pXJn6hTgfuKPa1IYj3XO1zjGJelZrKjj8oHkDmVNWPt5Yd88WKxvsW8LvkqRH9gBDk6WgpWs5YyzH1ejCeUNPRSxv8ZK6X9LB725FZmkSHB6NHAprUBWNoXipKAynp1k0eTqYxrK0OoFHXWSOIWMLj5f3Lzw=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t2mqQYNdg_I0tII43X9H6HyVyI_9gvZ0-1w_WQPBCZFHt-WFvtPTpwuUKkzSJeKcgDyQ0zvxhNd9A6vxsbeoeY-5wg1bCJ995KMp4FLiJWQews71_d=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vSxC0NHxGVr2aDHy0B4VGC9mcnTq9GwVlkvA7NZ9Pj8Hk080YfLlW3ZX9ET6DCy4FUygrIEaQQ_74X9nxUOm76G_JkK2jtV2cCch8ga8VFLrhlAu46UO_IpcwkNZVRc6W7PWhsNd4KNMSWjZKoRznPbaUXuZEVbEjOtV977-EXWZ9WDttYfZapjxSf4X8UvSjLzm-E5FqspQWjaff4yEeh4-1MlbWE=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHHGprab-Ugbw7HWVBerDheQ91RqDFUDlRA9TnCe9RpdoGD1L357vUDnzo586Tb0vAaI5krEBtsS5AdMGnw6_vNweRUxJE4FrMyE9xTOvzrrZepMtm5MioZY-TC-24XF4=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tMGKsENDftiHqhFIMwCluWqI8i77z_2dPd9TgW3CcouJfTk5BZuwAZO5Ni1aYmofG8jOkXVJ4GZ6Ek=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vtgq4HZFhpqQKspabB6m2uxmpDLAJf0zQbC8-uES4vbcW0z8YFeBvhIt2rOEELk82UmQaUgJ8u0Usk7a7tAt2TsCwcmaedNsnCvIAXKSmUXn10eQYsbujrCa4BQc7vmahU=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmY7wpW2_sQbD2e4jLZa8EQgYWRlSZRufOThebfrWPEW48jtBrfmljldJTRsKMyZbPqNHnMvDALCXpCw=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_st5fSWlj5lkoeepW5WXkd2OMkWc9QCePiDvQe_S_R7Zvolak5PIyLWlT_UCheOQE-GLcNWAzCmdJH-m_N-eyFXfiNhpzEX4L2uLy2wjmYSkQqOZ6OxOOYs6lhr6ST9gKaw-L0-2yAR6q-Jlv3J_WLZHz3p7QwNYpIG1qc=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tg6lcQOF0vBWX46djEiOT8KqAxSAg7ENnuAFJKiIwB3OzovXMnv_3TSTY8iDh5eZAg0qk0ss7zMZDUMw=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uwJPAIjVicsmrFLpqngFdtOtnHfoDD1_UMAQezdCNJODz7Nkhv_HDoAOrKDwLCu9iDSELxp5jw1cdDAhj6-kkNYTn5ydgRX60Tw7zfgKPt0dBulyO2kmDzqFOHuExoslHVzqO1pJTBkSpr6OQ0zgBEpvjZ_YykKikOeOFEVQz5hIZU5zK3REDrmy4rFWAS2ao_8vk9d2OFFGgGi6D_YQOAdCaobUeW=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t36qF_bNoUdrjapKky-J2iD264TDs2qLp7oMqj900939GrMYU9c_uuvW8uptGziR8mQsBWufk6wFhHVw=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uoXJchNCcXxA-AI7n2CIvYwEWV8T6SkH3MU4HknvPfxSReW3Kl_cH6vLly5tTloxCZgPNe0buRwUyAlpwwuxiaZ0-rq8xSscMhq9gfegZOl0Ds2a-ffqBcGcC_h6h3zcGmHIjoRElBfWF_p0RdYG_SQtIjZNxF_ob5dB_blkwJ11bwQqSMr0q88RDLboxtgqm-dVNPRivEC1etQtiRwI5RtT6s7sshwZkOfNldXYJePV_Pmqv5rSwyi6G3ldzRMLjPYrmFrW-w_wtGLycHRloAyMHrsuR3nEw_7Y2mgeM8=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v8gzILdor80iZZNgksmINH3qg4DQL2D1rj4jQ_7jMHwZY-bBkQtItLLsL2cDnx0EX7LbKkWsaSsm1kcQ=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t3tcOoI6toT5_9l5_ZaSz8QSqZyNjvYaT9MCxKokd4AK-QFyZ9RDZONkcn7PwiLvmm8wKK48noi94aO1M8ef006bV29IQVLTJDCcj3OtEG8RPOuZ3C35ADTbxzTbyT_md1e3mGDxlvUMkvEoOrRsUWMe0epnMwSyp9NQoLiqxWD67YGLHvYf4C9Fuya_HzY7T0rXyhSEdxHUTfEbv2LZM4SxMLI-Rwk7VUm4E=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sI1NqZKfdDACpeeHDZsvhEAYJ8zUZIZy5oYu-fFXI7itYiQSpdGMfGJUPFsURMropMBckaa9tgePEZFkWCvnm-BGycBkzrfpfaRx1vYBnV_bnfDZ4APmTHTg3k3xwRqjyG=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uHQ5k9UigHH7U2jq6sxb4tLwSp25JlZYqlqOUxgo0ZRBs3bnMWeYZzehv_hswOmK9II3tsU1z3a4YhqiY3Umpy9sZtolSkaJC7HeiZ3cq7tf4I5PjjG9iJqXqkV9b6mzgKv9UhwmrNY-Nmr9DvU46lx1X5P8UZc5Ox=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uJm-Yv1MhPdSveoCteVO9j9zQIm5MPMakRZ30Xs5uuSV6Mj8BJ52VC_ztHoL2SgK85uOD9mnN2c5AyWjKtkWeOaxHStoNf0YonBL5Z3uMT5bZl6qYdfr-BfD4r6hJKAgD5_rdtiV-POHhIZ-1mak2nGsbGCwPNn3QMLy0aL2i75XXiXUS5YkFE8j_ytYvak81LGr0_GbjGCF8yNnU_bp95SZmxFhgui0ZCwANw8DeN_rVyF1th_VvOrRxdM0EHPYU=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sux7HUL3Zk6yz9fl5w8ZkHOu0ECVIL9yertelREpAy3wEbN6FX4e1Sjhmjc7W55Z0hVE31egH855kuzG9WY29HzE5B4876vpDruQe8f1gQ9GZpA0m_C8V6CrO6l_e3GbhTRwLCg1Mwa1s--TXfIQn80SImew1K0VUoTU6ma8acE7aZYK6IzN4P=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBGvdXMn4tBCHrIEtLfMxpYLV9cObs-4jrxq9JqnkcxnKAIk32W2E_j3x8T4i3SKcZ1BQZjC-D177TuCRSJaMcJvqHTpXlJSDh-9Q_drdBgi-iNStZujnLsoNoMEK0g8AqCVeYn4_RgpPEahj-6kYV7Q=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!