Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4rT9KsJZsWd090nbkJWl0lQfOtt2HxaejUB4SYnbJhRYJ0xG-14jck1OAi3oOs9452pnyPkPwuqIizJ4HYcSkqXjf78y-GwWW_x1kKmmjyL8f06GpUnI_rEhG_BEjfjJm02lJ5sWAqoyVCg84wE76Dwq7marv8BWnWgZQhba93yvt82i1zXbz7ca9ZBD1-wzuo67maGuGHEQCO6g=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vvcD-TBY3wDYFgfBb29YgMXU555YHFCZHTp75G9F6cV7uqBjhADPdobL094Ed4nraGy5QEiRvpv0igIjzLoDIMtxTJU8z-fUTcLQ_UMKPwRPjZM5ElEgyuSqzf0EWl7f_O-I8B0wLNcUf6n5hi4TgkgV7ktjcYSLbwQfqGeOeW5gohfuQvFhUhm43035Bi2CN78WeLz2qd7Wy1Sy0gHLBGIRfIAv1kC-z9tzCADNOe1TMCinpX7bjp7wmoV3Y26ctNyZ7LbfbZCbuSB_P2i5ONMrmEmBFO11SIkfLlsZjVRg=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uF-iq2rpBQbttxRB2ltSbajYn8hEWSOIti2UA9DlPKYjkc3huvXdxtjPm-q2bfnGnUXEqG_jlc96_C8OQ37Z-uYeQ=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-9iUncQsNX10kjrBVuhoO1aB6mdbbOKIa_FbrWWeliv3DdNs3hVapSXM9_IH6iPaYq1e-JtthXpnO5TpHR1YxcS8=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t9qmm1SFjrvyr1157ghN0B8uGa8deK2GfnC5d0GXukiWtjHSXEOwd2KAwA1EOojVdAj4PQcorwHOupuWtbv-vd=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sCmLTdjNbUUPt-L0FArJjbH1p7r-1tTpK1B02KqHlHR4X89KAO3czLt9KAGJWqprv4mtys4X-DaU36WBoC5wA8GJA=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vY1Bbk9Y5xM-MFIFRvJm-cGaxgOmeWd_GV7wfzNMaM_CRETUd_wdy1FzPyGAe6i76Zi9CimxBC9FxFyheCyRMNNAo=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s41j110q-YwOMtPImM3pPm_Vdm-V9rrEIqqaXds36U1ns-EJTjz-0G7WlxcFy_D-GnL5Be81GCaKMmsoQQeHw=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u66cr6XwSq3OSpXIYwgIz26Jd_2lH7JyV8mYEaXRGURW46FLN0RuqP00JB3H6s8vgBU6QbJ820e1YgtA=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smuRwWRYsq0G5a91dEiVlQwKPXUl1Jl7En6tnCXDyj4fQGLEXjoqGgZymNU55n65XgAef6PlCoJvWnIh-WjT5dGMAIuhY=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOfVnrT1Sn4X-ZVD3T2ruhRyo0_lF7LtwrIxlhiX-e3Tc2KMLQQJL370HeN_WtjNqkbecR8ajBgn5Kg9ISX-kQKQMfGfI0IhgJQfW0Qr93nByhndPEfTuzT1VzZBzNhhLWfZlxHepTPZDY2bSkm3_At35_ECXJwdaCyhqqns1o5_z41aX4PXTotuNoarhGMRLQu9GWAZwxIEDPhOQSUJlEswCUHf9dcg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVAIOHif4_KVKgzS9BsLQfwxrJAGUB3l2g1m5VZ3Sr4jfvL6cWeVWUuz1gyGKipeKTJNjzqrmm_0aHo5-JRdIDukmblG1w2iY_VeLMZFYm9y3A4YiD=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSdjZYQsHn6VoK9HK8VYgXicMRt3_SW_2ltB-joPlRy5DzjYWzcREs6kyQlQa6wy6h21hO_302ylGcrCgqLiWhyyQG8_avlLNLLkx3HB2csCC-zPNuHgvNzCtuVWo4LPnylu1ZImNIZvQ2n-i8FtadfKW_CU6Jiwh-p-rrSCTQf671IQEDCQDOS1bQ-GZZ2lu5kAnHSXSCQxMRizSwIK_1hdhEiH47=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vB0OnbSOan84w1zjpRtC8qATHmTAj4KE8K4fwiY55zSvICvGxxVqtZ1Nu8aUVvkzy-tXKYPhtX6W2GvMkQq2dzxeMHKpfzF9vFy8JBvu_m7Shw9TJPMpvxqfGaBIq9D5E=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_srY5FnJRlDfuM1pciB7o7LIjv_CgpsHAEbSk1lLI6Kk03i5fvyhc0Qcg-i_kfxgp-TswHOmCb3cnXe=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJMTL2QMPng3ZSHxdOkr7LbiSHFx9VKJiza_wHj4racZEzksm6JiNDOEHuGmy5fL7rSpPWGqyLYw_caVFe95Ffzjf3gDIdGGgkVLbeO43QgHp4DJ90HJrZiBdHBJxfu93l=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vI65TiQXWO_vZmdCnwmWwgS0XMq9Mr8TDnfgze0VfX-bEgZX7DYw5-Ac8XjZCO1baFxeZKOp3W-BfB7A=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vojsJBLyyFMsenKBFaYyo5Dx1W3dFaf0GW9JOAHIeOOAPDk5NnPt9lHP3TxjBjBT2c8awiv4h1pBuAWfmsPTFJmQjsPFi8IL76KKvwqv9whkwRCDkRWQ0kPaAVWxl_3J5HSyPcV5F4VQNT7f9mE38WkBVhbTZ_rwfnerM=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tPHdv4mLS5CyHwvIZ5VIecX1CrbnBpSxduiDCMUapHOCBx8s6Gzq8Ei33Oj9jmNcO8zlJta9bjrcBKIQ=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmm2vC2j0Qq2azFIoHN03BqjKM2sGZWjRGbCVGHgD_F8t_OUjHJq8rJcU00R3Xi2H1aPtEoJx5WMTBqvbW7M3EWpmfKztFGRiNT3Ax3bcQw5dD151yUo0Mc73Q2_Y0_WfLXvhUZeYUI9MGbh_YO8SJRMwos4KJvV0CU5laTiDHytnEM7w1yARwPRPF7K82qIpyQzDGxUw5TFV3QyGws49isa58jsb0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-wVyQWbH-PbyLF4PzAM8CSNFgXvduUmBJ6ZTHsGkfpOcpeKBke4Zw0jCmSr1gFX9SIdN8PGmwJ67YcA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sF4h8rL86QvclxFVW2-0fgssQ4Aa60q5xx1QFEijdzZj-jwb_PGZeCyhx9SOcJtlYbKY_ZQtHcjZzs7B2KnDf-B9dDkebAuqpcglMJDSmAJKV_f_C64PoaIA_jj-14EbQU2FL4udQEoUFljb6HHUn_2mbSH685w4KHT-eBl2j5TpJa87LXEcVCyMcro8t7mww1_gsw7iN4BLHgnstSRiM2XuFuG7J5EXsifxncwggF_l90sUvidXoWpTJqgTE36S56ZqjMIopbN7AbX8kTqgoksth103Z3BH_NgJUNgpv0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXibNKy21OjpJ3igR6YBzp-oOw8FcT99ah5XROK6uAHiQJD9hiVFu482c7z-gVm8O6sgzSzv5yrXNegQ=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXXHIYbBx61nLGTnEUgBIgX61B_7VIrXaGmtiVUc2-AWMjtdDxVcMHzC0ubtPZ7_xnWMbpZr4XMP9Skwd___F4OmioH3bGbRLUMFnKW92-AoFw8wfbsLHkX03BRzlnG3RanMHi9xhw2A0CzmEbP9_aSzkW_na6hB1AmZr_Objb9vvg25C8IZFqA7xIHoQyfpZF9urRMC-UkkMmP4RoMcoN9xeWWX-UhqtnGvM=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s1wiWH2xXwyjb-3wL1QunIX2G9wmu23dtywK44BEKD-YjN8vjvrZ6G_dnzk_MDP8Kw5lHE2ehJNBW2Q38qSltKR6DCg6vGXgqaM-tKqYYMjuQ7uuGIhbr6uQ5OrM_Yhzwn=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swX_cVwoA1mU8yn0-_-rifBSeWqsuh9sxtCTfxKxWULudVHoj1cmsHo3JGrTVL_euKZbGfKc8txDWyWa7NSL0u1JOzFb1lzl_QiQPSmv5BfYp8Qbp0RCEgOQkc7aQOUWiBdMZqbQ7Cwg0Y--eQBXtthx4vfABVbp4w=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxUYvnJPB6YW-sQSzoUF5sUEjEE26PwAQjstgXm7b2gEdr_ZJLzA85xi3YfVizfNL7oIWq89hQI8p96SAEATeA1XdH_Hyw9v8KjWbzsFfAlA8dLTNzjRr-viQaY15g_6YryPJaPa02oO2hvMh-LUJB__D2E0kyjr7_CL2UNPWJ9BZ_TaWCCmAqoZu0IOzY-SxxJULhCrLMh_Pmhdc2AJIeXdpSFUqIO1meSmIq6X9-pCsXIX5qZSvWxiZdQgo2QXI=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vSp8a7ox8Gj0wGRbuFMS0GNBk9p-tE-dd7RLltIIGf6XsymD87zgSc_gcxOeWM4MgKv0TawpVJ6-w5MpZtrrgyQgSt5xEwaYbH-zjSdQALRBav7I18q2HS1OMmAK51LKDxqVy5miIJdqcmu-T5pPjuXwZ4lU_RUsaF_X_bPHlbKXxp7V36KJja=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0q5dUdu-cNWxNuQCWEPHlkcnmjXW6VlI_rqJNNF2--gGNnNhsYwfJPCrD5wHVLVg4EnTBoVY92ySwI7orznVtM5KYOO2PBOtrQNG0ayXK_7w7xAMF3T6JfMusPNjN0SgGcjfsMRs8ctenX9xHfCuMeQ=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!