Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhKCNCK2lC90qry_0FrcdW_xRaZHQlrara4A6K6m5OPEacY85YMpTN-y9Y_CugpqAxKx5nm7Bsf_ZvXI23RaLO_fUsxU_8nRq8Tqvb0QqOs5A99S_UKlPmUJYQK0JYX5OVH8kvLSKXqBvz83z72uFjjlWW01-KktpbSXomW73s1r1UhfRdvs9_kewbm4satjITp2ml8Gte6MWa5rs=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sroXr-l1L9cziijwlE8pgc9VB-rP5OqS-Agk_NRkP2-W11N2fLlx-Iy8eEQoEzatHz7FRctzQtoGPXMCWHvxTBVTaVYNt5uibUI2-CWrXDTw67OzmBE-898ZIl55BnrKMsgPZmjoaxN8o09mQCt2H7kXWFU2SDeq1PcQO7FeOg_mXE4w2HzAUz8y6t4xkMgrbS9oZemVIt1UjSXV4VsO_vwj2EE6JlVD8SihmHGLhB5xXla7SCiGuachVMGhRF4SDcjTXdwaxIkKi-mDQgEAQIc98n3sdYy-rul_7pruP3GA=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svUBgh4hwa3I63hQypzJzJYzM0bSjypbGYggqhDICdiA0fLIKSKyBjEvig15lcbqoKOyluksYbuLaezQQBqRdOoLs=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s8yTHI7P2U25PYfs1lxkYWvr61F0W_NEHhdaAKbL8DSRjWR25shAChMLKiHrgzEeBvh_Bt3xYcwLCzN2jeKlX1A7M=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vWqFVcfz0PEy74G-PP9Ec3Wvb6mvMjQ-td5ROOnhbP2oFfUzyYHAzpXzByRWJZ3JhXkoQVERabGSNd6q7zKhti=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vSdmHjkCoI4E3MXkoE1LzoKUfOtZSnWxSWlwkipwxxXRMmEhtFezfEYCFG5dPIRnIiSjnAFJ2LkUal04I-06JPSJA=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJ2-hmcGpXWC7NvLYuB1C4to7BX_0_nrkdiV2w04fmdUzrC3dXBIrT0pAZQrdsNlwHZnjqWQPe972oro2kPD4nL9c=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sstz-ThOSuLrthsNry3z_S99kl71eUyvrIofbOWqLLkLlEs2HLS8bmGfLwiP_KgUk3fx87KN15uVAXss_RnXg=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_umYn5Wd0QMFyxFC2jpfSDgo3LIiET6ocVk80HgSQ1U2PHWfiOsnAr54HBh9VNpbtb5e4oLDSvG0V45xA=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v00_Upx5e_xhyr0Wn6kUclRcvV-uSZX6ZWqTYuj4AAvXgxNTCe2-Rd9jn6xv0QPC6krK14K7nL35E7Q4Qxw2YepNcIwpA=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6DCcKpU0t39PkLNJsRI_iecf3A0zsSQhoSqzoMCIinSCRXuIQ79JRxqMAgx9yjIIIH2gME08dCFkAo5kNjK-RwXDXkeA8ffjUQWBmcMN4OsgIq5BHHgV_-E0PPJNV1OG17izUImMZ6ethxoLZXYD45F2ZsbuUlZu60LjZHIu9zY_UVKgB3pxB1UsUwKv_FmcQSF4b_yBnKn29AkqAFcA4W7hdNWJiVg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skxF4tCMTcIzIaCQV21yckQXj6bxONoAQLeqWVRpt2uyyxJyYDmlLnzQsorOFlm8Pd1IHdpY_0FzVp7LnlH-C-Am6MMysQsAMQYJH-y8eKrULCLad5=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tLWWPc6nFqo1kFUa9pfhfMrYQDnO5m8L2r-24zr4f204I4W6TtP9bSwd9lNDRHUtooq1zpfDBku1d8VWqjQxoJtGZlIRvZvlgY2Ram3v8RkTK_kjr9DpUS_6VNG-RiWZU6T9YNbsjK7THn5AC5BIsZbFbFSQCbJGGwZhLm-KohBuNTYsNQ6QX9L7d-F7C1NcHX4OVa6hrbzbjYBmjctr58TBNCtZW2=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOv36Vx5h2nn6vn-YSVAVEuQql3quFGv9a3ZhlxqtMnh6OSOvI2DRTEvUSMbYSD__UNxSQ_EZGq7jkO_RKLVsijqqZdiNA5U5IX81yyv_2ss9da7WxirGtQqGmHOJ--eM=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s3i_8EWQTeFjE24T67uf0sx2PDbl2n79lgRhrKuvRW0sIm1ymX0bPO-vbE8RSl9O2uwONn5J8Ljf07=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugMFS7VPgtLDTdDXdjaAzzsXwFqTB4GppNVoHQcWcWcZzCqRnXVOTybdfG1FUty_nfcbjdUb4uXYlC_ZtdUU0UnzPJAeCG5mAxxjMcg2bmgfc8zjLiFZacmaYVHB7cH7OG=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u1caOVG_pvbr-w7k1W-d3HWqlHW7my2ngnBLdWc4Dmgt_iXDCwvXBnS3TgBFg86jq5n_gb8zPTt0EgIw=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t6n8p9EPgfh9vzF4fL9UaYaVfGrCVgL6cm3HMH89szWl3S-jGqptZ1A0z_Jgwxo2FijZDjvQekOd6sgKiuRGvKE7KOGxjTZg5R7NgaQhT-w0KIIfTkgKg0w5M6k1S6d9hkNtB_Mw1GjdZknT74MUQyGo_JzCTiHxJgtes=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s92FlH4tAOQyggfCatqNkuGVa-TBjfzOrtwar8t77oDocrPWpUfP_W5QpM_6zy2VPg8cq26XbpDrt2ig=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t6E86mmRxUOahnWu7k4SOuWMayu9Dvun5Hhcmg8l9onUfmrmNSzLFuKtyM6ytGdS8cwLL3g9PMsgmAp5fK1ypyGGi-ohBvBm4Wy1nuM1wDjuyPdXONartvHMlZUNN0oLTjmzgUGH0xlVjmm-rOvgm3oRmECS9QR7GX-x7QlycPgX02oEb2PJmof6L9ukoravT7fIAWCfwbxZBxtkroxygFVz_2CPQX=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-WXq_QzCC3Hun3qRNxnTqcY2kXQpwE2K6fex94vIkis5k4XrwMRC27I-9DjSP-xAHE5FzyDk6qhohBA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s36e7mESZmXnbhvNopHgEKf8kjuEfwWq3bJm60H5Ln-szrkqKUew5WfNaNp8zO28ySNEVCV_3eD1v-4nfWaOxmbl99ymLndaTRo87MM1gRxvlp52Q58nVunW4NkPVsjDJtvp8s0UE06fkvaYdl6vfaYWqkLfKBBh6wuoUAz8F2OyIrQxQFD5QIavXMQHdlAANrWX1hNMyxUvK25rkGYPbm8N0TOK67MTVf87E4Arv_EldrTAyzX09XvluVSRpGFuh267HY5WaCK_utmEozTousR1lgvNIEeQxoTPr6DI4K=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vsVfiwra4nVzvZeupuOtY37N3MNqOlxLeZZWTAePYP5TOw85d2NiyyoFhdshD2sqRW7ZBvtTH9nOeoFQ=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t5wWkGEF_1tGNJpl2BJZ3RC2K6hdG3ZrO-PI0HhEE3ORuMlivrxEL8bSZG8nT2DbIYAFIs4x7YaguVhu1SHHShRvxQDKSwiWzvozB9Yf1fsNw3HhOMGP3UdN02DSNLIJJUcoaBHAGcopz976kld9d1eWE5wODugMwVlliRcWhlSsc6-XQ3rDRsoXnDfKF4lfRLUbF4gXSqZYM5pxXUullq2x6HJbCEwM91ZdM=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ucSfiTxUmPOa2izvYPe0FJ_MQUBAC6V_DT56l7SyjkeaikBz3uG8z-21xH-veX0NxM7wEja00LbT01yydoWqKgmoGrR6rwM6xY2Q76TOe1eH7rXHDSdGFLg6HvRXOaLVcc=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNTmxILb87lBeiQdDbQraO2PrkFTnjfBAsxB8Wc4KL81k7YAud88PxAW6RfOkFsmryqwjsJdUiBlfl8Rw6Rik0Fq-YM2cSjjG_jANGwhYwbLNaDwGLuFiRef5ULbVe1EWOz-noCB7WaFd6_dB-Wm269VPx2XER54AE=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ueNSRSGH6xqSKbO0V_4GYMKZnRgCcFxxZVG5ynY1duBlDusoIrXS-rmJW_BKfY052pqiOwa6FGBT7_Ri6rDBIDHcBJemrzUZ3WZ_V_ne7nDQYEEoq5rDwaTMmAgtHME29cF7bJVfdLDIFrSP0GndiZfGQ5UjSMTgou1WEEWKd__D0Pto3-uNgIWBLG5Sm7sQyCO_DtOFCOzLG7M4BnVpiyA65alpCKzOa8rEFn_efsZz6Na0zTrQ7wYJDviL8KQWM=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgFCW8h8mhXQi4MtbUPefG6zl99TyVrg-Y7cfOFFxmY2U_KdI802zQNJ-unK1VpMYTPDivolETHhGU1mXXxP4ydSGQ-54O8l9W8n0R-GlvV8eLQEh0SDVTCGj00kvg54V2cPl6hvJhQMKflEiPZRXtNIUuqrxBcTzAZZENuRUPz4cfOEXl70SU=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-eJrchln-4GEGhKOrvsdsGsX3Fuj9EtDM4A88jwVkhyUWFF9OsEQSO_MWK0sTveuH7vOd-y_344wK7unk-8O79wW-wnX6sD5mFo2wreZBqMmckH1MIBHkf-qI8qgt2sDuL_PQuKz2c4oXeFqtnMCTBw=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!