Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vuwmuNxfVx65BGXn2qnIbcyc_dQcgK7ZTinzs4IXXKNodRP-Ojx6RTOFGWKybQmOyH5jIsJAwS90-fxmE1HHIGQuKQ4af2HiW7vSRGevjdSwM8p2pQ6hw7533dFcP_uG3o_syQwEBa9WEqPbOVv5hfLu5qGgZ87M31KboPcuWsEJIBhjp3NpWNKmCtm0GWOYK1Ravv_5ghY2tem1I=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s3avlyanoD6RzZufEVNWcn3_cTfjvbAIuyow6rtKJzqHOj_lCq7yKHI9YvH8R3Vk5iOs-3OXlc63ODLEpdO0rR5nTBe8KMghoWpIUk82pIfuzNoeBvULzvqqavAMeBAuCYsYjZtd8gswRyKdzodIy2owMY17WgB-eIriE5DBvM9nKtRJmw-UlJXtBA18huYgZ4zFuGTXkLZBea-VLI2hLikeC7SNzsrPd355FPBEAgDHFexc5FPk_Z7mGM4SE5GEcWyLhZODN0PfvxItZ433bPzcC1uVyEgrEqoU86H6ttww=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vtrYZQ-Tc_pwl2qjDXAGGgjVx_t5n-P9-SjpSISNkt52gWY2lzBSwzSV-ogyG2cPufzpKTKRfNl9zIuWVfiBeuyD0=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ul02OLSEOFteFaG98XP-hQ7HUS7hobjL4dRH7GnrkyL758UEMDU8e_jMBfRA9pWUClLIyWIj6Vu-nR9E6TkZ4Fqs0=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tx4luML_e3sGJqDra1_svl8ThreZT812A5_ZKY4K1YvN0VR5NQS3OdjuJZEUQ79d7YtNPwfRNiErISzlD6a4j2=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMlfe8AYZaBIHUm0wyZpwnSS4ve8Nxy8G0TUKnBr2hMpshKRpIZbifVAJWIQbrOkNF5IMGAjDxefzeVnFWtyfrGXY=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzVnEop1wCzCI39Gewb4dUYSLXiGs5IYr9FA3Q0HBPYKEZYxW7-Kq5V0z6qn1lpF7d5yw1EjzQ1Q5gB0SCNzcHYhU=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPH5FQ2CeKYYcORhRcma3h8cRKBdnVemXraoOvfzZ4kT242gLAd1XiTewl9G3guqA904qC13CGa6Ik3BkeTWA=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uPwqanHz0fmovID8ZR8F9JQl4cZSMCCgIej9QHMievPNdK39tYdHWt4oSTPrFPnAmkSt8kZGpWMA7UIw=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s3Y27cDE1-f9A7746zEDcpLoQVfz4wGr9aYASrtPea48kbZMnW1TQq62wu17x05UPsnZlw9xVkg15FSRWmpXwf2e86Rig=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLoOTRuqwn7SOcP-WxrNbj7O4ULSdIplyD2x7WHIY6aTKVOyY3m_LHrL-e5UQIjTNsSPAdapcz8yn6T8Ny393IXb4AuxQMX-p68FFY9NmC7rW4aW91ePkp4UyOkG3hH-Kmw73eIh6x60WmmAVnebgJ_99PfjpcgeiztYNlCuFEPTet0g5X8eez64k3XfJYsjNrXbGqrrvL4-0IKIYkSjkPS51552d2gw=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMLqUzEl9Vie1dYcj4dvqDzn5p_AADMkFwu00ezidLQleqhESwDeo37f9h1AjrSV4HVPD-SxZai-XFEUZRG_ZQg-ERiLs9WD7A4vXzXvrjgIxJ1XAq=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vlIubV3gRM9ltirOZHIdeCn8uf0kWxW-BQeA_1PW8u8SXMKpp4eji-ou6zj56ByiDWLLdGcg5KJ_P2RFtzT9kMTahNOikVRB-CIHFjtHGZcWZvUl9j8_PYyMqI9eEc_SZQDlQhsfFv75AfsD17yz-fe9uOB7qqyWvT2BtS1NoD5P0_YquHbALwq-dsRtA4PQE-FildQlw7YQ6oMT9dW6yxA-IT6K4Q=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sbLs0-KTumRKmcQgQX8Vkklnka9aCrNdUaCrpIVbSCt_20-RA3mO0ukzQ85hQ8C_cozKVjcoMRgT1CimQMNu-nCwND0HSlI4l2k8XJop7Lr2bbSWeVpviy7N0SYrYdDOQ=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tTfIlWZpz644bnfyCFBHGvbKZVerqqJeUCd-7f8UT5gHRh1LQGMotEhSof1AtFC03s7k80vi8HruLE=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sAAD6GkBdK_FUQSixYWV-azXFC7J3fklD4cpPiy7XC5whqBNUG6Zv5ZmOtL425ByC7QKMiOQqFuG7lzoyaVEXPohQB_H7hIG4IwSyponOr98zBxMFrdJCoUUjUVCdvkfUA=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4wyw13gBf_r9eOtJSdUfQ1j68DqBn4CsryfIRqKLiVmwSTKpIxPRKpG9kJj_PjBnczQEzJG5e6b8Pmg=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uNhwjenWJ-QcntxmiZoyJv2vqPnccuptBo4zDcd8xq844FMoL_K5my7K-XmW9pIWvDmxzeiRYRLQlbZXjUfxtqyV9-IujSZiRt5wR8H6IOh0C5daKt1IP6rXeVkFPwTuvPBrjGpFxrUIdh8xpWQsT871GR6ZWZIlF8K5Q=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tCvi9siv7TbT7KIT2A9nvsA9kknCdknmjVZJzs55zmq8zT7ATZ7c0oqpWNy9egiJ6DTOMGJS8SKAijCA=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ubJm9PwCmi4J65oKyV-2Ehq_9jgsqtuwHx_-SHfQL7XQ0BFmtf4JM9oRgcRltsmQOwMNWc4ZqtzWwyLBXwVYj9fIL1K8ho7qTAnQH-Q_MYlcIuv1AD2K-ScdMmntsbFsIB-KiMEnWwzoqI_LWF3V-N96WPmho3vK4XP6kNdamIBFFe4AwDvkdDUaIJPTc-CFZH8DZwXzgr_P-OlBqRQ6TPmn0TlUKE=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBtdKGHnk5os8KIPUuB9QkhlFKrtNb506afS07dvD13Y5VYoB4Tj2ugI__xmXxXcLj3t4ciudB-UW2kA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vy4VdtQxDzs8Dwz3DcYY7hs6o7n2vZY2SKpoCCCmyQLAbjAv6cNYPJk3wwsWthX--Jc7ZmTrzQepc3GX2OOpT5kW-0IXiahaLF47ez6_WBdfY37fg45s3sdEC0Nr2Ck9PRu0M0hRVCybbo--S3tD_PSO6YUQG1sSPz6O0yfs0YIH3skzG6xJFpbVJWrs_vRX3bNqziL-pw5Mt57wn5aRCjpol-qSS5P7cfthonWhgiom7l55UYc5_frOHl3OeIKWV--TPIU7Cf31SulsFS3STH1w9UBaP3O5eVltei118S=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1qY_wPArEtMRt0yGY0_Nl3_9Z9Y5O5FN7CPGUQ5O-71WFCHl3yTX0SOEhpY4aRIAiPpPP3ruNcn8Dmg=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGYdhY8h3jgx_wNjjzqJe7AjLRGcYNnMeMtCo10-clLBBP2z0NxPw_X2Y6AWfJqU0UuGJCunLcTEYzh9Zqcs7IYHFmdTh4tON_bF8_4fh62wDcfk87qjWQQr4QV4juzyvh0ZI3snZGTJuug466944j_y8vVYGbZVcOTAA550Mc5E0L2GHoP32RsHF6UX8VGEHlFh3aDRbfarq0tYuGjYSvtd1wibYIbN7IaNs=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s64j5eSvNf51T8FpS6nakx0jfZKC_pD5isSBn46kR6w9-eW_0JxRMpFX61DkHVAoFJGQOQhYwwqj7v7ns2ZcP-OT_lpkr3bFUC-p6-vcjx3jAmOmKzUj5-T7etEqGylAjN=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0_PLWRVCJsApYo_UzVTJjPpoLj63x2JJ9SULg4fuGKi2daMWYdCGm8Kg-_mdf066w3xhrsZdJi3EI9TrYtHXBhChVVlIvuyZ6lpJe8wnBdeCi703fbatA-rnkqNszDTLECcRVVHCgMZhvNir-QJdLc98qlFOgGEel=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vQaG7ZHOgsmZ-DQiVCWzKiRt4PezyED3wn2TGCa3gSUyIEtCrPDZNC3YEr_8Ve8txd6nSDOBVgw48lz6B0qUYgkTIdLXP3cyebBEwzhaUlhBtW1eeD4LPN9rTtaa5zsMYJ4A8WlM2-7gQmQQzTabXKNs4H2em0GdR0AGTfVz0rRM2HGnYyZKClpUcMU_kf05sLOD4eE-SSHANULZ8duBT9Aos2IY7I-ST6EYWH1Z5ZQtozJ0ChApE-PF819tXT-lM=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_utKFs4Mfsf-UGdi0eNIzjGAjWWiH9tQnhq8-k2x1eNQlRxKcaXVdRLHbZxAFI7jktTPntokFcc2Kvq0zh6gXJn-69x4h0c8Z77bzGLacVo6THaDOvGE7TmRMtkvHBQVyFkDJ7RDgZc_kQr6aHrXtIRCq2Lk4ulA06N8wpJTtQmbwQzkfaXVJxk=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzTO-snbFZces8czP9y-lIZxmaRTgM2LHVTMTFobm9tpA5Rl0iXxxBgCc3VPEW0fe1BRyLTG6KdY079sRY2NKA9Yq-Kc7FIuq96ndnwCjrYkGtQbJASgdgclfYqxLJmYtQVUkYEvVD9AGnWN3MlnmfXg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!