Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vi6P9GBxLTBukEy4r4ogTZw_qejBVEPRE2SP2LhtLBLCSC8J8g7Gx6O2wa_nJKFXNRBNH6eBZ4ARHKBo-SgxU7ZW9dPdHKz671fX0BjywE5PARdkL0sd-2GGk4Et5g2offWA2t_6bt4lOH6WeElXEpPcC34CqBbtHnVJHdbChH7JqaaeW8WRdE65Qmlzsb42PQqKh6O_ZCFuDtQhA=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s9Pu1472CzbbIexe8shFFzUZXqATMsaU1iUcoN_xxHPyWH_6nlZJP0QHMOWSUiafaKDySdmBiD1Ez5RMq9WQBEnnvQnuApXVF9J6bNbz9dshbCSIOD01CO2rMJSDip8X__HeLwLSioTJjNZTVLrmkslAkUZ4z5-pTi1k5Td_n8CPH0-3rMZ_Oo3BpNYrSj4MtFcLOXZ4qViCYmTNkVxX9qBHQhTYZNIIme8L22YJUvDM7bPDl_XbAXf_ccI2DDzzeYxIYa0tQ9i6qAU5ntDBh1yAg4TETrUdmMGVO5COY19g=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_spFWE5-14WwyEhftbhEH7uyrKR643qwhUWodQUNqwsOftYaPEbVAwDoJjbGeZ7H8g8D0B86goK1Jd7IP5_syZ1I2k=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfSlwhUnlnZzLqdFgb8_6bn5DrVKNlGR9Soq562ROASs2Azu3IZMd8f8m8c1v3CSTNF7H2UTB6u5Bt2Y0LI2gKwfY=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sFgHo7OmkIa2Z3bC-F__k6OTsBRvQ1WEXDmX5_OBJIr2cZB1BjKsOupiKWTfCOaUy2y3-3X2STMkooxnUxxfwu=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxNWNDmqvAv9Hcv9a5KjzSCzKRpWvJHiTS-3MaW-NHuNMjyZJkZXV7vahfuRx0ZNQihqkY9DbleZuq5oGVpWET0ns=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sIBsTCoUCA4GuV_KoIJhxE-fJKXGvvDc6YYUpT6YGL6LM8YcESbG1azjxYEsTxss-kZKVcbGCJPb3waJj9W4lnYIk=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s3Vpm6nG-MmCgcbtBZ06bn-MBptAjNT4U2AD_5a0VeAfv5yGqh6BvfHFhznOmnFLrbUFLynhaRLFz4TbhccTY=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_viExaIp_IBF2riXaJF1LmjKD37VFc_JtUSkCI6vXE6ewemkLJqGKJyqaDheZQ_VPFBOhvqZ_DMks9gWw=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sfFesXU4_XRKMvyuLI_Mq_nlTMTinOgXQ8X1GpYEtpICEkpz4txikwbY5X7UJwI2X2QKabTkqW7rHdDRaH04KFK56ShCE=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sCHmntPrHqciRTbh4-OgEq7ithgHrt-WLPW4KYurBl_bz4uY8j2iSjL9VFiPgn63YFCvcdrQT2w2QkzMbLPMHYAIDaGaL3Ghk2dRhgjCNM8pkyFtbl_MfU7DqzSkooZd2ZcyN_7Z1ls6S01P1epZUmp3vutQ_DKxFDPwc9PvoQqIg6hddZ7q5yZmSxXpuyaaIWB93GNxBNekBt88mnFm9hY8ldlHVRVg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vIRCC2Nx8TZYye9MZIxzykGBTjDHR1p84sg86k_5jbC4xYt1-t-OgYDkTtI91-tBakybvEOn1Wmicro-lD5ppJj9dtIREKZd-Pggj38wrcnOchMGAL=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u3udU3k7n8ML_0JVeF7ucoOet0IiIVLvKpeS7_GRb6x-u-b436yPWg6Cte8NiJasfEpvkj3NyNVPXCdqWj25Oq6RjpOREFtpZ7yppHmTnx5v0tTD3D3QlN5N5OSJYtIU98hcgQxZ39ynPsGMIz7SSoQVOQqZJmAs3KwNz4sSc3uykBVWhuBrrzXT6v5EVEKljaUCbTtf2XcP4h_nmHZctDrvZ0OW4k=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s82Ilx5fQFbh_Pzkjjx2q9x6jbHTTeQB6iMJ-emBVkxXh4NFzC2-YapVDq2bhcSJ2cM9g7zCh3Xq9hrG_xiarrt5EhcFjxr32uOB5PYAmR3VQR3CpXS5XxFr2gV24_rGw=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzYkAwF-emUinw3jSDnXllXH1inux2wiywWjDZblBH1RrkyDXv7W9ozRJ62GIdVtxTdw3R8S1Uz3FD=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sbQ7kL-mIfgd8BiGtnZI10V7Bqg2EdI4ebBIJmTUTWmuGZGQnOYiRWmtO205ZyX0SqKSPH6adTGpVsuD6jyGgPjAH6h_elzwaYcXy7hPAqBzEjrPhy0_4T7VRiW2dwx-hn=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uuk__64cQv_tKrp1OrLFiO-PG8xt3ij0-WXxGE1UnNeaf8R88eIKUuXekaltDy6NP_g5f8WidApWGlug=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tuGsrWPak3PRbr4qtI6HUqNF9HOzrGddareVGru7CFFCVQaCMm-u-ywnBbmQPNyntFLP_a2wdcASCkYVGnX2iT5OZr7rxnSHV4NblaaG_ZvwrKayZi_gV0Zh2q6TYzLUDWS4uCDWECdZBJN-qWMR2Jm7jTsaItlUSmgM0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrh1o8oNFFaSAZD-R1mdFDHVYX5IKKyU9NHJkk4AgostpP6q30fwQGHxusuLOR0yk9jaL227zmxV0_Lw=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sgOQQvzXuJS66aEj6dEPk7ChtoqlPL2-4hfyerPHZ1tK43pSKZpnsf2HCbttil3S5GMP617ftSYG4LO17ywrJieAF74KRBFlH8Oio2MM4BA81Qy3-M4-xD8mIXBqi4f9dPK4wqY1FxVz6txTO09WZrOMvJL5-PCc77ECu-_co6SsLUaKmbWmHlsMcnuKhTU3gieiqW5Y3Qe6CyVNTRzWM4izTfh3SK=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vopCC5OXB2HqO9a05TRBByf3DlDnLvuHD4CpmQnlE3W_7K0M4hRIepvvGhAk_LXFevzL2mjwLccGdKDA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTkfUI_NDJXz6FCM6Ghz6ADoJ1n6x1BrrETOZmfst6Rr_gNM_6VYPDR_0O3CBiOvOuH7SwBKlh0YXPg4bPfBqZOJMPbLYXK2K07JClb_-anrLKi5noElVkIyxieWy0FzlCr2jGv-VMMjrrLjF9f9snz2iFUPU4NkfjVXSzw-HUaPD8EdHyQlGyvKvoYue1l75TqySptlDkiLx8iTBJwuNuhBjCy9CAz9X2FUvsj6XHtP8KRX1C7EAyaEQuoLGtHq8gVbb1-j-D9-ssofjvHrAYZH94_0mfMRUSsgKnIMnI=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vnJZqXRemxJlzt4T09UOsI1ITMY2NPCzQ0YHv30EsNxu2bJ4SMveP2i280GX994Zoe5Hn4cgOAWUIdHw=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tql_3YiURGLrxRzSDMKvxylUDAszvpihDXYmbdz1vlmsDJSY1Rkois0vb09V95CrzmwLvlXlQnNNGC4wSEO-48egJhngdw8YGJge5WwKnQXU6Gi6XhOlmJFkdtIHApIyw2Tkk2_JFc8q54CTMkjeE0Is3WGUkN6C19D6SziogeS97kxGQjPG-ABPLzjbix6lkcnRBjSHCfYLd1J9wxLT8u2zYbhqGFCzmfEZo=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXtL0H5c64nxatpxXRKlAG13Vj3yOoV2eYjU8XZuuD5emxEwHYUiuII7F6Q-wVeIoheyFFC3XZsuPlj6ELGNIpROn6R_ttervb6o8PNpeoWFXYzYVJzIa4Zg2sY-iyi5zN=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u6uvUHOsmyAhHjDiTVvTuLk-D-pHYE8Vo5YLfW8icX_w-QQCmQGnvnZFlGnHxwubSKX2A2cI7PFV-S5QbRmu6Z5Oc0lH5lxmvmquS-lhDkXzfcUmupyrCNnhSwol3dds4Bpw-cmjG6N5jnwuReSusVenbJnN01hW4g=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHmO4RDDEQgnHLKiOfHaUC6s57K6AIDKLi_hEhmRGRhoG3WEIkeLEuqj2qe7tg1FSqGiO2mTQdPpXXwDzVVHh_BWyjGeEL6bnNozJ6h4YPSFcWg7SRgUrODCOLEVOtgxk3G5-qF3Xcq6A_E6jm6f2YfOG5fjvE060ZuPJIbyFao_Hxjgthr0QYBelEBx_8G6_6l01LUcumH9CEhgihFqPYW70UjtX90OojioQQ_lw8iPdoT95qCKUobt-8cNUAYiQ=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_veEJ0nZKPrQdDCSrqZLFkZ4htAjVjFwpOCUjOhhop9bsMQcH5I5cdYzlrvg2EO0CQIjiMr-49NHug3HyPxtcZ8tECsQ3CYOC-9x2BwH6BoJo_py37-4TKowiNK9SIz1ep1m8qqxIeuemifgkeLyXWhWLPI9-bDqMnRssN6GE9qCViQh_8w-PrM=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t_RCBMCg_dtTH8XFgEksxjzfTPfMTS5-bZpJXOeJhmKcMXsh_q8LxtJ6NA-93rJ3UsMIEo-Y8Ro_Rx2hiqwy-M1nrB-l516KQQy5g-a5TzDcxdc_pzEyNQpfxRNC7i8QPBDrDgxhvLxJz3BA9H9_3Vdg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!