Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scZiFPZYehEPGrQyc2Fkm17Rj2j-A7kOGRRHzWp22VH8axuszsdYmQE7azxfmfB4iuFz9f2a3fbMN7y8R3fvjo4-ZK5I0qhXsu1JggytLjdup54VUEmRCnU8fU3V_o15-XgR42BAGP1glctGsca5pp-MbIKedRHjPy5ENHnFoGN-O5JCde6fuOhhq4lrzdM3toMLLTnW3ttCOYTDs=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sHS0jP2c5haszU45XOd-SAaomnQCAuwH147mfrXxDtHhgMnMLHIR-S6wqNe7T7QV_Nm-DhwJM2Bf8C2yClNQIRDxPbl8f4KCF806X9tkoMErdcPFqG0yEOnRh-ecZXvDUO091ap1PY8mEQSCMbwy9JjxQ7hgC2vIIVc-KLqlAvRhHYYoWEYX-rr-uz2yHpCev5cU4i9Ki3VmG_fnUk02QAkVrp0KJe8Soxq-XCbCOV5kayKl62ZdQOkwPlmbYr7i79WlBxv1fzSqw9bfTzlA02CwWn07JllCQXnlKTP1KPaA=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tIpRYW5bNXVUDqlGPRMXOnD8-xTYT1hg35phqCHEttwW2Du77ZfOtJFestTdjSZke3N7I7GBs1kOSH3w_2UtZC5DI=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sug9FLkT3f4lA9wq-xTrsiEIO6Vl8uQ5TKTofKW4T1BXBPiTCv2TlkJbe2BKkd-p0HO5lkcfIGHCXx3hygHjV5lWA=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u5R6ppgulqdLTqcPSDrcnciwuX_qh1bcks64jSk2QpP8EJnspYO5oESvKJGv9ETW2EV_1AK0IUDlR5oJAVo7RA=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sX4d1xUZyzVWJIoayeMPQcdJYcaSFlnRTzkdZXGogbhvQrJVEYDKPwdHm_ODYMRo9gIdnA9BQkEWv1YHc5jRPp1HI=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHjktdHyqmYePSdFyK1Ad18VVmyhICDwMcpRvHrewZKoNovtVpoJeg7mEmGbj4SyAOUaPWVhmiic3K2RovPxzhb_0=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tlm6_OjlwRHnisRqIqwLz8xZQxVocM6jFsK_BwHcnCUCd_35OeKrvlt7wl2tMvfk5_-GBC9tCdqbtO3uLDJ5M=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_toQjsRYeb30foUTzgrKaAKJeTEjdVEzSjTgGUGWJWZSYh2AOnYWg4w7Up1SfaGZrNfHrzVAJZKM1R_Ag=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmUQTVgeSYzM1Q57sQoCGOzKhnXVk8T_HRL1gSAE89oRakuHeysTt77sAT5QdwO2vLdJnaNriPgzi7JNDcTJrPEY0dABg=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVb7PsJG8PuTu7bZaKj-VDEdGMmkKZJ-phptIN_0EP6dHG1q5plvwukGb0f674-VghtLWomCWIVvA6XsSzG5ON0UEUoFkYvo1tEIpM30aePXjLtOiBc33F8naRo5yvbqZfU3wi--ZomB0sBXZeMmK1rGHckr10CKNHrC8WKRLpi3NEWVPQKf_nNbdmQEXFI_na9dqcMBrA2KOr5T1KBUdmAfe06RjecQ=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tVyae5arUHNQr-nPsU2u9kN4aeVBJRUJ71PJRGSLRDq-ol4XzHW4GrnRvpm-ey04pt53z9CnggXF6qXShidZbT7la-4k3OGnZ4X4hneplwLyfT4EDB=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2KtSEd9QzkQ5WRJDRhsDsiVy3xhoXjY2ZoFGJttL0A3DVvPvh1qm2pipiqAiDB3yEoIbw7hJexLCOc87CM6hJTNc7N1rs1Pk9zIsMNZBgXN0Uv1I4SRmJWMVC5j5pARv1heisku7qt8IrVPJ9cZGFPKictUHGAVyuiXPvhi451IVrMSLaa_i75kZ7cpMvVWvwEXI5OzxaMHRCQU6o3zqHSK3uDyN-=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v90xN4KiWS-KPDpRRCUcFE_OylN4QCURHNCbf2c9ErgDcqXf5Nlog32FrgNBS7hpcM50CRDJ1fghKUauG02X5ZFt5EoC9lDFRgGTCi_ZMnLQTgYom8sIFr8qOInDMB6R8=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sK9-ACynb_fG9vZblDsgd1Q5_pGmPSikpnverzQlW53lzROtS93eOkCc4s5cyRj9OzDVumcJLjfuZ2=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uIEe1DpoI2fNRuMuJpCm1QHJBXQl92cQvm0wn4F9t2kJFunc4XVY0bK-WA80MZToyuhL2ffqloWbUOjT7TZq3qufPXyX_I3SGJxz0cPDZcq2zTwYtVs1QLg-BKsWSrlBOu=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s9KmK5ouYb2RFZeR4IvDRJO1vVCWFZOdgtk0jOZKyNVNEnBZqtgUB5gg7B3aYeVyNZL0opb-ACnm-JfQ=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vlZl_K0UL5m6U0_4f39gHyDejcLcxKTWnItf9ER4Q3gjoRRJOOd0VpgZFMT3RyJiMheb-uwid-iFcnRcIfTEWtZSrk5CPdRDxTu9KQVsP0KwIlf-ZjDWR4N1rhYvAbeB7QB1ok4Yjf_WweKqkhxSkGUL_KKL8O_NTOxAg=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sGNyHraDkZm8NL_RwfZW3B1PC6bkZVgnnHKzJHdjx8ZNb29WY7JuNffWLhOLFbgnEDRtRCD1MCbBoFtw=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_swO-bOolvyha-PZMjnJ3HiZWlEEU2QvyP_-FaHyFAmsHeG9tDcu5UGi8HgTducTKwxuL0FRKgQwfsMFC4THbGprxoUbGKpRzUele9W2otuX1Mkar30IaTm1PTPwtxvhb0iMjL7yEuj_6zsfipL-WNrzWz-gN0hvAlbJqZZJxJhzNZ3buMSp2SVO7A_nMGIMe0ktVq1C3THkiN93IKdDtjplo_iyceb=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRNu3GGt5-bNWVpVQq8-SVevaExZY5gl4sJx7r4wleWpppr9u4F8taCuKH92HX-LZL8dJFhYnJ7vVqsQ=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ukwiRy1zHrXVP0q7SFILJ6kB86MhB-heTg_A9MQXJiADylAVujAU4q5QvVBbK6yQagKt87FszoRvc8xK72aWJbnTAtnqc-6bmVh-LRLC3kopM9TzH-vuDGPUJJgVOdGu3NlHsEz72VkrX4UIeNDSjS_NDo0o-2feGrYHKjXW4EZyVYdzC8FpyIp7UJYv2lJDGh7Ae8iugGDMZMQY0A_2D2kAprlWvic_43BjbMS-0W0no3vAsdBmV9GftzOyGYms3XfEnbVUl7xIRYZw3qFZV7PRbmK4FouvGVGhSEMNhG=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tFUuA6-c0BjbRFIM4Ko5h3gkDfawnbtRgKTjUrMMCTWogQTTHu4d3kihgaoZVj-vlpaOy_Ttc32xUU2Q=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txJLHU9OAYtZn2QFRQvYK1HPJ-LhWhuMdDlW9KPZEon5BBf6WED_NJ7XjNYJC8wF1Kp39s7DqiwlYVPK52-ti4CXtYVBsxq5JrIgVYXm5Qqk9R08wdhT-5xiP4lv3_u7KHal4k1TFv1BvuZXqmhdhhAgIBdJy4XSJJ97e8NvCnF43rqvJAUlLz7eJdZO9ETvREETyjcx0cloAdY-RySIua0ANKOVhaqpB7Lz4=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sj_n8kMZPsOpRn9JZlqHKGAnQPUuZSr_z4WqNy95KwBJUPuAADNIgionLX2r3NHTWJtevXDRjSeTB_9NjjhBWqeAa9HkbsoP_7cefekp4n8-bAf0HPPTBiQbFBDoJke_lf=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svuNoHagCAh_k7Ws_ZcH4Lj43gs961U0XO0hFeMVIx_5yYd9C6SRLSCucXXowEWajCnYeip0aB-HtEx4T6CoAb3Yzl7PNVOXTjpjI3s5MQTyXsmXj6I8c7uj2-Rf_hf-2PVehN66bAGliyFKyr4PnbNfpFmbyHrT8R=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t92VW16X0bmMFRvBwi7qGj4JdnWqGSVxSD11wzuckDFvmlvlyaZNCLBo5wuibGDEQdTW_Bjn_co0AR2BMi0-asZ1uoputTXe8QMdIWQsukEnDbiPCd9aiChP46cJ9B5Yf32hXi_vWdpuxk-_tMOvZHFGAiyt6XkqBVllEy_T1SuAkukcuCbX5lk2YxuL1-l1EianjJVvoL89sSozXF4yPYmHI7buJoTvkt7rWEQQnMepelXbCnzwb4twKkIfYrf9o=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uNIuOPNTE78ENwIBvm9bilNH5QBHCrFZFJE4QBVkHOyCzJNym3ZbTkxpWRyT5lxGTezR6yqdOyXf_HID4TXaOcLn14RcsvtiwjN9p9K60MLhAeC2hn3dVRWJ-NYjTjEjVHs_QedmxDHDv1d1WCSMbeyXDlKThEXO2BWik928aI46_m67CIdkSn=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sS-D2NV9Gc1EAGZ9eWNHAlP3q5LrE92Kxt21o5umTWGYo48uNaQ7esrtCmGXhZWc3Xe7jJURiU9ievJwszLv_5KUx2At368jZTd43_Fx53iHZ0B_gtwL3X2jixi_1kHgQvOr3BbMK8JjZCy-v361ZT6g=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!