Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxGaEJwLVR2p0hx5Bp60foSOjUlU6we7RlvlcElhl7WjUHzaDnJGPWR2ndhfoqRYjo1iLjcdKy_E1Bk80pYTQANf2IfS_LO_bWwa4jZFUWD2eENmj7ePT3xjE69RUOEzrXlLPzmLcrB9Ru5VwD-Hg_92utqbyo2m0UrJjRtF9tmVrwxtm4g9n521jDw-4mDr4T0qbakEyYBBIlAM4=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sBRNoVxmgD4QPsqGs-aDh2pcs_iuwuttrafrFSxSVv-td_uuhadsGAJi04d7Z3d82WhHvYgxv22myjwKm45XJvzqomhxWCdBxwpm3qzojF90oWGtPOg0tRbWrCH8hfCaGMtbGJQDWAwRazT51kRQFKNH16vb3hxkqTj4lwmLoMrhVmiVGPCElpe8AZp39zep9O3BAGKdOhON46kRoHvUJ0vHTs0L83BKkcCb2QCcyGaWO0eONGMHytzTbTR-nfI8ZZ402EZk3jeLRiJFKG4xlJmd-bCeTKFdkbUkgfpwAs9w=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vpuqP0AyZIm7qm5HmJWkSV0FkfqxJHB0qVQpancZAsMm_8qCdakrNSrPVHGDPBZGQ_2RR1RDGkN5UZP5xrvr-tgj0=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sLOoJdQPbH3zyW25u7lldVNp4hAxGDxcOOiYV-Qrn2T2Vee2fOx_Fddb92h0jvs5qTaa-5IBZPN4tJsGzMdVh5qCg=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcI1NKK0R2sbgOFSvDzUXtpZxRHIq270A8LN-3WFdvyxeNCugnrTK5Q3pPjf0hSQIFiWKtyxgir_0jNShSIYFW=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfmKkNZXw4KgccsX26dVJhXI_ItQFgqbZNGwXuK_Vm_7Xwh0DVDOwkkHYnI_9G54qyiOY_-vbxTpLayNiTITAHnLE=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uKgXQ8JYx-IyTk67JG5bu05T1vVxufYo0wPPw7bDiHodBhlOyeTIpFYPU1-soGlnDEejZoEjPuS6Jh_0JTY6lu_dY=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v_jaZUKLR1d4sApWoIErTVamVB4aakBO8ApHBbovJ8bB0CTwFC3TJkNuzahbMtvExp-07hzLDu2TOt_PjkcSw=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vNUiWPwWoepLqBcr3jNDjMs6FNR4i1g1q98mpbqfkfGhnBIhIy7C_BYd7hY4j4M0wDgYiWzSYSyeb-jQ=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shLRU0mrCEO8EsujNhXJ4i8U-Ax8eWCJLcg9Ooy-OVHwsRIhvAaqR5IdSVEq0dhSURp5nOeAw4SiXL20_1XEwZ6M5UuZg=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_utWuA8jwN9O5c8giEp_rD03NzikAGWryaaYd88QUY7bumZi1hFkELY74rBxhjpcw6tm6lfvQKrd6DUC5-qSsHgREwhyMfLUTzelYI9-qRmIbe5WiA2Dwh8Ewvv7viRhzp3V0R4llQDxWTahz2BIbmwldVv6nXHTezkAScRt-tOUnJsRWWYxymNoQRugKJj7IRRn7mLdCnyCCA-GPYClE4K8B3AK9zsKA=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t824f3uQSbUCHZZb6qQwPeS5m-Q2Q2G7tTagJ6D5b6LgYMxe4sjoUE_M5AF9rv7bbuMcL8RL_aBqn_wc4eBG0JRbX9_1kz8-ksHJwSFo3b4ETFcoxA=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbbihgpvnR5KehrdsfXAwXKJy1fwYcEr0rRRuBfoF7B4B55OyxX7xrhMnqN6yeEAEaQSbgi8fHMF2yaFM5XEzGQIzjTvadym9ltnhltbgAg9XJU-AJEkqbqsqyiokBqgVo9jx9a6fsayNaKnCIn_6Vz2kxmR9dNMlKaRAfIlRLf_WXHH174JcUzlcEg9PizqdTLL9q-vStKbAvjw_O5nX7QTRqWHUP=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-GR3Jm47mQY2MeDWS2Crx95mMYdZQyUKDqhsvFpHy1Cuj6i_nFfFzp1mK_ksaDRPLuVipb8BjMCbv7Xpe21DFVoyV0UUy0qE6hHRjjQDGxwXbO-VVmHP9N9GIh67RbHs=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sBSMz1WBXDrVhSmjmAAGwReJlCYBCLCNZ-f028-QtCDcgiSpG7ZFdRjlQMnwpcKNQbewQsbUVfbD1h=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tuKHAwsmZXYhfsILSEgFh03pr9gKfMX-f66buGeBY950gwnMH-MlLGO_PazXDeQUY9iWCjiMcX8b5aD839vVbGNqTV25SD9TsmL8C-8oESQPF9OJfIqQgR6fZVq_U6aOV9=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uSfI5Wnxlpd68bcJ5o462ZcXjs84AFdJ5NTtAYFqW8tmWhDcEftdKMYYBSLxO_v9AlHSKcUTO5DTPvKw=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tXKWwjMBvguuaNquIa3C4QmNrHWPfs6cQpZSz03Zr-0KnkGl8nXNIv8pQXF_j4QjO0puTeKP35ZG59ZRIwaP17xk66ecA2Js5b5o3cIvadq-tXyjcJbG-LanYs2a5hxgZgExmeiK-1zzCjLa99qap952f9DalApbQVXhg=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tizw9Ym1JyW76kO5CY3M3VO1EAGQDFkqCg-fH4XKR5kAs70oou0GGFqzgsX2k07TBNu2abcQWSlLI1xg=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sAIjVuTz9qmNKu_H816DZ4qYDWLJShF1glCCxHDzxvantGG2qy7IDRk7qDp1mTDzsxJRHNRpe0XkGA9Xf3vuzzL3TL3hIhvuSGiYMjcDJbZwnh1F1eTVwjL_1Ucn95ugwKtDDqMfm4-RxbikOwqMM9EnY6outWood4yZLYUw2wmJYyarRvajU3XABmUpd7OD_ShzilhT5-_5d7InwjRfMw8gkU8TlW=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tLxs7zUSrJ8nD6ezHucGss7Rf6GCkt1arekdFr3SlpQ28wOUMOGcAt0ZleXn4XD3K6LsZBxqN6gyqjDg=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tuHrGyJpBY0fCE5mbFGtI7XaNhYsmmmP961RXt_xuB6Uvy9F9UNNBQ5BEB_yBGFv2W-QM32B7PcyKds8XabpdK0oQsre5fypIR_oG7N6D7n3mpi0hZkWCPenUucL-pJoLvZ16WdxxgNxUkT0BNUQRBWczxRURITVWSJ8m4o2b0cJ5E4ldKRcTGz8eIUBelymnFIO66VFz16EDEKoupOsSEJ8udDlf-84SNf9jHRn1YQsP8gI4A6QZ8cTkQiOLIrN1TO-Y8luzZaR1U-diJr4JRxzOm7fuc9PQn_t-3eYJj=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vEmj3EHxl8En8bmsB2VWsC_uwQ5bCXzy-55HKKP-NdvLaWOnzealnvrHUsBcM2aGIw5OEV3aTh5xV9hQ=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tId8k-w9SwYpoe1mpvqnEaecNnwxVp2xatZgVr9bD8r0gUbSDCw_9xGXQWFpPiBBghFq7I_zrtFlDOG-ldCr9J8UDw-6z3JOEnyonODlWQMtOB9f5Bd3yS9KhpM4MngmIUIVG65J6oZPXzdcxL4qsVPHAKJ8gNST6IIqfcIf64tw2CBqGuv2gCNdzrTLZnpYj-8EKdLblkinrlcE8ffTRmliRk8OMxj1c4zhU=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t3varZyE4nLIGraTEZ3RKXyAECOF7E2u_U7YF92C8UD7YxjVsMzq1R-p-xBQFRQSPIBPbfI1vTFzWZ-AdzWA95zcUmyh-zpfEMbGhhl43-kc17p0JeWZP81iujcaQqdPb9=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxyQP4pfhguH_k2RbvnicnuiVpQqVXIa2BrUkfXSZrrLMAoUcAfiwC4UaBDEOCr56hQkBSobVotm3-bdHHGx4KsdZqg0JHX4jaJMHBSmEM8n5ScW-ilIMf7RCvWpG66AIS5GKzdYE7ofrBT6uns5MHpdkwrSHZ1ZSV=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tdO4Cbl_xhPzvGBNiTRetb4CWF7NUhoVZL4Agc0-nvdL4LtizQRJDkCnuQ_xR4NMIX2kMLu2vS-Hal2ovZn1-N2WPpoFc8hY3KQfBJcoRNftmn1AuctB1lag76j0InT8UzIP3Cv4rWqQRLnysN-DNY6wo1vwMuRRl6-4jb7CFvWRIXmNx88ofAvNNccnu3No_qBD75cmky5xssHV-7Kranvq-rxY169IhIizGlV2ZV0k9Bn77z3rDPjgfekHyMsfs=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tyJET1P7GoAbPk6eKD6A0Pz_vQuSCJTFtJqDy_HH-NMMNaGUo23EJ9ZPKM3fcVMgXmcBymLI-tBtcUAlBsCLs7Q9mv_t_yLMPOTE9jDyHJre6eh0SLq0wXTo5wYYeoiXHcM-mY2Uh4c7GrfexEr3Zt0QxSq8tbVYdZtvWVnG8Q6uWs1A_H2lQw=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMDnxAh6plVk5w1Qqr6Ig7RqibFSxo1FZh4YFiyW-7sWSZcmzmSWH2WLALKX4jW-uU7_iWfhAi3G-YX6JZS6qL7VPMB1QegGFSu6Tjo59RMQoZ3Pc-Wp0RgGIR1UGRLLRmJXZZBfsKDjqpg4b7m-cXPQ=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!