Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJa2dso4P_B6be5V3uDdldyqLdYdSjXcuOSxPVCKfMs4OXT-4zgv7nVR0ZIBYctB9KPmlmZcscHiCaUsHx9h_HEn83a9IMk9WL35cBJ_vft1NPr-7y0SNrdi51KtXQkcy5sfiDBF8aLVlscUQaHdnVqAb2lML1D2-hM0DVDHjoll1JwNYFINpIfdq0dHIc02AfIbP6NtErHku4TG0=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVUFP8XFZQqZ0-hE3VzpAgpYb1X8U8eANTFnvX0bTd1-zGN5FwR1y1L9tiqxHpCoY1WFZcu1zOWV3qG3I0y05bgfyruQqrrAkHBSBKDBeSPqnmojeffH5lVJPALmu1OB6j6Uchke29VxOFAA3wDpBFQ7lesih77Ri77502xlvHGfHlS_N4oWUXcXtAhuVPICJZ3f7H6k0XZArGdYG-NNQ6gcgTHurOQ9W-8PhsTsPOwEtmioy4uA_4wemOki400Zwknql7K6SZQ3Xhwwlnhraf0xszAA38ZMGWUsr5Fa6zkw=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vpsQlu5K6KHwjv5I09H33I7SlNk6v7M2J6igj0ZgJYtuDKonfppL8UUzmTYamp2u7HaelNz1sJtAcfwY5KxBVLwmc=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYZPt9sOmlGTMwZT1HU-3CUT-jO4uB-6WH3tZE7yIJTzcc8z_FyecWn9GO8eehnnKL32q-MwE7RDrTvsBsajhleKM=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ss8sp5kARco77RkSjnYay0WgBgQ36NHU2jgbIggpv8zj1NbUjl2PEiJdE3Hep4ewbV0DfG-SNIYhtPMMHw2jcy=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v7uoU0xeF4QIDCR8nYsQhq-Lh7pxr9oD5kDIHgH7FgAevZYGskfBTxtTO-8KU0JoO_W50ZhV9d8axR-q0kXOGbPAQ=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tQxz4L3pgfXt_V63dlWfYaEIrJqZu_r_6hlesAem45h-4S9wmEUp2I8Kd5bBNKNS7fyz0ucADPvEDYl7OjGCd-Rho=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tZBs1A_N2OCiV5gNeboAS75HBw2uRmw6X89ix6m7ysFFMvpSw3HOVNQrC20zWpSQOGe4DKTALOUpZLpyDrNK4=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tpB3GQntq92cqs0wTn5T6KHHnLldxkTnqPyAeUWpIb6m2knag_jHO1suITEKblParnxKLJoch9vjlOeg=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tJb8uy08tDS6WrIzEMweJRPejXeKtxkIvvMyB96zz85QjJkmDSSxj9thRdLipDHI7Q02G3K2-RCRtKsqvwsv3mxwx07Ng=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uulT-29pdkHo1kP4sJwvU2eiVWf0WRryfxWfvwo43ssdTRwit4T6RZ8XYialRTc8tnBzUxIsw5_maCn_6AgRb4HqyW5HBqMen2CCL4rEb0ZwWQ7NyB3A403FGI4dW5IC9GvShmOXTVSkO6_6xzYBBdj-GyDHt72uTgxVsRmhnFVLYvqjTWSXxcokw8wUysY0UC8xi7RLTDo_Eyg3FiSD5zteymW11eaA=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYavX0msTikc7dJPwcB4dI5O3bgrI9rquXgdYeEcORg5Y9eUSmVgaKudniz2UQaRAwnQz8sr_B7N3rUBCRQkRTgyQHDadobstk_OuaqKbantFwU2AL=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-U1ij9qbszUKkJzsQnknXbV3zgVqhu1Q1G9sIh1qbFIUE34hz9f4Yx5yNfNNMTG-2TFEDzyWDMD1xdGlBAEBdGUwy9wa-uqs2sFyeU7bLao9QmXYWvUPne4dZXIZLk1ywuixnKUJTAyoSEalm0zPwnz0ci0UFBQXXuCflc47Cpt-u8vJY5h04v3NONGgKYd-tAo7U_QETs9mwnyeui9Kg3VgEZdCP=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tWvq5MRc4ITktyyYGJBzMcucYugmWo_G9gK17fzIIDlB-WctNC9mr-WIUq62FGGmFp5d8_SsVcsdaqwqBjQd0pni-e5jSkSnnxJ_v4FxYE_iXgN_P5nnb0ioabfwBNyY0=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sUbgBkKalnepKnZ2SsdGZClV9frLnC6TniJbZrkdiqyGy7sOPkkZ3TP7jGmsrhsy1HHs7RcEqsWzdq=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vQQEnMa_ILbjqeA5HYW4wQAf9HV3McpGmv0yY9KSlaaX4k-MwMZPcg8Vq30MZjqY3u8Pq5snwq90c1RIzSew2lrKpB8MPWuEB3gJVRRd6YBwL8W5hMJ9rWojV4IqAXCYoh=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v7KAzSmRvsfrAFs2VdOF1cMW2tHyR0gQeVTSK05JN96NAgP7DCNafp49nwRGUsv8bUaIEPB4-oyzykoA=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sE2oaOx9A9ZM2x8KcdbLXJgtoZTp6f2YkO84AYBslv0A07I471AUyqwpYvnDvSZRHPQNNRfboanoC9LPjKe3XyJSUMKacW6jetDBHYtd-wcAXOew8clr7vDPjF638GapVFtvPhuzqT9QNFYH2Py1LBL0TuE8jThq9zkJQ=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_skBwqfzhI479PkWQh9YkstoiEn1GjqDXyvMF7QT9BfdmmEudZRPROOLzRBVFcPQUdr8yuhfto8HfnRnA=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vDcqD7sEm3KyxOIs0e_Z5MZzqkFhK9QeUkvnQeR0QdbTTJs4nDWoBAgk5OSyjlrVG12SRogBR9azNHyE6lmC9LHKe1eNUK4pnWTWfSSKm2F_K8PBrEGravF-r2EDkFSCkSCS1ahtm9ES8huIdNtPwoo5t6xjfrx1V06p3zxzgdY9TntpZ8kAVAK9gQ7sSn6PdcXqBUs9JgCGEVIeA6HbqlIf7piw5l=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tY8w2EABe8v11bDoppXP5ls_SVA5asQIcOLGVhJ-zYDjTMGgk7T7R6x1wUVpwvU2mewq3hnFxrsoF-sA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSZ9Z-iDWL6OdM-NA0go6zJRnuJuwu8kVCgfHgvpZXMlQl5IA-cnH1qZJYvf2WXWbubd2qKbmf2hFKRAxL_YW8zYhouldEAKHXQkLs1LGVhpwEMbpW9JQjhl4EuR2AhMipZkygutc3KNI852z6iwGSV-W_e0ji5_T4wt1rtpp2VvZZn7CqNQdi4rkYB6wn2lby9oFIK6TUNcPlkg5XaGhmhExh3Z-dCv-XpYxtUT9VuuKY9Dul6c25wdDLrJ-eSm18JPwZRhITxKRmXlX0tVaczfEPTeg2Ul7yRbdNavcK=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJ0uEtAD8gqpx_IuyjHKnhWu4obJZbwKXcF6E8bIzNnnrLCt-sbEN9bJ5hl9KCUP4oU8TmZt8gc5kz9w=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sqP6hvMDIkbZk1BYzS--0bnfUBEtChfWNDhVvFyeX_k-KDtSrUl2QCq31ZFp_gIZV48l6ciuCYny5Zh901AWISrsJTBA9jvoSMESuGrbTS0i7Ej9HPcYJMmbru3t-Lbg7cLwDtWHr7Q35Tz3bvhiIuTt4eUNG8UdnXMQv9PEkbxJ2XNdcWnyIZ7r-R0K74pm91LLWG7eZaukvoY0c5sxbgE_cyXGhtgs4EjBs=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sgv5i9Biq7VDg_0wd7r1bQ6OFwjNUq4IbgX7cE89Morj7TtFCT_rtgC2ZaTIxECC3fT1Txz7oks1nci4SaGrlVjZh3VqMb2ZFViAJT3NwLhxSpZXfWFBD_yQSd_QmIuJxe=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vKKXg7Alx_spuuoSHksKrgc9j-Akkb5mEH80HHN2s5Fvve7CUS-jQ0aPFfTI_24M_k3Anlw1qaLu4siXJWqxgivEJ2oWPE5b4RQx8Yfh5UkKm4FKyHyNzz2McXeV8i1eCXLTAqPypnEp1FRL9s70s0e5lEmzOOS8GH=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vAydwDjhycq1GAwWSs5iL1iaCDFg6rXqp9Z7Uf7_MEV_tMtIN5cTynH9JNr0D7vpRhZvfUAmUqmIRSx_apnFuJzqgESGHpV5Ex8vZ7HbW51vWKvUYBFbCdcwsAsWnJDj9dLTIDfpRrj0zOcyZnviR1rxfuZxO0-1DLAwysED9YuzZi2Lsn0FEBeT2KwA4syWpux1kRhEJxjCP8tdSwfemxXijUOZ-Ts_n9RSfUKJfdplcOCvBTP09e-msV03Vvowk=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRu0UEMVYxm9czCI7OKVGIlqJF8JJt38URHmkYYWgg5BLm6ta81bBFQXfNbzpjL5RDuwxRwl9UlBVyMMK6Ken_TzN0SJcZMd0h2EAdLrwQ_6mgrycs8Drv_73ha_vuPLypywDjc7BqOETiCHlN3sq6fhPcCugNM3xckkbvN4FGmsFLsQ8wWwwE=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ui60YepdDit7dyttUfvfHhH5JSdVwgrHUY4wW4oK7yYDu0vJlNeLlGnKcl_7wfEiYetK4o9wKiiI1e5TXlcgj1-3mKK60aXJanQqMBPzce2LETpqpc6Xjwf-MGL6-QF84G3T5mEUo7bNIT80-iU85jRg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!