Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMdywuORe88q7FYNyf6d-H3QH2cP9pDGIRjazfXrom-O1a2Z8KaD98XVHiIiDOrdl9ZCmk-lualwaPHUzvn650ZCupBBbFCchbV6UVvnK91gyxgTVCw7Lqh7G0zxLmukOSE3hhSSS-VsF4ri5TX7MpvxSNao1O-GFjKy0B55XtlOrzoN_bvv4fGffFZwqrRPk9X7ehrjUQ_IVYk8U=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vANw4xk18knUHdTe_sI7yOO4_w2Rl_KOGx8qNa0YzCU_zM_Mhq6Dzw4pWaXML9TC-xh-H5t0wIVZKCNYeJyljaOG3PFhr6JD2GuvC3FLwjwgDGK3e0N5dr1kCf8AvKgQEESwtoJL1Unlr21w5LYRRMcgtv4y5WFxz-KnbTSUa7ZVEKvRXirMYEbs2eC0WDDS4LGh-OhKGUJWUWuLruUvZZBLTs6_pI0JHHI_CWG_Qkv58ZmitCSBAxNBPsR-QPZKlm2pSSpGdhsKA1xlPdz_Pox6gcUqnrjtqPf9f3LEIJUQ=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vxCGxhjuvXGO0RSjPwDZ-RSXi1XQeTAgCnLhj95BAtrrBeDYfVVU2xqNtebn09SSF-ngq1L7iNOFzcFWg0KrUJM4I=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ud5edByXgjzGV14qbddigmc0QbcmC6DRTy3clS_BWy-_8jCPCpyuHJTeO_rVoaRo6fQq_k6QGMc4Iy7wMBCSqnf88=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trzqc4jeTcWd75Psigxe310WhhQ52Jc_nXUbGCcfxDCFbokUjh3aIUNu50lklU5A5B6VFZHn7r-8g2_6MLYN6X=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vjN4BAxIQZzjCz65UjTtB-R7DyhQbl7lwThItZYpGPxjpmOVXmA9PdxQ9KJuZh-lxT_BxwwlADtKpXoVJVOo8crRE=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tlSnU5fuX2gfxAum8CXuns-ElDBBvq618W2HB9-kH4ukWAJYKuv6nFgL5inIvJKGxUeWIKQIs_omgznVtseIKaUsY=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sigZKzu0MZxpyKCRPK-YfkqnZPCo9SbG1P7lPz9Wb_p9ZH1bs3iCsnLvoR91VjXqZFAX8ho3qzV7doTOnEkt8=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uAd81qHVaviVh1jbAds4pgLG68jgNCVeyEgEYk8mR2y9MXIhYfXVBYw3vp8C83EcZlaaGzJJ4KsQCcWw=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sTnMNKadnTXVjNRkq345DTBym7EKzFCmogEYU3X-lmyMKxrMmfwMD4P2TxBZ6KSW4vdjA9kfPE-pOdzXtnpabSzWPkfPU=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSDWJUHa8Nex4M1sX6wGUDPCV3HJxOc9iTl_J2MNs5jzXZMcSwuETGj9V1E1wP2FGHEaji2zeVmFi0DVWRYjVGHFXTRfPErDCXBMbUAcvp2S6lmRgOlsUNABRrvE6nuVWrln65nQcUCv5N7djfxuukV9F696L59sKpLMeo4ZTbUt8JkdIfjTTUtxPV87Wh1mnFGpfVtYb880_kowpxs1131bjK8WbC_Q=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sgoYwzac3Gul7DkCvMBgnUGTu-Ov__Un4l4YnV2My8m26ZO3aDGo23R0TSY6beIO7vSrLhxJX9meMnQwLi1PLK_r2SPjHn7if5oik-ZwmvjL3GUZCs=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vdH6c1gshsWIXAhLiImrQ_v67TTGep0rNpv3BkpTjNue7-1dVMM8y4EAn22adeMJWajCBOGoEkDhLcQkKF07b6PzJqyzjO9FVt-Vv2W6EuI0J-KQkIkOhA40n50_9sm1NIo5lJAmjZT5xqk0l-slW9D03NmH-Cj2mHMVxsNz_TkPJYxalCEOcCtc-MXT9ldVKkkmryG85y0kH_bb4waFSR4zCyFAQn=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uLSIoS2HWREGlnybrShU84D3n0AC0JHyPuIJFROCe3iEeNLkjXAWAOPAvVC8ogguQ5rQvyeV8EIigiQ8vf9OI9V_WSh_hBl8BUUi054BSmNWApsaOT1JqejeqTm47Id7M=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxUA_Y92SoGi74w9jtoJmWNBTZwfo1MvvLGwvpW8lJ7qfbz4rFy-6dWbRpliNx21vp5QVehIR6S7KS=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGByVqZ4fSdMpxEy1IGYMlr_ffa55g_0keavnbcq6gOJrolKqVCnJNEbovHO7fy6IIHIN8lNP01n5g_RTbQqNbUBc5u5ZH4oKWQJLW-Qsst5Cbzc283HRCnrAAfGEsptQY=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7pAMBiaNqpwY6-hY2QNCi7CIQnhetrLXxGoJZemkVJu5eENND02TWeKrG3hOC2O7TokMTng-GmnQhbw=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_trNh6-BNXmvR5QDIFB1Uai5skuMttYEh3BgcWeeGS-hvnAoqJ4bWs6HWnE0XhzhBucY2X0SJ7wlhG7K0zvqJl9oqeAM-rmelpnzBnkTC7vhtoliJmfMUWdQf8pNBNxCXRdVn8lN4ZrTkBTdyXwzPk1_v3Bmov17CE27XA=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vqw11iP8CUZlyKxsmI7qU8GMuQcZnj_TE52CILhHkkQzbziq0Pa31UtEJuW2CpnBWYHH8WteorCviohw=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tU-ZQPI77IxlOTqTUV-RvKITayHW4pMhMzia1w2Kmml6IoMUVXRt9-5BYzGefKFp4LaN16lOWoNeNibTUWpLOniP0S8U9OD9pFU1u_ICBAuuosJwXoQgg1ODcQtasJRaXimz1tcosSPf0-U3vrR4HWT8kF4JGRVpOH5wrhckmuisS2tpzpeCnAA05Pu-gMAwopsoEd4YQQLYnMkvE2WPPqNQqcLBjB=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vIXr31El9N7BXMpFBm1e8sTaze1CfdA-3cZj2TwGAsfKH8vwbL9OG06mLrCAsJ5J8aimlwU2_3LcaoZA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vxOxwcp0h8dtFR9fdS0SvfDnsoa8hUHn96paU7JGoYUsCyeQ8tahmBdh7xC6n-yxCFEjNV7fwpjSb3yVMi-vLdCwBg42eCSIG9rInwlt3k17CnFfnyx5C3phx2QfPySeZM7c6kvRKiovTFMkGAAjP-XChXiGZ8KQ4NJ-lHgxkIx-eMHECl0vqFvwsVQS90M6UA5wOnxfNLuMvztWNF3VlfPiHqslOxTnLYwnOqnakUd19wucPqlUy-JLstrj2EqcSiSm3DxeiVbLtBi_k38c9caOLcP26RJgEwLf4GRNgg=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXPj7-jSrkDyKvYKhlBahWOeJfX5du-evT-L11_S8q3dN4XiaSHTFOGNROsWjEc-naDRHgIqYkF8y2tw=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udl3TtnZ7ktO69AiOppQ19VYt8HWkLDfy3WG4uP0Pfao7o_CtLmO5o3zLz8iDGeP-msf7cB70J7-QKOwd0RxncBCgLM8s67T0QHfMeqgN5-3kVc9fpkzlSAc7Y-LMJecK0dwNMVc8QEVHs0LyJjz4LhQrDEzPIcK9XOdNcYOXZrOzwE6VXWjJSTSYi23LXrTlse_AACTYtZqIxw0GOXsY4rLHH7MqwEulI9Og=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXhCcDcDXfphpU_YJ3fcxohorjQ2B0hsyJEmKLm1SmEM2q2JYLOmJNoHeiTfjUzYZytiWgFSGbE9G2D0FZIlkReyGgaUS-8UVgaZlkMJdbNZkRm5R4Ud4qfr_9pScMr9MC=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ur2cNmE8sPD4k-eBVsvHTUnSfwJkFa3spoBnhtJmJq7D1F8MaqlxLN6xWsyCnV5iqENDkne-m9D78E3OA0hRc7Mz0hpGXEpMTGVrxGoWuW06_ZGRPn3vm9kpfdCR23Yx7xdUPk5zWzTWFlzTMcos1axUqA7w_rfASg=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t4HP5YmvRhK0C9T7XR0Uba8T7_RsbZWOUZp--iqKUgyEfVEzsRsA3aReNZU7mxD4qSgnvaLmb5zOr-6vJqp_j-rkj-cnH9wNFK3VrRW-6DnaDzOaevP40iEtR5S97jNbjrfeUNcYxBcFyAnjyKWevtpHIAsd4lZqDFxAnxGRdx3bWJjeCsb5_0-9Re1EULHGaackx5_Vhr3c79GQjOKkgPDCdQjhVfF2CwT8MPyyxxyTuElIuh1fyLVr_RGWTveI0=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vWVYu8C3CODUoTCb97ksxDf3nG2iB9ng-m8isxS7ZO-uQuDgWi3svdaEs2vgE2TFFHXwjWg4TvjkErn38jxJo-A7wQfvrm8w_kyTDwzvKH8YGQqbjmGS3yyWA600zYfB9oMNtTPu-SaacM9h2xuD0ANFYfo6-KYg0MLGX3JaR0lmfKIvaYeBQr=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUGCOUmHciBpFym7j5S-PZb5j5zAGLXoEOEsiTyeax5gFffE4Y8bBkxRbNKtB8qoh1XEp8vb6PyAQKnwQU60s03PPWdY_D-DBv9yXjyliM9mKoOnAnaoIC0IoHND4LdPMrgI8s5wQzwLXA2hcX5AMqHg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!