Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ufBaFPB-VGUip754RW7WqtvE09qQAXxJQQhXvdPFprPVruSwPowv9lqOXr6En1NAL8xnqOSx_9tiMwdy73q2rcpPpHrGD_lcaVc5PBDTXWPBwvOLM8rQFj_tS855HcNPaTxs38qle5W3PPa8Q4F96R0SzjDp6fIrvdfs2QpydJA071bhiDsDh5Gf39s6Mt_PSGZt1DYkPkT_w8ta4=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sP_gB3ivYh_-1ltgMgFCA6ilrJjjtX9B1IUXCr9eSI6a0H5-PTJMCFoaCgqFC-kl8crIt1DkK8HWMRHJH6kb9OW8p5ET28JaIqmcDc_lWiLN7SpJoPGfveDfAedroajUSUEAJpHoddNlEQeli6GGsQHsLIyaPqMjDKxITG6jZHJD0XJQhIz1EC_24NDcpr9mR2ZRQLjxTKnhYmhxfHxO2MlNbVEwzMEsRVbROd9JHMRDRli-0kqinZMyNeX9laLxrEImy1PHcMfzCVWfuw9JUc-SafySJPng9eaRjzg6RTcw=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t7tUf7vDAoRkRQ12UmrJ6-QTG6xUwqguxdPRcXM4RlROzAXUW_w5iomjwoxXJAc_hYpKyjxDBQdmfhU5CWi6Lzaw4=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyup11nE_RpmvT7A2Zlhq6Ug2JaK8BRcRQg_T5JixOuGKKAVuLZkgOSax3Yr7V_-uzWV4rV13oyR1lyGTZnZdujRo=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2SnN7zgthax1JWdSyN-VklPh_q3j-DWZAhSICnTjlJJAFHE_T4-ZjDzDW-z1Sq_4uqZYXZRFlgpqoVdQIn1wW=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbZK99JWXosEFBpJM0Adns3b7tieSd3kZENzjCLVpjRCLxNPR5CHzSS3vfxmYnOsRWurLPRoUzVbv2175o3RmaWYI=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sm0vP11Rp9xl2HkrMqARL9-yz-32Zn6a3nG7ABXnkNXoW3YAZ1kGoXOc1yln1WorEOgHDSQ30eg-eeQ_PC6bdZ_A8=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sZ96uCTUdSd-__jzVRI0BZHVHjfOMYuVGIELWVuaJjIYXRhbp7iLYswvk1xi6XBvO8bgeJGbtoo4jlHm-4g3g=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uv-4LQqj-YPGh9FI8OFgvs3J4JnB3sdVR6nGx7q7w_WBY10vdJSzpnVkTZYp34aeMTlCJx6IB7z_8HeA=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tZly1tZQNjI1eE8QeknwTk5oNezW2QfBxD26c9ReR--R6PvNmsLwRwmlp6xQ-sx9gEfLG7Cduf0dM2_AF-HhzORd5bnyU=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_twvrjnTHJqIaUGawAcymQTCJffp-r_Bh_dG0YuFhyI1L-M1Tb9AlckftuKq-J-5S3O2SXqgLsMTZTfcggA6DfwJcug8uRb_enlEUWfaWDUj8XEe2HgDbN0XYNVECCjpUconFfepUtifb-YcsE28TBD0bnlGJphZV73qugO3mi4P61s2zg7VGQ6ssxJRV9SoyUmGPAJ2Msy95_Ab5GFy43_PLrB5Gu0-g=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u87izfsPM8TvIwotOXJM0bMHjZz8bXHK4F0JpuD_qB1OlyW6NGghGXX6m8K03FVBgskiQZ9gjTkI_469b1YU8KIMfvJ8dihBO8qrqeHPvhDMg50ngj=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ti8PDo1AemvCFLwj0IFzwVzNYEUo1x0efXYe5rAdOV2Ilvu_c36t8YbXobpXXE6HubcQ01VMx5sK6kkRWmi-I1n_0J1UhoUw7JQtCh9crfGEklrIaku3-0H7X7j_8c3jkfws8ROvowNfAGVN0TpmH-3HO7Mzv04iybDragi8RTq7V1HYL0GAuEvOwoqySshm8MVRfKRXqeYgxUTC_yB-K4o-ScXV19=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s97Lirrz7gbNvtWK4UM5J8hjKyUt7K6Hea0JdOrT91dd2zgzYpCwRVGH4_4x0xo_OJHfbjla31GCRZ5eYLVMeC-mxZbOQ_9u8H81jqpmQ3UfW_OUdUS0_znnVyKhwIqDY=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ttFz-D41j6r4EXAbD_QwhN-X6FZJxYFH5b7qsx3KfVJYyoZfxsQh_4NLnpzPD4W6fmDmpyyKuIYutV=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u2RfYNZO6STsGmXnDz8iH7sHxUhdPweLm74n9MHouabDhfAiGUHbjVf_2DlapnWNZS4bZu-9uz-LXs4yWgrzT7u4NtSBMLMdbspUPPUIUD4uSf-O_ho71eKaFpIJOPGiXn=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u7k4cMSfS5ftq2ieAYzYElUVjbiZ1giExFnuQaFqwLxLkzcchpzUl9nne_zUTx04zbzbMIm5lUyMawVQ=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_siyPFFQw3OwLcoFaFvZBKKRfpahvHxlUuM3uzJaJMB7OcMF_3IKqoENwO_cyVVPD-lxOHVf6QPU4j8dzGBBgD-KA9Emvdjg25-BAOBi-HnNLO0xPPRm7ctZAswBTcCzLQdmvNJdgRjv_P8r5uA-J-TrEwOKc9HQd_wZy0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxoy_sa1PsCyYs1QIatAsu7SQq7BEdYqIDJklwBk5EBKLorFPbQKokkf44c7w2QLl16u_Aj3Oghwa34Q=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDS2R4Uutk7sIoiTi977YJ3R7Fb7NdYhrLyqgehfLqbUKtB9gTDDS3pnG4nkAMxeDnKx2YevstTRjcf1ExPLo3-rBISdl5vy5MZjQ9lZSIu0aIX8pzbzZaIX2DNpec-W57AigMeiZpJXyZ5Vxk1cQ0FbsOY5PdR3GRK2FRagbG3PlNzts769i8BCpn3Jl92DvT1hGOpCU6WEJ4CzPuCenLAPw7HQRU=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s7J-WeeQcxt0vvEHLFei120muRsu4AI0JgW2G38gBbUKOi0PUs_QhN6U5hdKsPBbMf2JGKxEyLKmqcEQ=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uj7lc0UeuX4A_b5msIRv5I52v4jScb7ac2x1y4JN4oE_-rGaYOaEFCPbEPC4KkyKoAEO08ZL9mYax1hMiYWGjwXVv5MZoiGKTQp75P6lokjGUYBVVm2dsKJLEhsITIRf1P2s7J59ZOlWE-huq_r5bOXecxG926opQN_ZcKuaNPn71LMrA8x1CIpFixYK5NpcgjNcXrpH_n_fm57tNQCI6POJZ3OWZDK0c-xz84R9EmdD0hLGOWt5fJXfjI6WWt1nEGZwCfGfzzDFGcA48hW_th84MDui-HnzGJvjNVwybl=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sDcjuDoqA6F6xH2F153TSe5int_NlBfTseghp127E-r8UNezUxAL0SxR46dUgcsQQwenV_yAKmIbPjlw=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shtEw11m-ALoA0lnslwnkLJ-XQ1E3CQ-emgN-yGX_e17tCmGU1fM2mOlFKf1xlJAgRfhuWW6TYI_f0900_PQlt_1cS7-MEum6thAfM-nnmMOHp6gwJIYh84PdV1M6eR0wMzM192gQg1LdlUNwaDB3nJ4VKSXvEwkf6TEZyGb-0UuMSbLgEAD7qvOhxcjkd4ltJbqpxZByE-xB06rIWs4C-dVtZNYS6h61TvKg=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ty0u5DH-aeUKD1QNU6E5szbdb9k4QUrcAMp4lSpR17urLV9F6LQNhlsN78GqyPUF1C6ULzS7IngiO98ky-I3mJad2lPWzDzYIiiZRGQHLE463eUsM_dje2lCJH17gkl7l4=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u3ft8Uh_3pmYjv4fPJHpT00z32W8aXrtpPFL4qGHWoEm2xjAObvdC9AHJBqvULt1nx8CdXUT8fk59Iv7FWidzpYN6dIpWKojHKoVV3wl4Z7OX7reXMws9GkAdOYAkDxwuQ-AuDu14nqehyLXmKKq1gMAQ8kRxvv8wx=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vHM71XJ9GNsWCozMhMe9-G6Ir6r3tUIZMlQKD5WxieOdEhZPA676Euv1u2K_qz9szc8JwJe7dDVt-Wy0wVxD3mtN_WHrjkJdt7ApQeBkYtI6qS-T_W2lDc_fzKTTpiqEGFgUiXhZCqf-BunwnKiPxchWhbNRhxZbiGSZPTd-KlL7k4PK7gXF9DZjF5zCiM3HHARIqnNUQf2AhSVN3-aBqfaA8jTUVXX5JG3JC-LAd45T8EvunKbT1nldBwFia3VdQ=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaaV_aewHzyuiaUIvsoHzRXjlmoVik5DvX1NlwqH5SL9m0Ob8KzSpjWJunjJz58PL90nw5teDa_9XvSq1vAPdit9dfg5UeFrIBiiYr1SUzMMLdK5gsMJbTX8X8-KDdmO_mzTiVP4MUks6S7wnri_-XNjs6yZf2_5kWyxcoe20hUFpfcY4jG_TS=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v9Byy1VtDf36NSEN_Y40Qz2w0Y1S_3x1rBM9xGizsxjf8laRpOahJaBkZ7k2i61xbzSBI1Ts4Zw4ZTW6p4bMwMQm5IFC0l030pCPKhm2eolsBSusiqvwzwls3CkC-CiPXHt2h76kMg8ZuF889d6r9K3w=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!