Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vXc69gtYhHjCZdW6CCAOgozjFSID1-025Pk426ZQNlEnCbb2itAAkPqwVZCnl_lwYpGs1mf7W5qL926UJcNfHgwf6FGYGXVi6MuTqA88xl04hjEB56KpOkWgUW36sOvxcXsbU4AGkmYTB_ogD7UpAVpwkuoxacCULf2jiRpSXWS_ga85KRB51Xbl-eQOKhQhT-LPiPqIuvdFpgajo=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tz1iaNAZRrqXAiDZfTga8Fsql8YCXycoyOmiRFN-Ebi8rGp9o-j_1UQijLIWnun78Pu33UDIeyJMqUGeKKAe4dGb0QnNG6wbVXG9OXgUgP13P6wSrV1FsBB23wVMksHIDX7KFHLCG8dgvz74a3gXsxBJHSdNfijkTd5mWhGsm-f4FBxizr-zKbBxzc4PmVA3pnLjabj7app3bwr4sq9RGvFFVHVSjGD5IA5fGUMYY5XdS2Hcm-q66tjAEcFEoSQFOsvubfpHmDWlteHe4Fytl1wYa4bwFJHPxqDfoEFWyyAA=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vDGWsRxywoQrgDdISWCKCLL9ZluohfI_bWoTwtMTdzsFIBnw4cMP9rRbno5Mabrj3yE0Z0z1WeNomt4j31nhy4Bec=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9wE3MXr0m07h9dmJ0EXfy0mczcLwNgO6gp49Cw33VcwvtTfVHNwYPUJvrYAP-gZ7f39hxlGhT0gDwAZWSa4HOasY=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ttUkVtKEZ-dSe3pr1fw2s4EWfsgPp0D0FgJoA5a75SecLIdW-K9zsY0T0os9glPPf3Bp3V4w-zUMkekGbVK1NM=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTIGVY_aER_AmPwivd1cWEeyKHL8cjDm8C_W2OpxVAqAR8FWoZ2TqAIPQ7T6TIu2eKGBN3M6FSHtgpi_y7fP37kPk=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s9i1vaNfqlcZlhlF2hhDqpmwr09hM34uOb3CFLJR7WkGBGh9T3eoopRFNYoa-zLYB2U8M5O2GCDQ2cJYioXI5XPJ8=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uaPB1qUpLQPEyfnj7ucMcOgKiQ0528n5XmFgl1S99tF98tk9ENEqLR27Cel-KbMZGJiefi3LbID0VyiZGUs14=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tlIoeKYMQo2tvWwPNd2Udt_6hvbpqNLcOeqNyR5VYQSR7O0KUvuXZU_Gdj6aRvk1GC9s7C7I5etDZJOg=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vfTbWjahJtfB-QAt8zEba5RjgymGP6cpwTh6iYK83LvYmY7nQlUWxiG-odCTidnSoD_pOdJNuNlR3FXW6mG7PYoV8uIPE=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vmeFOquB8lkc009jrsQRWnbt9gdm7WnBjmG-mc7w6ovdODSUH6bhP9NBT2w_cXkmFCryXnrnJKmFOzEnZjwNMlMqeddPZ1MH_4VtkKNOPNU5dqfbLkh8NG0a2X0rHOSFjFKlI86JyYtcVjHtXx4ennhF83WmI21iDwAciaUymj-BIcY2M5EPuPA6N-lwVaZ5iCcvlUyo8ENN9OtUmY_nAST9JS5cJsHg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vAwHqn5Ti6yw2lCKTiYZ9VUi9HQMJ80Lo4RbsVupcTCofdwtTGJ35-C9FeTKjpqvTP7nAMW0U_QIlrHOW0fGizSO-zEyqzGgf59WvMoFMip23mWrz1=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u4cy6WzLVuJxWcfdUdN32so52k3fzzpDxatIw5sdVV5gfsy0hcGahljPiPJHqdtTB9ICdrWM-qPsxn2V2TiECGoXwlBFvoKp0vL1DkZmuyALZ6a9OT2bSkKyUZBG5JlEJe2dspdq3j3sOtC_qyRz7Krgyyl2Ov_rwrYOPM_xf0aQCh0Jjy25AVG08xvhTIj9eos9EbVJGbxhjI48s7B0urJHdm14w-=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v13skF6Lvzt1_5z5TPCj7X6pBl6ZN7NkJmOy3HNnBdAlJRDbMCD2X38uy_CJy8-a_NcNDZXghUllBt3mTSMD-hhF3f2WDvDo8-lWnimzfT1tbzNqLYR-5XPW1yqau-B9o=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tAX0mRSGhZO9DPdSjWdVpGlr4PLrMF1sipBX60tU734Hq2gX4TofiACUtWZA0Cq2YoC5mkgHeS9mYV=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vccNQmPs--_QVVth7UIpc7CBPhvI5Lt1BZ0WoVGIC4exiN1T_Frm9LE2L224QSiYDFFl0Wxjm6AMPjchEGUpy0Nz37yqyClb7D2NnpJjkXMpyIVMW-yMZi_Y2MBfmBUu-M=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_shinnhdKxMHrR93fOa7WyLzCVWeHN28q3SfkEEkoUyh6NXfcqDL_CjMVAqp81j2pP9io2fFXj18_D6ew=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vVUWFWa2qqK7sA8V4QGLe64tVVh6pQwyuIuwElHCl5XV3b_2H3bpVvHdZLgTRzRrRuU3qLr1BT9PChy9n-QOG5LBclo_VCAvSi4gE1a9f74LB5b5iqDqQyUw_Q6mXJvgyXg3CwpswZJsqROTqzX81H2513Gs1GAa_Mg1o=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_usN_KmnNMRQprkLTCT9anr0gyYR3KWSS3ulVC2w_YjauzPZIAkVlaEmA0yeXAetMvt__R7H2USZrVBrA=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4TheS_gZxsr9WJ8ntyy8Da5GsB8d7L8xP7srq4-9Ta7CVFRMBD91VPS-5dzg1VFBT2IvWo7Q1IyLrP15fQrVg8FH6BV-bS2rPHzNlgzsktNppgkuBsm0eMfhD_Wv2ZRvAAMhhqwI5h1aAg6C326wLL5rdJuH-qRofdojD6Ty_oVsEahvJ43Nmbh5wWiETdC4uEdMkPchNcs9Sdhl0xi_yY8gaWLNU=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSzkB4dC6-bZeq9rty0FerDNa9bgEsJp0BuwSXV3aQzakXmec4276EkvBZ-USHgAUQeFKa1-YpWVgzkg=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uk_sSOgLHMCS6EZPK16-5jgr4lfgczh3RI2OXrmUYRgXmON4NkTDcTN5FNRQyjazuJjvJeQUU_MqMXlGmAZHiH8cOJMoOu46_Qwi5pP3jJrjpSGMtUVsBqXIrluT9e97P8zYC-tM4awdCio3qiPoCD9L6xvgfSCFVvPg4C_k_oeg-O01ZrDsfJWBuMYA0EdSWpC8HZ4UoFme5e6dO-yliubptNVv7y_1kxGhdTfJ60pNSSfaWG8HdD5sWWS_GlkFJQ3CG88YVC_zmT9coboz1c0ymWEiGTZuS_MQBC6XnW=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v7oF_hrhtn2_wHh8RgyyAlCPc_mGmIYiIhgwoxxVIsCXVdoou6bZBMDpMGqzJVjizLGXydxWLwXDJahw=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uOoRA_Mj4n1iN6ncLVWTehOf531UHKc1k4HRqvqyzWLmTe4nswt7JepUITPYHKb8421vNn40iPZABurNMYtADRepquF4IUGGuzK22jEOZcWyXFfZiYdMYL50b1Ejpa79OhB37uI2TvDVsA3vWTURrf6qoTZY8fCWxtDhOgXsnJqPBrh0AmzupEUkOo5LgYqfPT6Hcc_93oQGeo7RRkFhwqpcEjYF-uzkR4xLM=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMXNC0bFhotQGHMfzm7zPYBzzdNE0ao61X0xIlEFF-BFtwjpsz7B16ucM3IcbxK9TUkpM7umidNPMqarVdRftqXCA1uYEm-YtKWvlEP-JwVLaY9Mz9huaAAgsxS3VdvVD7=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v3PWHZuBqmsEgc8SEYSAMBTaQcLRUpVBQsPClI6aIsqE3iGfJJamhDeIPB2M81xMnnXV0_86zNX_MNCD4ny1pOaaQUzu8GUfs9QxOWdPfY3lykLlb5laUQQHxb1N8T8I7fVfYDJwr5DACybzwn0g93vVMr06cZkP-3=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxDz1L4-VQRhdMYtJp_kbKc2zB7uRnxjf2qMYJIUMLUhKRKwiF0ZyTIfh5cqx5jxblEdMq3iktYbGNn3H6iLcuCDf1nNu6y9v4nNG92sbgLe8XfF-TvDifhy_uKiL6jBcRKKrHaLpfO3fqwo3N4EZ9hH84JQwvDkUGk6EGans2TnOJtqxeHJv7W7bGvNm-WLDWF-TNtS_RomqMRrxFvhhH8Z1IrZjbFTtS8Yky7pU0_dpx-ZoRuynvkf6AKNPMyrA=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vONVS0nhQApbZO2tm_pck6kxjuTMVWbF0t9RJdCc14fIKhBfyRY0183jyNSa_gHMI7ZLOd4NFY6z_DgAYlrrGHC2GkYLq4a0uEd9A8aJiUcgc_Ve-IZn3whoe4xHTmOxP1CtPDQHQSbDTbpjtWU52LUXBXIOkp8xE3bBOyj8KSjCJV2BJagQJ6=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tMLaxkIkNAPrrpqJobbYduOaD8lR8MoHAlEJYWndPPH-sm79jPBklFY8l1dv5YkV8BXp9WS9XhwPVRm_WvOQppHTYUJ2uutI-EKKuTJOm1Cjw4ENHZE6Vz0-kCedavy-Ip883g0ZWmapzb17PVVUBVPg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!