Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uj7-aAdaxI97F7YOO63F4bCP6gG_EtsEXPc81uf7MGf6Suuk0VN_4rsuTCCCi1cVg8klLnIhJZCO_XNPiwZFsG-5iGIdx3xFASVpWT-0faqMDoDu-L-hxfMqR-1wCsSpsmjncu6kBD8Vk8MO23Ck2_fD8cXsX7I7v2zTGHrNA-zeEGhUIztMYCN32UFFVnYssbNJv7FMCmo3fT6Xs=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t4VvF3VMd5h8kKKjdKXGPVSpRv3L59ZqUM37G8fsQwrfTRyLPflRueCghDYFOGkJHLYtXiHtTsC5wEZWMvo4ZpnMDY_U3IvedrBkRLC8C1V8LqgLjAMX6wNX752FqM3z07y8WHyEHtExdmzShZgfMQCb0aSuAFyIqNZSYazbqeOj7ZwDSvX3IY3H5e6e518nMxz5ZYZks9Fuqf8x48T1ChIWM3fzy9tSYhvKOIu6Q0JEInMdpLn7AY79uiHRKascO-w2Wv2BoO8LW2zbdYPgDbEDMDpSISj6x_sbh8zZ_TyA=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sFiE7USLKbcwF1XWEWKHGWQMjyoWDS84sgvT7dMAaJwE_ylORUxa_lpGZT7u8yFpa9UET0ALBXS-aWG2DrnDdzbY0=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s4UKgqi-JJUUSQ3Zb01hJHZAWHU2IPlMAEZUdrpkmJ-XzY5t6EBavAgYgX0CDD8f5g6XQwLo8y_WwO6zRAPORExxs=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tYF-a4NtHuBUtoOWCN3bdafUB6DAtXHsM8JkRlSqiDHL6k65-ddepAwmLYFl6UDLrM1lKJmPvWjQwSty8G-awC=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uPvkj09BCrMW3S3CHkx7a3uscPjzjwpZzyJ-3B72ZXVcEA-feNt5UfZ-4W0hRuraR1UjqaS3qPa1cNGI-y-R-7DJ4=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uyAIsIzXpO5PwzA2JGCOSl0lpM8Al3uXzJeb93BPIpfPWW8xyqgraC0zlwFQER2cjGREKqOZmqwUKPw3QyvMULAww=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s1YkqtReGGwbybo9j3zht-0owaqW_6m66krozs_E-KF6iktrTkzBtwK3Mm3OtKxVM65I-tFvu12g757H1R8B4=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uzhJQ4pD0It6zQSuq0l4Jn5KR207NHTz1Kzf3rhjA8ABgA_Xi2JZGAfsnS4jZBrGoqIHCItk9NfKFRNA=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcYXLtnSlLr1HjmkAzUJWNOBC1BX1oStSZHzL5b1ESe8cVeNJMWOHYe8H1A3lZXUOLvFkcRrI9XVndZHw3kVSGzgr5XQY=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smM3obdQ6npS2WOS_z5nD6XdntNXQJozNmRCtSxfaKp4RQi3bTrKGmpGoiOHKkxswEFAWyWhsZ42BouyBhXOVcP5i331Vgt2hHadMR7xcFOil7xKVyk6s9y9EQVI_8cOpzxQ4c096GR6BMG_hrv6g0z_seqOQHEcj4iKZEKbc39CzJBS6UkQuvO9lO96CPxF2x7qICZfe--5rIgWhPLV9PrDm35mJ1Wg=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPpzLZbf7bH3Mn1JbBp39-Zf9gqh3qf-T_VVQiwnKfuZunvE79i5M_7kiMBN9Abiq_0l4H0JKMFKFOimuJFFgwe4A8scqDzqWR-q0TJO4FoNbF37l0=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQ2sBMHLM5zAIJVLES4qtUOfSuFCXBcXUh67NIqjtj-y5xVPFe7BCiRK8CW292lQTpfc1-jlvWFdgm6gGszpQh241lbLWVlTdYwssLyI78qhV2Xpgac3B2ZDG5AF_fb3w7KyRg5bgrXMu-hMEUzggJvC4XibvQNfNqKIsRgc9RC4VQTzoUeSgFMLtWioKNiLLI3CYQWTKoEdSKiGCZEKftEioIOklq=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMZSmAt8kIPuar1GcJDeYq7biQRki-eDZcHp1ut0W3uqpypg6NN_4CkWqm3UYl2xsy2bQdQnLgTjb_Ju2fd6Fkb-Gqq4e7XRZd7m_xTrPgTuoyA5osc6e1J1U1HCHZhF4=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgJjOnL80vBd2jYSpixviolkghfSj54hoLUIZztpMq_lsD9dRlEoTtjirTXPYhW_6gKRS5O_01qpuJ=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txTxUZlTRKXaNCMVLl87N-bXYPjf1h0Tnm7YDxoHNr6Z1Z69DloYrsIQoZp_e45qLK3UXtN90sl-7RAhTm8tW6FiuX0TFMh6-QftdALi7Kh0YzVrpncsqcySiSeo9oJB4R=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sNkeGKR-83VCW2eZol0P4ftO8jVzup6UAKMeM4gnrveo8wSGNkmvFqn0kYaQ14pfQg5uBWnAWyYhFZCw=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tSeroe1zpCbxzKXMvrwRqag_K1S_Olv6w8tNwSO3h1U9i-eu5YbJvJLu95FLpmKgqaD8ZS9PHaWNSmPX6BiTTGjU5TekxCXPRyMCibS_tn6qVTUI1funSFNFH62Musz9sfQ7SuwhaZjnyim8LkPOEpByzsCDHZtyOO5I0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_secQGd3ea2bK0TKDvqLucEXsJVxPScBLtiAOomSOZbJTsIQD6L6BvlyCdHzT31NpzHacGt0KsDIT7K5g=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9Tz2X_w4TjVcR8O8W74AYiW_Ae9RgR2PHZ1BXDfSsyNWXfm7ZnH_2BLT7L0tWLs-e39kFKbNSb2lH9M4hyOYUSwgXPyoX9Z2BlJb40IrPXO-7Gf19JadpL4CP66u263E7_XZP9WURcXha-rBGMYSwDdKq9-hGJxAib3pzEf-FjaifCnpj7Yy_ORXDrnFBYvo0uodWbURHY52TJyZfA110N7GKz7it=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-KjvFYh8V-3o2QmI8iFfCt80GtP9O9qz91BM6iALXZRNp0L74yiaIoJiztpIyUyDaPZW_sJ_aH0q6qw=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sn81v7-dtJxQfTxgpriwiRBRSiyANawfn4UilfpSsnWOFrSi_dUn7wYwOmotAzTSugJQWghLTfWVc1-EMdwryzL1fBq_EZXX8bGj8MaxlU_CwWeU75KGY2fTfz7GvW07sfNr--nKjHIZLxRn0BeamQNB4Mq7QvCU0I2LpBP0qxVwGcvcWWMBb7LxjYAMi8cUyJoGUOwhWzNQmzjsqFuMiBgCIDW978tE2-QdWNf8SSMsDR-Gl-vEntBmnb_Xhy4ocLzTzp4xGylrWkoOHRJusxYBu-eyLBvy96u-E5XJYz=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_talND4Fbm2_NW0Ma7JhGLauxf7TonjJU60VZR1dDdlQmrITc9o-VwMgEeHjMixsrxbLH3oV-dVOBPj_A=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_szT3v2KcLnlhD7vbtBo_zVK_ICquGJqj-UJkzXf5anPlQ__fBgog28rDJFlNrdjyfzIEKqsygU_af8iyCNWvMjL-9IBEeeqNfamNlt2mPfDIZv2UTMrESG2NV3NFQPW1CdjuKSIbys6viBMpR24WemvI9aYKTnOZ3yfaYHjAkGQ66UjzOF4Zi6UPBbEJlLr98D-pPUtUvoy1ROJhTpFqNKAp2U2KZfUJg9vVU=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t951Hxw9tR5UF2F--gDYKN88LIiaRjTIqocvIM7ua77gYE3Yc7PVWiaSTjEdIBaM3xy0J0HxVSov9a4wC-YIgjT8B4DmwQfVuYvF1DE088oc-rmTmj05KeKwpcA81__20W=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sx7GDXCOUQtXLGm-1tVALV1yffkxrfqWSq9d79qjolKH4inqfNvy9ZGU-x3Fl_D8_GKLZ5Ysoy84xBY6hw13ZidjEYbf2efa7tpUkLPrLwFG6YUVPPiv75ENDoGJmtP87Fyng--2Nm_NUt_C2A0ux_cOtuUnqiAaoH=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uIxH3D6VgNtuc_Ai_TFJJe_M8b7bsnwFDXysEzSsTPtT9fI5Jw-OYcI1YOFHtlE6JO8aVRwht793qxANJmuLXHjvFGWQT-QsXVbsP1eWCC7gdMlzSerTnj3TJRsS-Un7VXJqSkEXYqrC01cJiGLjEQKAfqFjxs6SheUW5BX8LMGt-y2KWHjdHzDLWe2aIgvJst_9OonyT0YUFcBN-VCVG8YL6MglMV3uqfuRaVrKFBxvMkAFozBHPD9xEOYaOf0yE=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ts2KkLt-_WqNEDQJEM7syMtCd2ZKKjLwU59WczqAGBf0FnYPUa3rISex3hHTsq1zgcciaw_8u9ML6aNVqTGa1VI_67fSacwYzwL7tQb9BFnQ8BH8tjrbJun_z4UToouuEC7su2X_ikLPSfzezyrBRKpRuQ3tl8-3LmcjOcL1NOqu5Z4qWnjzzH=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ujE9BlO7C53WR0JF-KDXWYzMqARFLR8h0uojWiCB3LVW8DQqu8jJJlyZoROQykSB_CZfmRc-j3uBoHSGK4ZWxu2I6-ov9ydBfbkyquwXXHO6FIgUOK-IbJ2SOolNA4VMaulSb73opP767LPo8qjsxnrQ=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!