Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPNQEMHR4L1yRwEC2Of9dKuusZTuUq3Mh0hEzzjW-yhAIpTUS18MUZLQPCc9tqVeFbhxftyaqh7C8qyBJSsanBMng9eo3pguLrBzVIA-BSINs158hI1_yrnUkm0wAJuldAd8xg9Ejjc0O1NgWC0qPEHkPipTENleIhej6kzw6eNZA--eTe2wh-BGKz8bqlJOWSHP-Fz_srBW3awzY=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uEGXUoG-GStdGex5n4sCbSArGoPR0_GgZ00ibgDqBGZ-e7lTwVazktumPmIchSWPgw_EfXrgXtLCwv7LuXcN0Tr5q1SZeZm9Hn0lBu8gzn5gkBYOSEkotIGJj9OX1wu-zBxz1u3qWwU1Exo-gZxPw448VoCOCuXGNCjpnK5WADAzIFz9qYuPDqi-EgMooiC6EXKzLidK7FOv9AFhWJJX1kpuvfV-w6saFU_0aXcbQewhHjDnvFtFBkx2h64QIzukrHFfJv2UUomn_hTJowVOwW_raendXctZnBpN3c81YfSw=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_veuuQyD-CnFe99O7nv5XnMue_hwpIwu5HJEmSMxrKhgtTmiVYxN81hTidhLkqUPLtoRtVXqB6jAIDfreOv3vWJg5E=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sV5bNqPnpxFIAUFnDLerahOQYUffdTmMkZ3tqHmv4uTaDP0KA1PDECKBF1WkQBh9R5OdOYu44F2Rjg8I2UQkT_Avk=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uqFZWX5FUsbmirCujzfDC0TrEbAyXZ_5ypPkkWtYVS4hMfQHYAdpiXohHBnaAXeNBBlpKF4oS9KjHAOjlYsgvJ=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vnBly3SOfZK1gkDNzaLhLnNgu203mOrCpq1D_RSn04-_0cVgF-bvoe2zgrN9bbeuE3DlFX9W_niZFQ5DtDWINUW9c=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vAXe7jDI9aFBdrOPvGROK8U8X842g6VWvEnXp6RsocTKtKMcY7fauDpyEFUOcwiYuiinPdjz8VnvG_hdE7WIA0nhk=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v9-a5jloNAelGG7t8UO4n2w1PeXrRjFjoq-Ziy4brm9MMkrr0ffbzOI5krEgFyD5B41OfZji3gszqdU4ezWpI=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfzhDYUrdnmfQW2AXwhel0A5lpsNdZQWCkqZVv3mNF-P3gQ7XOJZUOEuYIIDG6mvbFI4_VwaQPnp9uDQ=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vbYd7HBG6SUZhgcwy6CivYmMiAipet1YfbswryqZ_FwJzar3xIwb1B4rnh9CBSiJ1u2A-XQ2NXFVxdpCeYq2Wgb5-bR5E=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tpYoPs3Zdtwaj3lhp7No-y08vtlgroiQ3n3wZYdDEc99wLArvDxPIfPC5R9x3nYTzsOJpzgPoMhx8Eww-p1b_TBsUxWU9Q1sRpE0avyvrMQLSnowXvAOA95H7vGB-oooghuKniggkDgArEvQG29o5sPgFawU7B8fOaHm1T7D_FM6wN9aMPg6CMW8JZ71pYfSqfIwJQobT3I8TpbEQgtC-URkPDw3xz3w=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sXfGKjUTVsuuDHYYr1XTzlDXqPEjkKctcE6ZExoce64niS8HBVJvixhNeOV-i8hCCX5ERkjPjw0nwgUi9hOsKc6e7BSAABd0AL2xGoKpMFiIRUGRjE=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uYDDWQVp0XkcK0p7_BTyFSZyZ461rI8OOQ5Qzlfyy1whjdGwF_WzalawOWv_qrX2wF8tSXR8xNw-VZpE0PVuBbA1IPC21V1fpwDgjaWaUujvOjGr3qiK668JiVyHyoEuUPkWG2qXS9UfO8kydco0nWNv6j38lNebME8fdODH-FulpLQIfRfZby1Bich9OMpq_TQknxINYS_y0HUZ7DfrgoF9C3UsOP=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vuRySNP2ACf3LfJJ9murKG6iZTuJxa0LFLYxng3YGSP74HFJJ-lILT6X5rdDvMY3DSjuIxLPXIXxb9luYg7nUbr24yVEEHgvcHILjrj0ltRW-OxaCO2jcjJXgmXiBGopY=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vs02wBaB0u_y5lBZtar3dhCFdTNOxU59u6R-ZueeEUJO50vyV1TjRWy0ft_LmZKSQMvBvozJ1AYqsU=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u5csh06Zbmv-_Bg1AQt0p_MwOh2zgyemE_kc2Kd6VnPQeTfEYIIxb34g8EGnq-RPa9e9agd0qV3Jas3Efv7DVCyIrUapxU0vGksue2KP4CG35-38AiFoySLbf9VaAxc99u=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vA5e2Fx4duQ8DSkFIMJHNB6tMBC4v0c9zxJ97yK_eiqhJLvdOy5BdcxHNW_uWdmf03hnowVIwzKMnghA=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2XnL42K_nUj4W_8rYt0MzrISZcg1vpWejNzbvTZB00qE-bQesVxqLL-XSWSeUOinXuNtS-aPpCFYhmsfJutTp7uDEjPOWen2nhH_uBwzyVavL6x8tmpzp85EvxJPBqd7F-MVBaM8JWiykdCRQ3ev2Uz3X3NlDGspLvks=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unxxcL8EoAkNlFRanArDzGClRTCBfgCWQEcdTtE1FzmEPyaAmVITD_2Vg_a8VxmNbF2aqNBv-ucn2T3g=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uV2FGzf9tGx9ZawLogosRGHGybIoRdhBM_AsEmcp7G9HRpPV-vvKhdUjjTgc5fc4uXWjAQENJs8tv8pfuwyqYzvYd0rFW4gtC7FZI6mq5WLWLWOb1FrYp6VIFcKG0bWZbbDj3fYy0hYiyE9TpYM9N2I-wCgas7S17sa-Z7_mDMk9IRmxyHDAqCi3ylLe8j-ZoRD4UVyZm7vqm89OBEYLjNIcvV-_JD=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t0PdNxuHoqqFSA049-e1OnIcTPtrRpTC5Hc0yAGF_xt3zilrxlOrkyyK-PEToa0Bfa6_MhEQZ3B2qIDA=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tUjkZBdNraIcpUywBH5oQB4wN3EP8LSS5G0zuLnxlY9UBZ8Sj7tXP76oSY-Wj80QXxycERI_qW1BI9OxviDwUqs8Xy5wpom8MBJrLNt8htTEMDd1HtzBN9MQA1wo8tvqxNM5sJYtbKnmAOQT4jpMWK8hEaKXj3pOkwzIbTcUarY3PJPacYjD4EBGK7laZtCikkBonOBJLKYaMsrqSGK_Kl8W0teiYnhPvIgzlP4Me4knKeO16IVY31o3LoagE1IK26osblvzPpdmOwTpJJpnz8lC10mxSiWYT-51rzSHSP=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vhusJddSwgsufB2I50dtdfq1KEocYqYh68TlWO7jkgXyqX_K1dS5NuYxoYWQyC9anhjUI2QnseotgLTA=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_scqmutG0NgLH3f7nzWeGI93m792fXDLTAVbjsCwRF8r-eqaMgYUG42HTXV5ReHFaD5kqeveO4ly9n1mv3_Inhbnkf5UgD2mZ3-kgRfWMjK9RCQwB5csC5cAZ3Gy5OXKbqgM6fYmaKzZd8fMH1uEMto_Nz7va4BQPiCMpUohtoqr6fXEobRkt-0KUqAUAmAQm8uc4Y8TA4tm1nHp8QFpPDZMGRuoEvPzwVxS1g=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v-jw49BPj8lOFpQ2T6JOvQxWHoNns3JhjWIDAjhciwO8N9mSiBLl_VPrGcsyu9vqoBh1ltsMsaFZ4WTDVTAsAneuks6KhyMudAY0ZmlXZAzYa0-4qUFXdn4xCeuQKcObKp=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uCuxESI_5fhknSzUTTDl_NG7A5NNxOeMfCTsmTOF0KE2YQ64n464D4X0-ktiR9Bl1Um1BVfnwGqpQTY9nDEDpcipH8RPCUN5qCCCvTmt0TUVmCwyY8dTKYeWRVSs7tAkWD2UMj8emM03Sw6YwVcT_DXBuos6PO0qzr=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzic54L6vWB4doWwn1h1EmE3qilC3WaPrtamElNfTU_SvjQAo0_TOkdLgZxLDcg4zi57LS5pn4nUE-1oBToU4weto6vBTCLdiJYEn5p7cBrhTUu0uuBiaW3zVAcAdFnl0UTD8bDMs32lbdDRa-myir3_iPqrFgIa6SK-Jq-Qxa-usf09PDiyKieN7x84hQfNdE52_MtBs76GhtSumw29OSJYE0YgTI9vKjC5B8JibZvCwrGe6BPDqk6hh0wwZGwUI=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sH_yqrpjfrMEk0xRKRkuQytIWrcJc9mT2SjBD0EYNhZmlpS0WPhyMXUaVFMC-jnyQMsdyOPUhmJVso4M5W1bu5j8noIZ8nIJKKbjf-wkUAyQvFTdw-XyfgSmIOfohsHy7f2igM-Ys5eOCKiaK_CgTUKNbgQuc9f1xl3OU5fOdM5k71kZh75bn4=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrPZbORu9Zl3gpZMWBgNOEVFuf3VO12XVGmeOR_AL9I9bTpHP4ctkey4j6VqgJaGqDbzWvRAd2KRXVtIx3midnMx1zw7bF-8nrGyloKhmOwatCyjrBQ70CH2_kOfYzAA-9R4qtXiOEHLLaoX4d-6CvLg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!