Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s67wdfwXiWi-5i7Rql6T3uQjPCl2ZzPsfojpb9rnKu8zDlFv9YryVg3AiTOCh8WLMT0w9hP79I7gzx4WKe52mMXJ5dpG4evwDI7KJdZlTZFZ3L8IpNL04Gn5ZnKfSQuwTzBXypRyMurt1p9UWznrlsMlKtRgecFYtUmj7BBa7IRZ701Miv_LG0lDQF0vILp-BPrptxubj6nlwROyE=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tKW9cuRVngTNKe9X_GztrB7hsnULj33XZ-1RzGVXcQPXeEq42JwhCoMz1slagm2A938NqyFnEsKtTa0Tf2YqA_m8WA3db9X2ehNf9eNqyUZEC97q7ADbK9EL0bA5jwDOSn6--Oy7msfZXoAzB1QoEnnAukIY7DsSxmPFIZMtO8F1EBYbouQhSUVndc8qoD9R6Qes5wFNbESYKdtzDQUvZdD5oOi6q--X5k9VrTsoh2KEZurRF4mGXlN6arqZxM6ZPlJ6gS13JUqXsWlTepWga-QrXSn_wZUP4g0OvQjMiWYg=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vBXlB1F-Qrvs51lF92wi0g8EJkjksbXjrOXg1H7m-nK5n_7LAxbvHWA6VpZjZtcabb--LZj2nqZRThGPBI2_4u9M4=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sJA3MdNAMgvrpufwnHOThUPt37P_UeXhVsg46CVTsTJcx7S3Tw4GFNrpJXmCG9CRwPKFMqqf67j7iWXfes7YU-Vvc=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_seEgqwPNRtd-TtKp6KPYVg2toIIyTsTHc9hcTPP8qQloz601b1ZyNjnuugnNVZDLSiMhYobhAWgTIYKc1_hKGI=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tY-1nGu4Bm_O6SDq3FtcX3BJyD3I8XneGZZSdbhk13SDDHnQuSUHUJZBAIPABMy1xMLtonF6ZUn2Hjk2tgV6YsWo8=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tjvS9hkvAAZ18oH5kJvWjLQRIttmAqlS9w_3ALLzGiw_5akIyEC9OrX6PaAXtaTmpQh3CNLPJ8xHjbccoPhqCbe2s=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u-lxuMufu2j6F2JCRiIpSLOLd6Q15Bq-TT5-nYSk9Vw3V--CjHVjDvgkXGRrcwq8xeA1APu2KVi4D2H-bmW1w=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sqW8wc51ubhZaSRy9k2Wt4ux1doorzcV-woNbPu3S1hXvwvO2uEk3rQHYK-hwO0rW2epV1r0vt6_sEVw=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzVEQARLnZQNMfO-VefsY-Gfp2wuHu1mlgRk_5YUTIcfORuXgW6gL9r7fb4-YAoo6O7rbPeSulcTYYePSDrTGQaAaKDPI=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v6V4v1eEFFIkI6BzznN2rlH4eUZ3mDuYjccRY_wxxsiJ6qyAvrzxvfWQbVE5T_6gQ__a2xwVGtkp23hu2kbx0gLhym-A0TX6CiF5DK6dTD6iEuCJoQItnUaBxHWo4_Spt_aKfLgtnOJWTr3NAtsqD-sXCtzXGw8_6aWqfGAGhWgJAbY13SdvHntXs8D6Qo_YVP9G8KcNOA1zbjaX82WygzhzhXAcUSOQ=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tpNy7LcVX_q4CJfBImBTJeLIfttyp2wbkgPLlNQznh88aolv9czx2-8m2qi1mN2HLVkNLP3giY3C-thjNcQX3x6-YPexs8R6gDP-iGizmzspxcjL11=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tzLFG_0MKf_E9wVMUqv2oeoDefDiRa50_wOTShPxaHIgBzrTdH1WBZa0OlbXy0d7Hu7XSzHu5KeDKHehnNvszopcIa-lg1nWfhowVfoGkNo1bSJACT-KYHntMamU2l5hDV4qUFJTA0tVcVktC00uPvpa6vyYl6BMvmsAEIZuYldxnnwBg40xerk86T9A2jTVdT41hpTzYl90Q3ZFPMGcfMyu8UIRCQ=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tNrn0HTBZCYgz64gNde9mb4r8JcopPzTrUvh-kuu5vx6rtIsPvhxj7_G6CDwwgv_7tMI4eJN2n-1IE2Glmnkgg3CHJ0zX-s5uj4FXOZMTXNWrmNmt_upcjm79p67aI5qU=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vtzYs9z8YOp5ea2tGOj_pqf8IH-tJg41775nrdUQi8IHpaOQxEmgRFwth5zbesYXNKv0IK0Xuu4Y16=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uRDLAKy6Jh0yI8XwvFXHJwCHZ3-al6tbxLB119S50yW5WyS3fKpjGv_Xb9-40KE1VVclxRWZowjJ6viHaRAIDNuYSdt0Vv9qtVq_nMhSdpV4hg_Ypdqeho_hlqIn40EiwO=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tsjAnAALAqS2XAWe36b2j6oJGaaLD8uGav2J-lBFiRSMEUKvhkdL7OPn8TR0ypIqQgoMuho0B9UeQr2w=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_td5qpNv_xBgo2H7icOkPvlG5jkQvpdWCIYv_MYioJEoEOj4UEL2G0PMItQ7mURcTU871fmgUC4c6w_QpRrM2srS2UrqcvCndZOVPlSCfjTNMYkgO_jgrCSF8P7EeKN6GeZc5Xe9avVm_TPHSTjIGyyN9QGcPfP84Sh7sg=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uPc8EC8GZbIfROm2JHZzYHdb8WmW6yVQLfRNVZ1mLgXHlGQkWpUaqGyxKpFyxPHA9aHjbu2WpEfGC92g=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uUSnPuO4uCengXPeLl-UJfFd6X5aRWgDFaZAiaiUycHharFH5pIDHdct0pw1kdj6pBo41ZwiSSrDguI6VU6HN3Xb8fI0Zg45KLoyOJOl8RaEZaeyiULwg7Dt_t_m4epqZqHkMTv9NQDXpdOh3NrsHONtQt_Qw4RTK3Zi5pFasU5UMbbAcg-Vlz-tSrjBSGbZEuSLNPrdvXsVX0oCmX23qDihgA4NK2=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sMXyzLn7fVb8_9DoQBTZAZOWSGk5OLxdY9qOPpFsRStLE3qsv220j-elUeQPfvpMZ2a3TqwjC7uWouIQ=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uxuo3rHG8Gdwrp0FIr7UJb0mxPfkGwZhiUzVue5xLBXuH6A_lUDyrO1vrym9PU4fCe3YBREVldxVRTvuO1nV56v0V6cR2SbDJ5vdpnpQwUuBs4HvxfD9HlnRNs3t6dKHD876ibo7MGhAx4eqcBDtxLhDs115y6_PQyYIocxnmt-d4eeb219stdLJ-INArNRrTpW6St--KstOpDvT1xnpLyQ3tfLP3ZQKUAU_OHl-bwDncYMVhO4xoUrRy1xM2iwF_HghLWwpjUIvL1jucjbfNwCMBFutTmejiwzwVCJth0=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sb58vh76WZZgwiejBxXoMz0u0UoPFDlJvSgUwVjMvQ6fG6fvE0lCPDvSz0rUqhdwFgLw1AMIsgTVGhgg=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snVc3gq8rDxCLqScGXh10JFIHq8xSwF5t1ZEXgxlzgBCLehzUxKOs0hCoQIoL_5CGRmfMTn0SSPAZjcCMUI0Vo8-vg9tEF7rrsv_kY2a-A4a_2kil1qnB6Ee53igMe12eDDuLOUlyAt50vR3_Kup2kzu1bTZtSqnMMsNd1qb6xJ2wq8Fmvf1pnWdG3DR_DMkg0Rqo3PGNLiqBAzeHk4SvpoOMMdHTSwluuOFI=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxCkIcEoAUzOGT1KxuFk96CU0x6FH2uZNgAcP4ynXA9P1EW7FfNEoKkwaewtGGeWtJPxAWyVXyROnNSexlTbfPFO9TfvoJrkHVISekybzPS34jcfV7EE9TKl9YULhIjPwh=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sU1afwXHlt5BQPlJqFe6fQWD42g4YknZhvwJRMEFUVIz7nmMXCLR7BwwDVZJgtcPXmr6cvpuBR8Fw1e57knirlrVa9-fz2iLD6vIxWpY24fLr3HfoGxzF5XrsTkelLZWBMkGomzI5Oh1xq-pvb8jQf1Jj5t-vghRKT=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vwog-grqGsSKls7sq5FNrAGmpyHAktNkhGAw4SMYkWyFLzuCn1j7kVVmgWme5b2ZSr0MBwT0At5Fbhn7LJWvE0EYZcHOGJW6HVQC1b0oULLxtcm-8kYByh_GDMIEtOH95QOm9Nom67895yRIvdQV6s9yIaWQ60MdLn5Ep0YzhBgp93sqCxesp32t7AO3doyGltl7wAuwDuZGcS-u6XAA3KhBxezzGdO_fTerLcLFlSUp949bfc-LiuLNc-TC9i50g=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxL8eLZQP0ZI3xKQp7XViOSbwsNAaP0MWjvrO4hm6tVivj4swmP9gyILzhY_P-gfclktQAZkG8csb3BtwEgXw4hjAJRW-ZWqy26xqdWw-ifQSDy1DjGec22HT00Rh6HPqOmOHUQkm63xpK9iPavlbzcxR-4eGvMMoP5XArdrH88tWF1CoXoU5Z=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ueb74JBMuKF6I0MP3QG1pqXAYUSOTBPB7njCcveyIXUhvjhWss2oQoZJb39rO_uuePQYizStvTiBHOc-KCiBLV9th7oLpkPRewr7zjr3G6Y9MJqpYmuFOigIFlBK2qHYV_5pDjJRa824PywCKISLj7Jg=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!