Olá, pessoal, voltando com as aulas de matri. A aula de hoje é sobre:
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
![[;\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tDUSZHfwyChOOiSEmO6VNYqbO5FZdVXDHMKt_1T4vD9c-HXun-0T8M2lTW-b2xjpHP9pp_nSKVHkg2P0Y2vXS2Rpakw7VMl6HNudTWVGbDOqex3TIoU8Rn1QviNBRdOFOYd-iK4vxung5EOlKD8aeX5TrpRiLS5BhDvhXU_zVL372uyzgHcGlhsHuZPMpex2fAY3K1hbLu_V5O8Ds=s0-d "\begin{bmatrix}2 & 5\\ 4 & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}")
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
![[;\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sGwwCPreaky-ru1mZPMUqhkkbnkMwORu-ECjiCjEk_VAVOsDo_ggxmzroTUANIiCnEpOB8kenvAC6QRcM_q9m9SU4yGa5ee5E2C7enCakvRJLrPwArrkM7Zq8ix44ZeiqNvwQOq9Xb9hJQOnb8GlFBhnlaOG9oZMPA9ERr_NNRJcDP6zH2CEZEKJcXX9-ZDN-M54tVqLIKk7CA1FvMrApy8HlG8QZScG2mgUchCge1gi_8QIKrI0pUn8ry3SBIeVo_86R2WuxY3-OFYtq2___HdY4SsaiepqOg7mTyZ-1XPA=s0-d "\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 5 & 10\\ 4 & \frac{8}{5} & 8\\ 59 & 8 & 9\end{bmatrix}")
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos![[;a_{11};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tOAW_Bxrl3vAcNIuMP-eScZ4MPIjCA8rPAJICCRSRqOrslxgb2_uc1nNaz17sz4SqOKrbPMxxpOUAiXF_06V2mpCU=s0-d "a_{11}")
![[;a_{22};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sr9PmuIUX0Ve1xM2ZUPtrgKwHXAG1yBrKouok9c0pVIf-9DwG3tqMATF5zCyJysOBmbuS0N4CUIppazb6W4YeqGM8=s0-d "a_{22}")
![[;\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVSXXkG1jfFdGBthFkIFVs1z9NsaRrVe-dIP5QOWQmccsa29IPR4K-IZOUXZ9F7FQ6jITeTPyXYkEF_Qwrk9Lv=s0-d "\cdots")
![[;a_{mn};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5YHyomEtA0ykQ7x1sXPXbjy_cqllLdygkEBeuCrVpD44XgRKIHv92oVlLNi81YjOUc-ePP0a2R3ix051XtPR2drM=s0-d "a_{mn}")
formam a diagonal principal da
matriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são![[;a_{ij};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vb6GUXyRN-_6AV49L7xybphWfGPI4jEYWqBqRwYeIX6qLXZsVIWM8vXPJUJB418wDi1kJ1YyTmw0AGzY_D6w4HKuM=s0-d "a_{ij}")
tais que i=j.
A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que![[;i+j=n+1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uHVw1I7Q83nD-g64cQSKXR0HsM29qHxBh_M0A1h6Sc7SGzHkTgT73-z1MueX0DBBjafFJafArQw2qQjglcKhg=s0-d "i+j=n+1")
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde ![[;n=3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t9lUtfPsocarmI78un7vpTZQ4y5ZG2r5-im5IECPfSSbJz98xLJBZv99jFeXr0ESJTRpbWO6W52XSAgQ=s0-d "n=3")
, a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, ![[; a_{ij} ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2boa9B4jp2630puBkKG7WOFy7YXoBCHRJaqYXUdUjogzNM0CJwREeV4xVaxXGAd_-GWPx6nFQ0BY5-BVB2Si407F9QUs=s0-d "a_{ij}")
: 1+3=4=n+1=3+1
Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
![[;\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uy_8-s8q9-8nhbFAw96c6IIrTntcDxX0OncY6Rg7S9OEkMVUZZAiIp71zzlMg4d_GO5JSxw6bGsxR6MyGwFNzuQJqPk9_sQ2hBGNiV3-y_G06eljREwjXfGJiNRyIokdh1--LvAyxFnD33xEsv52ixRCouJK8s-KLtJUimlfRgJG8DdiJn3LgDvA-mkWfeUe5sP3ZVkhIpGx6nZd3ENfthjih_l4bJdQ=s0-d "\begin{bmatrix}3 & 4 & 8\\ 0 & 4 & 10\\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}")
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
![[;a_{ij}=0\forall i>j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vjTYwmmDvlKn3Ov2-hkX-NjTG9d7hLki3C3Rlhk10qLGrZvpNc5mqxzqJFEpk_v5SrzXzyotKHFtnLw5UgPJoN1S8SuY7CQk_Xoyw3DmBJrquENUtM=s0-d "a_{ij}=0\forall i>j")
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sAacIEEMWzpDFtt9oJHBb1-UjSoIjzy5tIfe0A9gs54XW1cglyWMMIty50YO8ji1ZnWLZfeL2S810cC341A65fVPoUyETJ5AioUR5At1dRvMvb3XvMhme__EwTt73uo752eigshH5bzSjA8lGJiDgy7lsI5M-m36Cr1ggfPjjmsj1pN9BHkIxw_m0eXg9W-aCZTutVv-fCjCjZSTCoAoX2D1YWsnvr=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}")
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,![[;a_{ij}=0 \forall i \ne j;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uBLfXeOJ0L1s3FuBLkxVylcwSGiXU4S5Ui5fLuDpTnvreqVhifJJguP7LnwIGVx4SxqasDJew5YM_ItIgcQ7rQB8bsIYYfHH6m0dtHajpwBFArnTC6vyWAy7oKawfBCxQ=s0-d "a_{ij}=0 \forall i \ne j")
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.![[;I_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tGlMgQrk6Eqw4ItnXYVhiy0Ps943nYWNFaBARrCP5MvAvu-PaRy3Ts5bOTlNN059POF9P_TCekQkJU=s0-d "I_n")
, com n de acordo com a ordem da matriz identidade
Ex:
![[;\begin{bmatrix}1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ugpmupLnbFya4CFrkUKYS6VvcJ_dO0zQhHvDa1qSXqBjrj_P6jCAvztXFp9S99nuLtIO5TFH5og62sSNq-fclRLoudNGNRhoBazxXCDFQuYZ3ObcRS2-kg9AcdlBu5yDUP=s0-d "\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}")
- ![[;I_1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vjtMClwPxaDwnmvRPS7CyISrAecwjKMVKTMN8HdPTzlkuz5pSh6n3D6rhOdJcZb27f0giYLp8xY5nUQA=s0-d "I_1")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uD9WKbRh08W91vxNNu_Z8WC6BY154egJ1A3IHu3_vCGzsyStHOsv7k4XGxmnHLDE3mZQ4BNPGka0Xee0H82sbwdQbABkAXD0E_QuImZJMMUBOErlelo7YKClYFjM63W4Xd4voyhyIlgaex05aWZR7s3VNC826ZoU06NNs=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vOgjTQsLglIpg5SgXX9gGEkIjLl5NGWbjZrJWPQZwyqpByoX3qcOCmni-G0Jlh864jJod01YaAreXT_g=s0-d "I_2")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ueuBtCDDS_WL4vT0_WLJsfuLlPYhxBwbq5oNfBK1ETRMGLadPzu93rLQgZVtRb-1juuI9r0HHv_gYCAxEl3aNjo-silcXvdBZHF8UkevMltlHbdv-xoHFWO1auVqZOyPO0j28HESHDhN8INMeFKOLwH5U9Lu6BDtdJUZ_pSDiMPMorxcP7jY7eyj5KCSqdMoU9YFdcuwjpGghcFsI68yP04EpH58-5=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_3;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v2E1caumNiL9sonpUrYEiFOGKAyCOxB8gssRyJS-_61gbn-onOIcIx6px1U481YZy_A8iczw0jk4MsAg=s0-d "I_3")
![[;\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vrh6U-o_8VFyYmTQPe3I91pOO2hzQcit7Nnajie2c9h6VKOHtBM-VL6DcbltopnRZyaRT9-00LZGljRT6_B5lR9Fv6uXK7FfK9suNDTFF_dEv8hKVjKb6QhuybApAvPbs7FYKUK76PLyO5qm6eKeWmt6NZWDWaxGg5DB5171EdIEp9t8wGjEqRJ5ShGIRGP9rS8jTfR8-cxvWjrwQHC-uOoxbJxZBHoVJM3ic-tXZG5AN_rFGk4kGJV9It7DBSwZMUcydTET3offiTejiN6a69LYutRjF4-3WlEVmbS8bF=s0-d "\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}")
- ![[;I_4;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vFWdOcJpuXQ_Os64Agpz235ozsFbGmjmKFP1ff4HTTwH5yXQV-BILtxb2jHP86Bh4pi-zf6t_E1FiqNA=s0-d "I_4")
Regra de formação da matriz identidade:
![[;\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uMnUhOznJ4PksBmTL1TsXwoP4rT69xu-lkStBtnz61n1c5ih5SQ0YCPAo75MUdxv2Uxm7TB-dzazSXJetWv1G-5HhXWIHu7TFtwpf2SIMLhERerUzcJqJNxB3OpYhj4bscbnnC08cgU7s3JwXVvqi26Rf4_saB2zOTgmRqbbytXf-auAFLw_-LC_q1uepkulRU8Q2MZJ_y7Oegmr75CyaRkN1fxnZfE9d0Sow=s0-d "\begin{cases}a_{ij}=1 \forall i=j\\ a_{ij}=0 \forall i \ne j\end{cases}")
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Ex:
![[;\begin{bmatrix}0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ul_un9PyXgbyxv03y13X4U542mBJuXXmmPFC3sVLR8G90_lVABgHLUD_kuneYAakNOmbpdfCoIKrH_F2j3z_NPsfIijXiFfZweIPxS6keruOQwPMj-gq0Cx79VAKMr5FZq=s0-d "\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uaOmrTIkesFFE4nLUrf_oRDTV21J-NmQqhXDl6s4LRxUpqKxaADG-Fpkf5MvHEWmg89xG3DiDtFRwRj5CppkyKR7RheCWkE4CgLPW9CAIEybZLFnwlT8cDfcMeyEFcqVOpGZf1BNmh7eIC6hTOlQzH0TAkKkvj3-Uq=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tz0xsp3BJR8-jfUimy08DVekoIkqn80HmupcqwDW8V8oWL4WU8N-l-6Tr3_f1Bdj3nCW4J-KTqW3D_xmRE_9FSTsHPJrt6V1kvd1LacnnsjHc51XyktdsMPkVhLdfzOwRLkD-VRbAjz4dYXftUsxcchLZRlbxA08U1qfD6XfJdnVVI2iorH6k_7yWLX_ZQfbKyBkYoF-zS-Ney80M_a4759_Eab5bYYPBqzq_-Paayh9Bje72w07q6k1c4XuH4Frk=s0-d "\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}")
![[;\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_urEo9tENs4j7WBdP5x1qT95Q7x4z90DieevJ4Pi6DtWVYBvHJgMfOOVOzaJksvFyOfBJnO-StTYQiZiZ190WJITPcFnO979ETmXIWGMWgX4DC4NKcEPaz1vcHpIea59tVYGG7_fNATj_yYuHQdUJQIYAUU2H7U_iMWTWDHM8w6hEtgGXC2RNHL=s0-d "\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}")
Formação de uma matriz nula:
![[; a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j ;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4zc_hLevQO79aDUCGaiUksjSBl-QNVX2KeOvD10WoHZl5ynbJSEUxPPeg7R9wEU6IDGgyEEnaOA_iENqPvLprOAxbWhj5RHWuQNY0R7uFhPx5Zy1SYBDw_vvymURBMXyADGxC1oT9bQ5jfgN8VCVgSw=s0-d "a_{ij} = 0 \forall i ; \forall j")
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
Morpheu :
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
Tipos de matrizes
Clique aqui para ler a aula 1
Antes de começar, quero dizer que essa parte vai exigir bastante memorização. Por isso, leiam, releiam, enfim, leiam quantas vezes precisarem.
Começando:
1- Matriz Quadrada- É uma matriz de ordem m por n, onde m=n, diz-se que a matriz é quadrada
de ordem nxn ou só de ordem n.
Exemplos:
matriz quadrada de ordem 2. (m=n=2)
(m=n=3)
Numa matriz quadrada, os elementos
formam a diagonal principal damatriz. Os elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada são
tais que i=j.A outra diagonal da matriz quadrada é a diagonal secundária, em que
. Por exemplo, numa matriz quadrada de ordem 3 onde , a diagonal secundária é formada pelo elemento, por exemplo, : 1+3=4=n+1=3+1Matriz triangular- Uma matriz quadrada em que todos os elementos acima OU abaixo da diagonal principal
são nulos (iguais a 0.).
Ex:
Regra de formação para formamos uma matriz triangular:
OBS: Toda matriz triangular só pode ser quadrada, mas não vale que toda matriz quadrada é triangular.
Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada em que todos os elementos que nao estejão na diagonal principal
são nulos, ou seja, ela é suplamente triangular.
Ex:
Regra de formação:
Em uma matriz diagonal,
REFLITA!1: Dessa vez eu citei acima e abaixo. Na ultima foi acima ou abaixo. Por que?
REFLITA!2: Uma matriz diagonal é quadrada? E triangular?
Matriz Identidade: É a matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos.
Podemos representar por.
, com n de acordo com a ordem da matriz identidadeEx:
- - - - Regra de formação da matriz identidade:
REFLITA!3: Uma matriz identidade é quadrada? E triangular? E diagonal?
Matriz Nula: É o tipo de matriz em que todos os elementos são nulos.
Formação de uma matriz nula:
Bem, é só isso por hoje.
Venho pedir desculpas pelo atraso, mas garanto que a situação voltou ao normal.
Peço que acompanhem até o fim, pois depois de você estudar bastante, com certeza vem a pergunta:
"Pra que eu vou usar isso?" (O último post falará sobre isso).
O QUE É MATRIZ? Você deseja saber o que é?
-A Matrix está em todo lugar. À nossa volta. Mesmo agora , nesta sala .
- Você pode vê-la quando olha pela janela ou quando liga sua TV;
- Você a sente quando vai para o trabalho, quando vai à igreja, quando paga seus impostos....
- É o mundo que foi colocado diante de seus olhos para que você não visse a verdade.
Quer dizer, veja o último post.
Clique aqui para ler a aula 3
Até mais.
"(lembrando que só há diagonal principal se a matriz for quadrada)"
ResponderExcluirVocê poderia citar de qual fonte tirou esta afirmação ?
Olá!
ExcluirAntes de tudo eu gostaria de agradecer seu comentário. Bem, essa postagem foi escrita há um tempo (mais de 1 ano e meio), por isso não tenho certeza se tirei isso de algum lugar ou não (provavelmente não). E como não achei alguma fonte que confirme essa informação, retirei-a da postagem. Mas pela experiencia que tenho, é conveniente falar em diagonal principal apenas quando se fala de matriz quadrada.
Até mais!
Eduardo
Olá!
ResponderExcluirVendo o impasse gerado, vamos definir:
Diagonal principal é aquela que contém exatamente UM elemento de cada linha e coluna. É fácil ver que somente uma matriz quadrada tem uma diagonal principal, de acordo com esta definição.
Espero ter ajudado. Abraço!